十一.(本题满分8分) 设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明, P(BI A)=P(BI A 是事件A与B独立的充分必要条件 证由于A的概率不等于0和1,知题中两个条件概率都存在 (1)必要性,由事件A与B独立,知事件A与B也独立,因此P(B|A)=P(B),P(BA) P(B),从而 P(BI A)=P(BI A) (2)充分性.由P(B|A)=P(B|A),可见 P(AB 2-P(B)-P(AB) P(A)1-P(A) P(AB)[1-P(A)]= P(A)P(B)-P(A)P(AB) P(AB)= P(A)P(B) 因此A和B独立 二(本题满分8分) 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)力5 小时,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该 设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y) 解设x的分布参数为A由于Er=⊥=5,可见A=5 显然 - min 对于y<0,F(y)=0;对于y≥2,F(y)=1. 设0≤y<2,有 F(y)=P|y≤y = PIminX,2}≤yl P|X≤yl 于是,Y的分布函数为 0,若y<0 F(y) 若0≤ 若y≥2