肖术等：基于PEM-JFEM方法的节理岩质边坡稳定性评价 845· 入到传统的不确定性分析中00.借助计算机，可以 求解复杂边坡的稳定性问题.尤其是对于节理发育的 岩质边坡，节理有限元方法2的应用，使得对复杂 节理岩质边坡的不确定性分析成为可能.节理有限元 考虑了岩质边坡中的节理属性，充分体现了岩层接触 作用的非线性关系，使得对节理岩质边坡的稳定性评 输人变量 价更加合理. 2种组合 本文在总结前人研究成果的基础上，将点估计法 与节理有限元法相结合应用于节理岩质边坡的稳定性 输出变量 评价中.依据边坡岩层特点，建立了以岩体强度参数 为输入变量、边坡安全系数为输出变量的点估计模型. 点估计状态函数的求解过程采用节理有限元建立边坡 图1点估计法原理图 数值模型，应用强度折减法计算输出边坡的安全系数， Fig.I Schematic illustration of the point estimate method 由点估计法理论，得到边坡安全系数的可靠性指标、破 坏概率等统计指标，评价节理岩质边坡的稳定性 M,=E(Z)=42=】 以=言，6 1点估计法原理 (2)二阶中心矩M2,随机变量Z的二阶中心矩为 点估计法是基于Rosenbluth提出的统计矩概念， Z的方差σ2，其定义为 采用随机变量的平均值和方差，求得状态函数的一阶 以=E2-产=-7a, (6) 矩（均值）、二阶矩等，进而求得边坡的可靠性指标 其点估计为 对于一般的边坡工程问题，存在状态函数： M2=E(Z-uz)2=2= Z=F(x1x2…,x）. (1) 言财品县对-候 2 式中，x,2,…,x。可以为容重、黏聚力、摩擦角等随机 (7) 变量，Z可以为边坡安全系数，它们具有一定的分布特 由Z的一阶矩和二阶矩，可以得到反映Z分布形 征（大多数服从正态分布或对数正态分布）.如图1所 态的统计参数如下. 示，已知n个随机变量(x1,x2,,x。)的平均值4，和标 ①均值z: 准差σ，在随机变量x(i=1,2,,x）的分布函数未 z M. (8) 知的情况下，不考虑其变化形态，只在区间(x,x） ②变异系数6： 上分别对称地择其两个取值点，通常取均值4，的正负 8=/M2/M (9) 一个标准差σ，即 变异系数8反映了Z的离散程度 [xa=八.+0， (2) ③可靠性指标B: (x2=u-o.. 每个随机变量均有两个取值点，对于个随机变 B=%~1 (10) 量，将会得到2”种计算组合，可求解得到2”个状态函 ④破坏概率P,(假设状态函数Z服从正态分布)： 数Z的值，即2”个安全系数，进而求得安全系数Z的 P,=1-ΦB]. (11) 平均值42和标准差σz 这里，假设n个随机变量相互独立，且每一组合出 2 节理有限元法模型 现的概率相等，则Z的概率值P为 2.1节理单元 1 P22 (3) Goodman单元a是一种无厚度的模拟岩石中节 点和裂隙等的特殊单元.该单元假定接触是线弹性 根据中心距与原点矩的估计，可以导出安全系数 的，应力与相对位移的关系式为 概率分布的二阶矩表达式，由此可估计出其概率分布 {σ}=]{w} (12) 的空间形态和位置. (1)一阶矩M,随机变量Z的1阶矩，定义为 .o-{}o-}1[60和 M=E(Z）==∫(a)d, (4) k.分别为切向和法相刚度系数. 其点估计为 Goodman单元能较好较反应单元接触面切向应力肖 术等: 基于 PEM--JFEM 方法的节理岩质边坡稳定性评价 入到传统的不确定性分析中［10 － 11］． 借助计算机，可以 求解复杂边坡的稳定性问题． 尤其是对于节理发育的 岩质边坡，节理有限元方法［12 － 15］的应用，使得对复杂 节理岩质边坡的不确定性分析成为可能． 节理有限元 考虑了岩质边坡中的节理属性，充分体现了岩层接触 作用的非线性关系，使得对节理岩质边坡的稳定性评 价更加合理． 