§2数集·确界原理 并给出确界定义和确界原理, 区间与邻域 设a、b∈R,且a<b.我们称数集{xa<x<b为开区间,记作(a,b);数 集{x|a≤x≤b}称为闭区间,记作[a,b];数集{x|a≤x<b和{x|a<x≤b 都称为半开半闭区间,分别记作[a,b)和(a,b].以上这几类区间统称为有限区 间从数轴上来看,开区间(a,b)表示a、b两点间所有点的集合,闭区间[a,b] 比开区间(a,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等 满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a,+∞),这里符号∞读作“无 穷大”,+∞读作“正无穷大”类似地,我们记 ]={x|x≤a},(a,+∞0)={x|x> (-∞,a)={x|x<a},(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}=R, 其中-∞读作“负无穷大”以上这几类数集都称为无限区间有限区间和无限区 间统称为区间 设a∈R,8>0.满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点 a的δ邻域,记作U(a;δ),或简单地写作U(a),即有 <δ}=(a-δ,a+δ) 点a的空心δ邻域定义为 °(a;6)={x|0<|x 它也可简单地记作U°(a).注意,U°(a;6)与U(a;δ)的差别在于:U°(a;δ)不 包含点a 此外,我们还常用到以下几种邻域: 点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a,a+8),简记为U+(a); 点a的δ左邻域U(a;8)=(a-δ,a],简记为U-(a); (U-(a)与U+(a)去除点a后,分别为点a的空心δ左、右邻域,简记为 U°-(a)与U°+(a).) ∞域U(∞)={x|x>M},其中M为充分大的正数(下同); +∞邻域U(+∞)={x|x>M};=∞0域U(-∞)={x|x<-M} 二有界集·确界原理 定义1设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都 有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的一个上界 下界)