【分析】考查极限mg(x)是否存在,如存在,是否等于g0即可,通过换元=1 可将极限lmg(x)转化为imf(x) x→>0 x→0 【详解】因为lmg(x)=limf()=limf()=a(令l=-),又g(0)=0,所以, 当a=0时,img(x)=g(0),即g(x)在点x=0处连续,当a≠0时, img(x)≠g(0),即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性 与a的取值有关,故选(D) 【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性 完全类似的例题见《数学复习指南》P4例170,《数学题型集粹与练习题集》P2例1.35. (9)设f(x)=x(1-x),则 (A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点 (B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点 【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况, 考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况 【详解】设0<8<1,当x∈(-8,0)∪(0,δ)时,f(x)>0,而f(0)=0,所以x=0是f(x) 的极小值点 显然,x=0是∫(x)的不可导点.当x∈(-8,0)时,f(x)=-x(1-x),f"(x)=2>0, 当x∈(0,6)时,f(x)=x(1-x),f"(x)=-2<0,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 故选(C 【评注】对于极值情况,也可考查∫(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例69,《考研数学大串讲》P96例5 l.x>0 (10)设f(x)=10,x=0,F(x)=f(lh,则 1.x<0 (A)F(x)在x=0点不连续 (B)F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导 (C)F(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足F'(x)=f(x) (D)F(x)在(-∞,+∞)内可导,但不一定满足F(x)=f(x) [B] 【分析】先求分段函数f()的变限积分F(x)=-J/()M,再讨论函数F)的连续性与 可导性即可 【详解】当x<0时,F(x4 【分析】考查极限 lim ( ) 0 g x x→ 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 x u 1 = ， 可将极限 lim ( ) 0 g x x→ 转化为 lim f (x) x→ . 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→ = = = a(令 x u 1 = )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a  0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x  → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41 例 1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20 例 1.35. (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 <  < 1，当 x  (− , 0)  (0 , )时，f (x) > 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x  (− , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f (x) = 2  0 ， 当 x  (0 , )时，f (x) = x(1 − x)， f (x) = −2  0 ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141 例 6.9，《考研数学大串讲》P96 例 5. (10) 设      −  =  = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x f x ，  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 (A) F(x)在 x = 0 点不连续. (B) F(x)在(− , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. (C) F(x)在(− , +)内可导，且满足 F(x) = f (x). (D) F(x)在(− , +)内可导，但不一定满足 F(x) = f (x). [ B ] 【分析】先求分段函数 f (x)的变限积分  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，再讨论函数 F(x)的连续性与 可导性即可. 【详解】当 x < 0 时， F x dt x x = − = − 0 ( ) ( 1) ；