曲线坐标系 谢锡麟 区域DPny为光滑曲面∑所围成的内部区域.现考虑,将不规则的DPhy通过微分同胚化 成规则的矩体区域,如图6所示由此,研究以下向量值映照 (r,b,) R(e, o)rsin x(r6):Dna3(r,,9)+x(,0,o)2y(,0)=R(0.)rsimsima z(r,6,) r(e, o)r cos 8 需要说明的是: 1.x(r,6,0)∈P(Da;Dx)在Da实现单射.关于这一点,按几何意义易于说明 2.DX(r,,0)∈R3x3在Da上非奇异为此,计算曲线坐标系的 Jacobi矩阵 Rsin e cos o (Re sin 8+ Rcos O)r coso (Ro cos o-Rsin o)r sin 0 DX(r,0,)=Rsin 0 sing (Re sin 0+Rcos O)r sin o (R, sin o+Rcos O)rsin0 Rcos e 8-Rsin e)r 9r99 计算其行列式 Re sine cos g(Re sin 0+Rcos 0)cos o ( Ro cos p-Rsin 9)sin el det dx(,0,d)=Rr2 sin 0 sin o (Re sin 0+Rcos 0)sin o(R, sin(+Rcos o)sin 0 (Ro cos 0) R(0, o) sin 8 有DX(r,,)在D-6上非奇异 计算度量张量的协变分量矩阵 (g1,97)R3(gr,9a)R3(gr,9a)3 (g,97)g3(ga,9a)3(ga,9a)3 (g,9)3(g,9)R3(9,9)3 rRer rror RRor (R2+R2 roR e RRor Re Ror2(R2 sin20+ R2)r 十算度量张量的逆变分量矩阵 2|(g,g)3(g,g)(g,g9) (g,g)3(g°,g)3(g°,9°)3 R2(R sin20+R2 sin20+Ro)r4-RRo sin20r3-RRor3 R6r4 sin20 R Re sin er3 R Rory 按基本关系式 9 ljk (x) 可以确定第一类 Christoffel号;然后按=9rl确定第二类 Christoffel号张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 区域 DP hy 为光滑曲面 Σ 所围成的内部区域. 现考虑, 将不规则的 DP hy 通过微分同胚化 成规则的矩体区域, 如图6所示. 由此, 研究以下向量值映照： X(r, θ, ϕ) : Drθϕ ∋ (r, θ, ϕ) 7→ X(r, θ, ϕ) ,   x(r, θ, ϕ) y(r, θ, ϕ) z(r, θ, ϕ)   =   R(θ, ϕ)r sin θ cos ϕ R(θ, ϕ)r sin θ sin ϕ R(θ, ϕ)r cos θ   . 需要说明的是: 1. X(r, θ, ϕ) ∈ C p (Drθϕ; DX) 在 Drθϕ 实现单射. 关于这一点, 按几何意义易于说明. 2. DX(r, θ, ϕ) ∈ R 3×3 在 Drθϕ 上非奇异. 为此, 计算曲线坐标系的 Jacobi 矩阵 DX(r, θ, ϕ) =   R sin θ cos ϕ (Rθ sin θ + R cos θ)r cos ϕ (Rϕ cos ϕ − R sin ϕ)r sin θ R sin θ sin ϕ (Rθ sin θ + R cos θ)r sin ϕ (Rϕ sin ϕ + R cos ϕ)r sin θ R cos θ (Rθ cos θ − R sin θ)r Rϕr cos θ   =: ( gr gθ gϕ ) (r, θ, ϕ). 计算其行列式 det DX(r, θ, ϕ) = Rr2         sin θ cos ϕ (Rθ sin θ + R cos θ) cos ϕ (Rϕ cos ϕ − R sin ϕ)sin θ sin θ sin ϕ (Rθ sin θ + R cos θ)sin ϕ (Rϕ sin ϕ + R cos ϕ)sin θ cos θ (Rθ cos θ − R sin θ) Rϕ cos θ         = R 3 (θ, ϕ)r 2 sin θ, 有 DX(r, θ, ϕ) 在 Drθϕ 上非奇异. 计算度量张量的协变分量矩阵 ( gij) ,   (gr , gr )R3 (gr , gθ )R3 (gr , gϕ )R3 (gθ , gr )R3 (gθ , gθ )R3 (gθ , gϕ )R3 (gϕ , gr )R3 (gϕ , gθ )R3 (gϕ , gϕ )R3   =   R2 RRθr RRϕr RRθr (R2 + R2 θ )r 2 RθRϕr 2 RRϕr RθRϕr 2 (R2 sin2 θ + R2 ϕ )r 2   . 计算度量张量的逆变分量矩阵 ( g ij) ,   (g r , g r )R3 (g r , g θ )R3 (g r , g ϕ )R3 (g θ , g r )R3 (g θ , g θ )R3 (g θ , g ϕ )R3 (g ϕ , g r )R3 (g ϕ , g θ )R3 (g ϕ , g ϕ )R3   = ( gij)−1 = 1 R6r 4 sin2 θ   R2 (R2 sin2 θ + R2 θ sin2 θ + R2 ϕ )r 4 −R3Rθ sin2 θr3 −R3Rϕr 3 −R3Rθ sin2 θr3 R4 sin2 θr2 0 −R3Rϕr 3 0 R4 r 2   . 按基本关系式 Γij,k = 1 2 ( ∂gij ∂xk + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x) 可以确定第一类 Christoffel 符号; 然后按 Γ k ij = g klΓij,l 确定第二类 Christoffel 符号. 13