本文在总结前人研究成果的基础上，将点估计法 与节理有限元法相结合应用于节理岩质边坡的稳定性 评价中． 依据边坡岩层特点，建立了以岩体强度参数 为输入变量、边坡安全系数为输出变量的点估计模型． 点估计状态函数的求解过程采用节理有限元建立边坡 数值模型，应用强度折减法计算输出边坡的安全系数， 由点估计法理论，得到边坡安全系数的可靠性指标、破 坏概率等统计指标，评价节理岩质边坡的稳定性． 1 点估计法原理 点估计法是基于 Ｒosenbluth 提出的统计矩概念， 采用随机变量的平均值和方差，求得状态函数的一阶 矩( 均值) 、二阶矩等，进而求得边坡的可靠性指标． 对于一般的边坡工程问题，存在状态函数: Z = F( x1，x2，…，xn ) ． ( 1) 式中，x1，x2，…，xn 可以为容重、黏聚力、摩擦角等随机 变量，Z 可以为边坡安全系数，它们具有一定的分布特 征( 大多数服从正态分布或对数正态分布) ． 如图 1 所 示，已知 n 个随机变量( x1，x2，…，xn ) 的平均值 μxi 和标 准差 σxi ，在随机变量 xi ( i = 1，2，…，xn ) 的分布函数未 知的情况下，不考虑其变化形态，只在区间( xmin，xmax ) 上分别对称地择其两个取值点，通常取均值 μxi 的正负 一个标准差 σxi ，即 xi1 = μxi + σxi ， xi2 = μxi － σxi { ． ( 2) 每个随机变量均有两个取值点，对于 n 个随机变 量，将会得到 2n 种计算组合，可求解得到 2n 个状态函 数 Z 的值，即 2n 个安全系数，进而求得安全系数 Z 的 平均值 μZ 和标准差 σZ ． 这里，假设 n 个随机变量相互独立，且每一组合出 现的概率相等，则 Z 的概率值 Pj 为 Pj = 1 2n ． ( 3) 根据中心距与原点矩的估计，可以导出安全系数 概率分布的二阶矩表达式，由此可估计出其概率分布 的空间形态和位置． ( 1) 一阶矩 M1，随机变量 Z 的 1 阶矩，定义为 M1 = E( Z) = μZ = ∫ +∞ －∞ zf( z) dz， ( 4) 其点估计为 图 1 点估计法原理图 Fig． 1 Schematic illustration of the point estimate method M1 = E( Z) = μZ = ∑ 2n j = 1 Pj Zj = 1 2n ∑ 2n j = 1 Zj ． ( 5) ( 2) 二阶中心矩 M2，随机变量 Z 的二阶中心矩为 Z 的方差 σ2 Z，其定义为 M2 = E ( Z － μZ ) 2 = ∫ +∞ －∞ ( z － μZ ) 2 f( z) dz， ( 6) 其点估计为 M2 = E ( Z － μZ ) 2 = σ2 Z = ∑ 2n j = 1 Pj Z2 j － μ2 Z = 1 2n ∑ 2n j = 1 Z2 j － μ2 Z ． ( 7) 由 Z 的一阶矩和二阶矩，可以得到反映 Z 分布形 态的统计参数如下． ①均值 μZ : μZ = M1 ． ( 8) ②变异系数 δ: δ = 槡M2 /M1 ． ( 9) 变异系数 δ 反映了 Z 的离散程度． ③可靠性指标 β: β = μZ － 1 σZ ． ( 10) ④破坏概率 Pf ( 假设状态函数 Z 服从正态分布) : Pf = 1 － Φ［β］． ( 11) 2 节理有限元法模型 2. 1 节理单元 Goodman 单元［16］ 是一种无厚度的模拟岩石中节 点和裂隙等的特殊单元． 该单元假定接触是线弹性 的，应力与相对位移的关系式为 { σ} =［k0］{ ω} ． ( 12) 式中，{ σ} = τ {σn }，{ ω} = ωs {ωn }，［k0］= ks 0 [ 0 k ] n ，ks 和 kn 分别为切向和法相刚度系数． Goodman 单元能较好较反应单元接触面切向应力 · 548 ·