第3期 石千松等：具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 ,367. y(N) R(N) Y(i)= y(N+1) R(N+1) 记目标信号R()= 定义新的 L y(N+N-1) L R(N+N-1) c[Cxl Can Gz…( C], 系统误差为 Gx= E(i)=R(i)-Y() (7) 对式(6)两边取差分得 0 00. 0 CA CAL 0 0 0 0 △X(计1)=A△X()+BAU(i) (8) CA C(AA1十A1A)CA 0. 0 0 △Y()=C△X()+D△U() 对式(7)陬差分得 CAN-1 出 Cgc}…cA 0 △E()=AR()-AY()= [O 0 07 △R()-CX()-D△U(), 注意到△E()=E(汁1)一E(),上式写为 0 0 E(+1)=E()-C△X()-D△U(i)+△R() 0 0 CE (9) CEs CE; 综合式(8)的第1式和式(9)，有 X(+1)=ΦX()+G△U(i)十GR△R() LCE CEjN-3 CE;N-2 (10) 其中 广12…，N一1前十1行的元素为0. D D CB o- D CAB 对扩大误差系统(10)，定义评价函数为 LDCB…… CANB J一空[E'(0:E(0+aU'(0HaU(0]= 各元素说明如下： C,的第行的元素依次为关于数量的多项式 [R(00X()+a(0H△u(]山 「00 C(A十A12)中(j=01…,i-1)的系数矩阵， 式中.Q10Q0:为(nX(Np正定矩阵：H 该行最后的元素均为零矩阵 为(Nm)X(m)正定矩阵. Cw的前汁1行的元素均为零矩阵：第十2行 问题现在变为：设计使性能指标函数(11)取最 最后一列元素为CE。即CA{B,其余列上元素均为 小值的系统(10)的预见控制器，再给出系统(1)的 零矩阵；以后各行都是比上一行往前一列的元素为 带预见作用的控制器，假设2表明R()(从而 CE,其前面元素全为零矩阵，其后依次为CE;+直 △R()的预见步数为S 到CE,N-2,F12…,N-1 2.3导出控制器 E如前面所定义， 结合预见控制的理论，使式(11)取值最小的系 综合式(4)和式(5)，可以得到扩大系统 统(10)的最优输入的差分有以下形式： X(i1)=AX(i)+BU(i) (6) 4u()=PX(司+2F.(DAR(计)(12) Y(i)=CX(i)+DU(i) 系统(6)已经是形式上无时滞的单采样率系统，状 其中 态向量和输出向量在每个都能检测到， F=-[H+GPG]GPΦ 22导出扩大误差系统 FR ()=-[H+GTPG]GT()PGR. 上一节已经获得了形式上无时滞的单采样率的 5-Φ十GF 系统，本节将在此基础上，推导出扩大误差系统， =012…,S (13)第 3期 石千松等： 具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 Ｙ（ｉ）＝ ｙ（ｉＮ） ｙ（ｉＮ＋1）  ｙ（ｉＮ＋Ｎ－1） ‚ Ｃ＾＝ Ｃ＾Ｘ Ｃ＾Ｗ1 Ｃ＾Ｗ2 … Ｃ＾Ｗ‚Ｎ－1 ‚ Ｃ＾Ｘ ＝ Ｃ 0 0 0 … 0 0 ＣＡ ＣＡ1 0 0 … 0 0 ＣＡ 2 Ｃ（ＡＡ1＋Ａ1Ａ） ＣＡ 2 1 0 … 0 0       ＣＡ Ｎ－1 Ｃ＾（1） Ｎ2 Ｃ＾（1） Ｎ3 Ｃ＾（1） Ｎ4 … ＣＡ Ｎ－1 1 0 ‚ Ｃ＾Ｗｊ＝ 0 … 0 0  ⋱   0 … 0 0 0 … 0 ＣＥｊｊ 0 … ＣＥｊｊ ＣＥｊ‚ｊ＋1  ⋰   ＣＥｊｊ … ＣＥｊ‚Ｎ－3 ＣＥｊ‚Ｎ－2 ‚ ｊ＝1‚2‚…‚Ｎ－1．