,368 北京科技大学学报 第33卷 P是R iccati访程 的对称正定解 P=Q+ΦpΦΦ'PG[H十GPG]GPΦ(14) 将F和F(分解如下： F(N+N-1) F(NN-1) F8+N-. F-| FEN+N-1 F(N+N-2) F-) F-9 F F+- F (15) F 9 F2 F9-2 F E+-(司 讨论， F+N-( PBH判别法1 对于两个行数相同的矩阵A FR() (16) 和B,(A,B)可镇定的充要条件是对于任意满足 F() |sP1的复数s矩阵[sI一AB]行满秩；对于两 注意到U()=U(i-1)+△U(i-1),U(i)= 个列数相同的矩阵A和C,(C,A)可检测的充要条 u(N+N-1) u(N+N-2) 件思对于任意满足，≥1复数：矩阵[了列 ,最优输入(12)可以表示成 满秩。 u(N) 注意有 u(N+N-1) u(N-1刃 u(N+N-2) u(N-2) u(N) Lu(N一Ny F(N+- FN-习 Ao EE EEN-2 EEN-1 0 F(N+N-2) 0 0 0 0 X(i1)+ F-2/ W1(i-1) 0 M2 0 0 0 F() 9 00 (17) MN-1 0 式中， - E()=R()一Y()=R()一CX()一DU(i) 由最优控制理论的基本结果，得到下面的定理， Bo 定理1若（④G)可镇定且(QΦ）可检 测，则系统(1)的最优控制输入由式(17)给出，其中 的系数矩阵等由式(13)式(16)确定，且这时 -D R iccat矩阵方程(14)一定有解. 0 3对系统的一些相关研究 注意定理1所要求的条件：（Φ.G)可镇定和 3.1(ΦG)的可镇定性 (Q户Φ)可检测.本节将给出（ΦG)可镇定和 由Φ和G的表达式，对于满足lsP1的任意实数 (QI Φ)可检测的条件.利用PH判别法进行 s计算[Φ一slG并研究其行满秩的条件.注意 Ao一sIEE1 EE2…EEx-2 EEN-1 0 Bo S -sI 0 0 0 0 Mi M2 一sl… 0 0 0 0 [Φ-slG] 0 a 0 一sl 0 0 0 0 0 MN-1 -sI 0 -Cx 一Cw2 … 一CN-2一CN-1 (1-s)I 一D北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 Ｐ是 Ｒｉｃｃａｔｉ方程 Ｐ＝Ｑ＋Φ ＴＰΦ－Φ ＴＰＧ［Ｈ＋Ｇ ＴＰＧ］ －1Ｇ ＴＰΦ （14） 的对称正定解． 将 Ｆ和 ＦＲ （ｊ）分解如下： Ｆ＝ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） ｘ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） Ｗ1 Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） Ｗ2 … Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） Ｗ‚Ｎ－2 Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） Ｅ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） ｘ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） Ｗ1 Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） Ｗ2 … Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） Ｗ‚Ｎ－2 Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） Ｅ      Ｆ （0） ｘ Ｆ （0） Ｗ1 Ｆ （0） Ｗ2 … Ｆ （0） Ｗ‚Ｎ－2 Ｆ （0） Ｅ （15） ＦＲ （ｊ）＝ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） Ｒ （ｊ） Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） Ｒ （ｊ）  Ｆ （0） Ｒ （ｊ） （16） 注意到 Ｕ（ｉ） ＝Ｕ（ｉ－1） ＋ΔＵ（ｉ－1）‚Ｕ（ｉ） ＝ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2）  ｕ（ｉＮ） ‚最优输入 （12）可以表示成 ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2）  ｕ（ｉＮ） ＝ ｕ（ｉＮ－1） ｕ（ｉＮ－2）  ｕ（ｉＮ－Ｎ） ＋ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） ｘ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） ｘ  Ｆ （0） ｘ Ｘ0（ｉ－1）＋ Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－1） Ｗ1 Ｆ （ｉＮ＋Ｎ－2） Ｗ1  Ｆ （0） Ｗ1 Ｗ1（ｉ－1） （17） 式中‚ Ｅ（ｉ）＝Ｒ ～ （ｉ）－Ｙ（ｉ）＝Ｒ ～ （ｉ）－Ｃ＾Ｘ（ｉ）－Ｄ＾Ｕ（ｉ）． 由最优控制理论的基本结果‚得到下面的定理． 定理 1 若 （Φ Ｇ）可镇定且 （Ｑ 1／2 Φ）可检 测‚则系统 （1）的最优控制输入由式 （17）给出‚其中 的系数矩阵等由式 （13） ～式 （16）确定‚且这时 Ｒｉｃｃａｔｉ矩阵方程 （14）一定有解． 3 对系统的一些相关研究 注意定理 1所要求的条件：（Φ Ｇ）可镇定和 （Ｑ 1／2 Φ）可检测．本节将给出 （Φ Ｇ）可镇定和 （Ｑ 1／2 Φ）可检测的条件．利用 ＰＢＨ判别法进行 讨论． ＰＢＨ判别法 ［5‚14］ 对于两个行数相同的矩阵 Ａ 和 Ｂ‚（Ａ‚Ｂ）可镇定的充要条件是对于任意满足 ｜ｓ｜≥1的复数 ｓ‚矩阵 ［ｓＩ－Ａ Ｂ］行满秩；对于两 个列数相同的矩阵 Ａ和 Ｃ‚（Ｃ‚Ａ）可检测的充要条 件是对于任意满足 ｜ｓ｜≥1复数 ｓ‚矩阵 ｓＩ－Ａ Ｃ 列 满秩． 注意有 Φ＝ Ａ＾ 0 －Ｃ＾ Ｉ ＝ Ａ＾0 Ｅ＾Ｅ1 … Ｅ＾ＥＮ－2 Ｅ＾ＥＮ－1 0 0 0 … 0 0 0 0 Ｍ2 … 0 0 0      0 0 … ＭＮ－1 0 0 －Ｃ＾ Ｉ ‚ Ｇ＝ Ｂ＾ －Ｄ＾ ＝ Ｂ＾0 Ｍ1 0  0 －Ｄ＾ ． 3．1 （Φ Ｇ）的可镇定性 由 Φ和 Ｇ的表达式‚对于满足｜ｓ｜≥1的任意实数 ｓ‚计算 ［Φ－ｓＩ Ｇ］并研究其行满秩的条件．注意 ［Φ－ｓＩ Ｇ］ ＝ Ａ＾0－ｓＩ Ｅ＾Ｅ1 Ｅ＾Ｅ2 … Ｅ＾ＥＮ－2 Ｅ＾ＥＮ－1 0 Ｂ＾0 0 －ｓＩ 0 … 0 0 0 Ｍ1 0 Ｍ2 －ｓＩ … 0 0 0 0        0 0 0 … －ｓＩ 0 0 0 0 0 0 … ＭＮ－1 －ｓＩ 0 0 －Ｃ＾Ｘ －Ｃ＾Ｗ1 －Ｃ＾Ｗ2 … －Ｃ＾Ｗ‚Ｎ－2 －Ｃ＾Ｗ‚Ｎ－1 （1－ｓ）Ｉ －Ｄ＾ ． ·368·