(1)若C是D内连接两点二0及z的任一条简单曲线,那么沿C的 积分 f(s)ds 不依赖于曲线C,由二0及二决定,这时 lcJ(s)ds=」f(s)ds 2)固定z0,而让z在D内任意取值,那么F()=f(s)ds在 D内解析,且F(=)=∫(=) (3)若d(二)为f(二)在D内的原函数,二0,21为D内两点,那么 「f(-)dz=(=1)-p(=0) 证(1)设C"是D内连接二及z的另一条任意曲线,(如图3.10), 由柯西定理知 这里有图3.10 S_cf(s)ds=Lf(s)ds-Jf(s)ds 即 Lf(s)ds=f(s)ds 若令f(二)=l+iv,有 d x-vay udr-vdy, ydx+udy=jvdx+udy 所以积分f(ds与路径无关仅由可,来确定 (2)因为F(z+△)-F()=f()ds,(z+AeD)(1) 若C 是 D内连接两点 z0及 z 的任一条简单曲线,那么沿C 的 积分 ∫C d)( ssf 不依赖于曲线C,由 z0及 z 决定,这时 = . ∫C d)( ssf ∫ z z ssf 0 d)( (2) 固定 0z ,而让 z 在 D内任意取值,那么 F z)( = ∫ 在 C d)( ssf D内解析,且F z = f z)()(' . (3) 若Φ z)( 为 f z)( 在D内的原函数, z0 , 为1z D内两点，那么 )()(d)( . 1 0 1 0 zzzzf z z∫ Φ−Φ= 证 (1) 设C'是D内连接 及0z z 的另一条任意曲线, (如图 3.10), 由柯西定理知: 这里有图 3.10 0d)(d)(d)( ' ' ∫ = − ∫∫ = − ssfssfssf CC C C , 即 ssfssf , C C d)(d)( ' = ∫∫ 若令 f z = u + i)( v ,有 yvxuyvxuC C dddd ' ∫ − = ∫ − , yuxvyuxv C C dddd ' ∫ + = ∫ + . 所以积分 ssf 与路径无关,仅由 C d)( ∫ 0z , z 来确定. (2) 因为 ∫ +Δ =−Δ+ zz z d)()()( ssfzFzzF ,（ z Δ+ z ∈ D）