81实数 实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数 2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, =6.a>b 3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c 4.实数具有阿基米德( Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则 存在正整数n,使得ma>b. 5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数(见例1),也有无理数 6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个 方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此 直线为数轴任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯 地代表一个实数于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系在本书以 后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义 例2设a、b∈R证明:若对任何正数E有a<b+e,则a≤b 证用反证法倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b,令E=a b,则E为正数且a=b+e,但这与假设a<b+e相矛盾从而必有a≤b. 关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ 二绝对值与不等式 实数a的绝对值定义为 ≥0 <0 从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离 实数的绝对值有如下一些性质: 1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0 2.-a≤a≤|a|. 3.|a|<h-h<a<h;a≤h-h≤a≤h(h>0) 4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式 a-|b|≤|a±b|≤|a|+|b 5.|ab|=|a|b b|=1b61(6≠0) 下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明 由性质2有