从而原方程的通解为 r6 rs 其中C为任意常数.此外,显然y=0也是方程的解 (3)令z=√9,原方程变为 dz 这是一阶线性微分方程,其通解为z=x2(m|x+C),从而原方程的通解为y=x4(mx+C)2 其中C为任意常数 11.设v(a),y2(ax)是方程 dr +p(a)y= g() 的两个互异解.求证对于该方程的任一解y(x),成立恒等式 y(a)-(2)=C, 其中C是某常数. 证明:令v(x)=y(x)-(x),叭(x)=y(x)-1(x),容易验证 do d+p(x)(a)=0,a+p(a)o()=0 因此存在常数k1,k2≠0使得 v(r)=ki exp( 其中xo∈R.从而 (x)-y1(x)o(x) = 这里C=为一常数3 从而原方程的通解为 x 6 y − x 8 8 = C, 其中 C 为任意常数. 此外, 显然 y = 0 也是方程的解. (3) 令 z = √y, 原方程变为 dz dx = 2 x z + x, 这是一阶线性微分方程, 其通解为 z = x 2 (ln |x| + C), 从而原方程的通解为 y = x 4 (ln |x| + C) 2 , 其中 C 为任意常数. 11. 设 y1(x), y2(x) 是方程 dy dx + p(x)y = q(x), 的两个互异解. 求证对于该方程的任一解 y(x), 成立恒等式 y(x) − y1(x) y2(x) − y1(x) = C, 其中 C 是某常数. 证明: 令 ψ(x) = y(x) − y1(x), φ(x) = y2(x) − y1(x), 容易验证 dψ dx + p(x)ψ(x) = 0, dφ dx + p(x)φ(x) = 0. 因此存在常数 k1, k2 6= 0 使得 ψ(x) = k1 exp(− Z x x0 p(t)dt), φ(x) = k2 exp(− Z x x0 p(t)dt), 其中 x0 ∈ R. 从而 y(x) − y1(x) y2(x) − y1(x) = ψ(x) φ(x) = k1 k2 = C, 这里 C = k1 k2 为一常数