第一章实数集与函数 la|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b 两式相加后得到 (|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b 根据性质3,上式等价于 a+b|≤|a|+|b 将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性 质4不等式的右半部分.又由a|=|a-b+b,据(1)式有 a|≤ b|+|b 从而得 a|-|b|≤|a-b (2) 将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b≤|a+b|.性质4得证. 习题 1.设a为有理数,x为无理数证明: (1)a+x是无理数;(2)当a≠0时,ax是无理数 2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0;(2)x-1<|x-3; (3)√x-1-√2x-1≥√3x-2 3.设a、b∈R证明:若对任何正数e有a-b<e,则a=b 4.设x≠0,证明x+≥2,并说明其中等号何时成立 5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1+|x-2|≥1;(2)x-1|+|x-2|+|x-3|≥2 6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合)证明 +b2 ≤|b-c 你能说明此不等式的几何意义吗? 7.设x>0.b>0,a≠b证明2介于1与为之间 8.设p为正整数证明:若p不是完全平方数,则p是无理数 9.设a、b为给定实数试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解 (1)|x-a|<|x-b|;(2)|x-a|<x-b;(3)|x2-a|<b §2数集·确界原理 本节中我们先定义R中两类重要的数集——区间与邻域,然后讨论有界集