(1)这里a(x)=x2,f(x)=(x+1)3.从而可求出原方程的通解为 y= exp( dr)(C+ dx)dr +2(x+1)3, 即y=C(x+1)2+3(x+1)3,其中C为任意常数 (6)这里a(x)=2x,f(x)=x.从而可求出原方程的通解为 y= exp(2/rdr)(C 即y=-2+Cex,其中C为任意常数 6.求下列初值问题的解 (2)y(1+x2)dly=x(1+y2)dr,y(0)=1. )e" (2)这是变量分离的方程,分离变量后得 1+y2y=1+a 两端积分得其通解为1+y2=C(1+x2),其中C为任意常数.代入初值条件得C=2.故所给 初值问题的解为y=√1+2r2 (5)令u=e",原方程变为 -=r+r 容易求得其通解为u=x2+1x4+C,从而原方程的通解为 其中C为任意常数.代入初值条件得e=是+C,从而C=e-.故所给初值问题的解为 1 7.求解下列 Bernoulli方程 (1)出=62-xg (3)x-4=2n2√(x≠0,y>0) (1)当y≠0时,令z 原方程变为 这是一阶线性微分方程,其通解为2 (1) 这里 a(x) = 2 x+1 , f(x) = (x + 1) 5 2 . 从而可求出原方程的通解为 y = exp(Z 2 x + 1 dx)(C + Z (x + 1) 5 2 exp(− Z 2 x + 1 dx)dx) = C(x + 1)2 + 2 3 (x + 1) 7 2 , 即 y = C(x + 1)2 + 2 3 (x + 1) 7 2 , 其中 C 为任意常数. (6) 这里 a(x) = 2x, f(x) = x. 从而可求出原方程的通解为 y = exp(2 Z xdx)(C + Z x exp(−2 Z xdx)dx) = − 1 2 + Cex 2 , 即 y = − 1 2 + Cex 2 , 其中 C 为任意常数. 6. 求下列初值问题的解. (2) y(1 + x 2 )dy = x(1 + y 2 )dx, y(0) = 1. (5) e y dy dx − x − x 3 = 0, y(1) = 1. 解: (2) 这是变量分离的方程, 分离变量后得 y 1 + y 2 dy = x 1 + x2 dx, 两端积分得其通解为 1 + y 2 = C(1 + x 2 ), 其中 C 为任意常数. 代入初值条件得 C = 2. 故所给 初值问题的解为 y = √ 1 + 2x2. (5) 令 u = e y , 原方程变为 du dx = x + x 3 , 容易求得其通解为 u = 1 2 x 2 + 1 4 x 4 + C, 从而原方程的通解为 e y = 1 2 x 2 + 1 4 x 4 + C, 其中 C 为任意常数. 代入初值条件得 e = 3 4 + C, 从而 C = e − 3 4 . 故所给初值问题的解为 e y = 1 2 x 2 + 1 4 x 4 + e − 3 4 . 7. 求解下列 Bernoulli 方程 (1) dy dx = 6 y x − xy2 . (3) x dy dx − 4y = 2x 2√y (x 6= 0, y > 0). 解: (1) 当 y 6= 0 时, 令 z = y −1 , 原方程变为 dz dx = − 6 x z + x, 这是一阶线性微分方程, 其通解为 z = 1 x6 (C + 1 8 x 8 )