前 ｊ＋1行的元素为 0． Ｄ＾＝ Ｄ Ｄ ＣＢ ⋰ ⋰ ＣＡＢ ⋰ ⋰  Ｄ ＣＢ … … ＣＡ Ｎ－1Ｂ ． 各元素说明如下： Ｃ＾Ｘ 的第 ｉ行的元素依次为关于数量 ｚ的多项式 Ｃ（Ａ＋Ａ1ｚ） ｉ－1中 ｚ ｊ （ｊ＝0‚1‚…‚ｉ－1）的系数矩阵‚ 该行最后的元素均为零矩阵． Ｃ＾Ｗｊ的前 ｊ＋1行的元素均为零矩阵；第 ｊ＋2行 最后一列元素为 ＣＥｊｊ‚即 ＣＡ ｊ 1Ｂ‚其余列上元素均为 零矩阵；以后各行都是比上一行往前一列的元素为 ＣＥｊｊ‚其前面元素全为零矩阵‚其后依次为 ＣＥｊ‚ｊ＋1直 到 ＣＥｊ‚Ｎ－2‚ｊ＝1‚2‚…‚Ｎ－1． Ｅｊｍ如前面所定义． 综合式 （4）和式 （5）‚可以得到扩大系统 Ｘ（ｉ＋1）＝Ａ＾Ｘ（ｉ）＋Ｂ＾Ｕ（ｉ） Ｙ（ｉ）＝Ｃ＾Ｘ（ｉ）＋Ｄ＾Ｕ（ｉ） （6） 系统 （6）已经是形式上无时滞的单采样率系统‚状 态向量和输出向量在每个 ｉ都能检测到． 2．2 导出扩大误差系统 上一节已经获得了形式上无时滞的单采样率的 系统‚本节将在此基础上‚推导出扩大误差系统． 记目标信号Ｒ ～ （ｉ）＝ Ｒ（ｉＮ） Ｒ（ｉＮ＋1）  Ｒ（ｉＮ＋Ｎ－1） ‚定义新的 系统误差为 Ｅ（ｉ）＝Ｒ ～ （ｉ）－Ｙ（ｉ） （7） 对式 （6）两边取差分得 ΔＸ（ｉ＋1）＝Ａ＾ΔＸ（ｉ）＋Ｂ＾ΔＵ（ｉ） ΔＹ（ｉ）＝Ｃ＾ΔＸ（ｉ）＋Ｄ＾ΔＵ（ｉ） （8） 对式 （7）取差分得 ΔＥ（ｉ）＝ΔＲ ～ （ｉ）－ΔＹ（ｉ）＝ ΔＲ ～ （ｉ）－Ｃ＾ΔＸ（ｉ）－Ｄ＾ΔＵ（ｉ）‚ 注意到 ΔＥ（ｉ）＝Ｅ（ｉ＋1）－Ｅ（ｉ）‚上式写为 Ｅ（ｉ＋1）＝Ｅ（ｉ）－Ｃ＾ΔＸ（ｉ）－Ｄ＾ΔＵ（ｉ）＋ΔＲ ～ （ｉ） （9） 综合式 （8）的第 1式和式 （9）‚有 Ｘ ～ （ｉ＋1）＝ΦＸ ～ （ｉ）＋ＧΔＵ（ｉ）＋ＧＲΔＲ ～ （ｉ） （10） 其中 Φ＝ Ａ＾ 0 －Ｃ＾ Ｉ ‚Ｇ＝ Ｂ＾ －Ｄ＾ ‚ＧＲ ＝ 0 Ｉ ． 对扩大误差系统 （10）‚定义评价函数为 Ｊ＝∑ ∞ ｉ＝0 ［Ｅ Ｔ （ｉ）ＱＥＥ（ｉ）＋ΔＵ Ｔ （ｉ）ＨΔＵ（ｉ） ］ ＝ ∑ ∞ ｉ＝0 ［Ｘ ～Ｔ （ｉ）ＱＸ ～ （ｉ）＋ΔＵ Ｔ （ｉ）ＨΔＵ（ｉ） ］ （11） 式中‚Ｑ＝ 0 0 0 ＱＥ ‚ＱＥ 为 （Ｎｐ）×（Ｎｐ）正定矩阵；Ｈ 为 （Ｎｍ）×（Ｎｍ）正定矩阵． 问题现在变为：设计使性能指标函数 （11）取最 小值的系统 （10）的预见控制器‚再给出系统 （1）的 带预见作用的控制器．假设 2表明Ｒ ～ （ｉ） （从而 ΔＲ ～ （ｉ））的预见步数为 Ｓ． 2．3 导出控制器 结合预见控制的理论‚使式 （11）取值最小的系 统 （10）的最优输入的差分有以下形式： ΔＵ（ｉ）＝ＦＸ ～ （ｉ）＋∑ Ｓ ｊ＝0 ＦＲ （ｊ）ΔＲ ～ （ｉ＋ｊ） （12） 其中 Ｆ＝－［Ｈ＋Ｇ ＴＰＧ］ －1Ｇ ＴＰΦ ＦＲ （ｊ）＝－［Ｈ＋Ｇ ＴＰＧ］ －1Ｇ Ｔ （ξ Ｔ ） ｊＰＧＲ ξ＝Φ＋ＧＦ ‚ ｊ＝0‚1‚2‚…‚Ｓ （13） ·367·