曲线坐标系 谢锡麟 如果记 r26 72 sinbo/ a()=40=m((2()-m((() d r26 rasin 0 cos 0o rising r-r02-rsin20% 2rr0+r20-r2 sin 0 cos 0d sin20r0+2r2sin 0 cos 000+r2sin2 即有 ()=a(t)g(x)+ae(t)g°(x)+ao(t)g°(x) 如果用单位向量e,e和e作基的话,由于g= 19" er,g=|y"se,g°=|g°lse,将有 ()=a() r0-rsin 0 cos 002 2 sin Aro+ 2r cos 60o+rsin 8o 此时加速度可以表示为 (t) 002)e+(270+r 0 cos b +(2m+2c08rs0)e张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 如果记 ∂Tˆ ∂x =   ∂Tˆ ∂r ∂Tˆ ∂θ ∂Tˆ ∂ϕ   (x, x˙) =   r ˙θ 2 + r sin2 θϕ˙2 r 2 sin θ cos θϕ˙2 0   ; ∂Tˆ ∂x˙ =   ∂Tˆ ∂r˙ ∂Tˆ ∂ ˙θ ∂Tˆ ∂ϕ˙   (x, x˙) =   r˙ r 2 ˙θ r 2 sin2 θϕ˙   , 则 a(t) =   ar(t) aθ(t) aϕ(t)   = d dt ∂Tˆ ∂x˙ (x(t), x˙(t)) − ∂Tˆ ∂x (x(t), x˙(t)) = d dt   r˙ r 2 ˙θ r 2 sin2 θϕ˙   −   r ˙θ 2 + r sin2 θϕ˙2 r 2 sin θ cos θϕ˙2 0   =   r¨ − r ˙θ 2 − r sin2 θϕ˙ 2rr˙ ˙θ + r 2 ¨θ − r 2 sin θ cos θϕ˙2 2r sin2 θr˙ϕ˙ + 2r 2 sin θ cos θ ˙θϕ˙ + r 2 sin2 θϕ¨   , 即有 a(t) = ar(t)g r (x) + aθ(t)g θ (x) + aϕ(t)g ϕ (x). 如果用单位向量 er, eθ 和 eϕ 作基的话, 由于 g r = |g r |R3 er, g θ =  g θ   R3 eθ, g ϕ =  g ϕ   R3 eϕ, 将有 a(t) =   aˆr(t) aˆθ(t) aˆϕ(t)   =   ar 1 r aθ 1 r sin θ aϕ   =   r¨ − r ˙θ 2 − r 2 sin2 θϕ˙2 2 ˙r ˙θ + r ¨θ − r sin θ cos θϕ˙2 2 sin θr˙ϕ˙ + 2r cos θ ˙θϕ˙ + r sin θϕ¨   , 此时加速度可以表示为 a(t) = ˆarer + ˆaθeθ + ˆaϕeϕ = ( r¨ − r ˙θ 2 − r 2 sin2 θϕ˙2 ) er + ( 2 ˙r ˙θ + r ¨θ − r sin θ cos θϕ˙2 ) eθ + ( 2 sin θr˙ϕ˙ + 2r cos θ ˙θϕ˙ + r sin θϕ¨ ) eϕ. 15