第一章实数集与函数 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集若S不是有界集,则称S 为无界集 例1证明数集N={n|n为正整数}有下界而无上界 证显然,任何一个不大于1的实数都是N的下界,故N+为有下界的数 集 为证N无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个 正整数n0(∈N+),使得n0>M事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+10,则no∈N,且n0>M这就证明了N无上界 读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有 限个数组成的数集是有界集 若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常 具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为 该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义 定义2设S是R中的一个数集若数满足 (i)对一切x∈S,有x≤,即n是S的上界 (i)对任何a<n,存在x0∈S,使得x0>a,即n又是S的最小上界, 则称数y为数集S的上确界记作 n=sup s 定义3设S是R中的一个数集若数满足 (i)对一切x∈S,有x≥6,即是S的下界 (i)对任何B>,存在x0∈S,使得x0<B,即又是S的最大下界, 则称数为数集S的下确界,记作 上确界与下确界统称为确界 例2设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}试按上、下确界的定义验证: sup s=l, inf S=0. 解先验证SupS=1 (i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界 (i)对任何a<1,若a≤0,则任取x0∈S都有xo>a;若a>0,则由有理数 集在实数集中的稠密性在(a,1)中必有有理数x0,即存在xo∈S,使得x0>a 类似地可验证infS=0 读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集 ①[x]表示不超过数x的最大整数例如[2.91]=2,[-41]=-5 ②sup是拉丁文 supremum(上确界)一词的简写;下面的int是拉丁文 infimum(下确界)…词的简写