2 第一章实数集与函数 对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下 定义 定义2设x=a0.a1a2…an…为非负实数称有理数 0.a1a2 为实数x的n位不足近似,而有理数 10n 称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,… 对于负实数x=-a0.a1a2an…,其n位不足近似与过剩近似分别规定 为 a0·a1a2an 与 a0·a1a2an 注不难看出,实数x的不足近似xn当n增大时不减,即有x0≤x1≤ x2≤…而过剩近似xn当n增大时不增即有x0=x1≥x2≥… 我们有以下的 命题设x=a0a1a2…与y=b,b1b2…为两个实数,则x>y的等价条 件是:存在非负整数n,使得 其中xn表示x的n位不足近似,yn表示y的n位过剩近似 关于这个命题的证明以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附 录Ⅱ第八节 例1设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足 <r< 证由于x<y,故存在非负整数n,使得xn<yn令 则r为有理数,且有 ≤xn<r<yn≤ 即得x<r<y 为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即 R={x|x为实数} 实数有如下一些主要性质: 1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个