如果在R中,每个点x(“盐的坐标是复数, 度量按 d(x,y)=(∑|;- 定义,那么,用类似的方法可证得此空间按度量(4)为一度 量空间,称做酉空间(或称为m维复欧几里得空间),记作 【例3】有界数列空间°,取所有有界复数列作为元素 组成集合,即对于X里的每个元素x=(51,5,…,),简记 作x=(),都存在一个实数Cx,使得, 15;|≤C 按 (x, y)=sups,-n 定义度量,其中,y=(;)∈X,N={1,2…},sup表示上确 界(最小的上界①),令=(X,d则是度量空间 证明由于x=(;),y=(;)都是有界的复数列,所 以,诈;-7,(j=1,2,…)是有界的,并存在上确界.即, d(x,y)=sup;-n是有限的非负实数 j∈ 由x=y推出d(x,y)=0是显然的.反过来,若, d(x,y)=suP1;-η,=0,那么,对于每个j有 0≤1;-7≤sup|与;-”,|=0 因此,5;=η,( ),x=y.即(M2)得证 ①参阅附录1中关于上确界的论述