曲线坐标系 谢锡麟 22曲线坐标系下的速度与加速度表示形式 22.1球坐标系 球坐标系可以表达为如下映照 rsin e sin∈R 其 Jacobi矩阵可以表示为 sin e cos o r cos e cos o -r sin 8 sin o DX(az)=sin 0 sing rcos sin g r sin 6 coso=( 6 sin g 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下 DXDX (g1,97)R8(gr,90)3(9r,9) 9a,9r)3(96,96)3(9 (ga,9)R3(9,96)R3(9,9) 可见,球坐标系是正交坐标系,此时 v(t)=2(t)g(c(t)=f(t)gr(c(t)+θ(t)ge((t)+o(t)g(c(t) 所以 v(a, a)=igi(a)=igr+8ge+ogo= DX(a)a (,2)=5((x,过),的(x,)3=DX(x)DX(x) 0 9 0 14张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 2.2 曲线坐标系下的速度与加速度表示形式 2.2.1 球坐标系 球坐标系可以表达为如下映照 X(x) : R 3 ⊃ Dx ∋ x =   r θ ϕ   7→ X(x) =   r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ   ∈ R 3 , 其 Jacobi 矩阵可以表示为 DX(x) =   sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ −r sin θ 0   = ( gr gθ gϕ ) (x). 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下: ( gij) (x) = DXT(x)DX(x) =   (gr , gr )R3 (gr , gθ )R3 (gr , gϕ )R3 (gθ , gr )R3 (gθ , gθ )R3 (gθ , gϕ )R3 (gϕ , gr )R3 (gϕ , gθ )R3 (gϕ , gϕ )R3   =   1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin2 θ   . 可见, 球坐标系是正交坐标系, 此时 v(t) = ˙x i (t)gi (x(t)) = ˙r(t)gr (x(t)) + ˙θ(t)gθ (x(t)) + ϕ˙(t)gϕ (x(t)), 所以 vˆ(x, x˙) = ˙x i gi (x) = ˙rgr + ˙θgθ + ϕ˙gϕ = DX(x)x˙ ; Tˆ(x, x˙) = 1 2 (vˆ(x, x˙), vˆ(x, x˙))R3 = 1 2 x˙ TDXT(x)DX(x)x˙ = 1 2 ( r˙ ˙θ ϕ˙ )   1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin2 θ     r˙ ˙θ ϕ˙   = 1 2 ( r˙ 2 + r 2 ˙θ 2 + r 2 sin2 θϕ˙2 ) . 14