§2数集·确界原理 E=/11n=1,有upE=3,nfE=-1;正整数集N有下确界nf N+=1,而没有上确界. 注1由上(下)确界的定义可见,若数集S存在上(下)确界,则一定是唯 的又若数集S存在上、下确界,则有infS≤supS 注2从上面一些例子可见,数集S的确界可能属于S,也可能不属于S 例3设数集S有上确界.证明 7=supS∈S台=m 证→)设n=spS∈S,则对一切x∈S有x≤7,而n∈S,故n是数集 S中最大的数,即?=maxS )设n=maxS,则n∈S;下面验证7=sup (i)对一切x∈S,有x≤n,即n是S的上界; (i)对任何a<n只须取x0=n∈S,则x0>a.从而满足7=supS的定 义 关于数集确界的存在性,我们给出如下确界原理 定理1.1(确界原理)设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若 S有下界,则S必有下确界 证我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明 为叙述的方便起见,不妨设S含有非负数.由于S有上界,故可找到非负整 数n,使得 1)对于任何x∈S有x<n+1 2)存在a0∈S,使a0≥n 对半开区间[n,n+1)作10等分,分点为n.1,n,2,…,n.9,则存在0,1,2, 9中的一个数n1,使得 1)对于任何x∈S有x<n,n110 2)存在a1∈S,使a1≥n.n1 再对半开区间[n.n1,n.m1+10)作10等分,则存在0,1,2,…,9中的一个 数n2,使得 1)对于任何x∈S有x<n,n1n2+102i 2)存在a2∈S,使a2≥n.n1n2 q记号max是 maximur(最大)一词的简写,=maxS表示数n是数集S中最大的数以下将出现 的记号min是 minimum(最小)一词的简写,minS表示数集S中最小的数