历来，数学被当作一门现成的学科来教。把定义、法则和算法教给学生，然后要求他们 按照这些进行学习，其实贝有少数人是这么学习数学的.如果你问数学家他们是怎样念书的， 他们中的大多数会回答你，他们设法再创造内容，我相信年轻学生可能也有同样的权利。 为了正确判断现象学的分析，我把定义包括在学生有权再创造的事物范围之内。现成的 数学的一个形式理论起始于定义和符号，以前，每个定义和符号也都是被创造出来的，它们 逐渐在互相联系中发展。事实上，为了使知识成为高效且有用的，从而适合于与别人和自己 交流（即记忆知识），必须将知识（不管是如何获得的）加以组织并系统化。如果给学生以相同 的机会，我们可以相信他能更好地理解定义和符号的必要性。但是定义和符号只是现成的数 学的开始。尽管我选这些作为特别生动的例子，但是我所说的一切，都或多或少地包含了现 成的演绎体系的过程。 历史告诉我们数学是怎样创造的。我曾经问过这样一个问题，学生是否应该重复人类的 学习过程？当然不应该。自古以来，历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小 道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己。对于个别人的思想怎样发展，我们几乎 一无所知，但我们可以从人类的发展中知道许多东西。孩子应该重复人类的学习过程，但并 非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情 况会怎么发生。 新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平。他们 被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，尽管是以一种修改的方式。教育 式作者承担了帮助他们的任务，但不是通过规定，而是通过允许他们再创造他们应该学到的 数学。我认为这并不容易，而恰当地理解如何不容易和为什么不容易甚至就更困难了。最首 要和最重要的事情是意识到这个挑战，并做好准备去迎接它，同时也要为那些准备按照原来 的方式继续进行指导的人做好准备。在“教师培训”中我们还有机会再来讲这个问题（尽管 牵涉到通过教学再创造的教学问题)，但此时我可以说常识和有指导的数学再创造会再次为 回答这个问题打下基础。 因为指导再创造意味若在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的 乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡，所以答案就不是那么简单了。而且，学生 的自由选择已被“再创造”的“再”限制了。学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导 者是熟知的东西。 不管怎样，“再创造”至少是要再创造一些东西，我们首先来讨论它。 2.1.1往哪儿指导？ 4 4 历来，数学被当作一门现成的学科来教。把定义、法则和算法教给学生，然后要求他们 按照这些进行学习。其实只有少数人是这么学习数学的。如果你问数学家他们是怎样念书的， 他们中的大多数会回答你，他们设法再创造内容，我相信年轻学生可能也有同样的权利。 为了正确判断现象学的分析，我把定义包括在学生有权再创造的事物范围之内。现成的 数学的一个形式理论起始于定义和符号，以前，每个定义和符号也都是被创造出来的，它们 逐渐在互相联系中发展。事实上，为了使知识成为高效且有用的，从而适合于与别人和自己 交流(即记忆知识)，必须将知识(不管是如何获得的)加以组织并系统化。如果给学生以相同 的机会，我们可以相信他能更好地理解定义和符号的必要性。但是定义和符号只是现成的数 学的开始。尽管我选这些作为特别生动的例子，但是我所说的一切，都或多或少地包含了现 成的演绎体系的过程。 历史告诉我们数学是怎样创造的。我曾经问过这样一个问题，学生是否应该重复人类的 学习过程?当然不应该。自古以来，历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小 道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己。对于个别人的思想怎样发展，我们几乎 一无所知，但我们可以从人类的发展中知道许多东西。孩子应该重复人类的学习过程，但并 非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情 况会怎么发生。 新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平。他们 被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，尽管是以一种修改的方式。教育 式作者承担了帮助他们的任务，但不是通过规定，而是通过允许他们再创造他们应该学到的 数学。我认为这并不容易，而恰当地理解如何不容易和为什么不容易甚至就更困难了。最首 要和最重要的事情是意识到这个挑战，并做好准备去迎接它，同时也要为那些准备按照原来 的方式继续进行指导的人做好准备。在“教师培训”中我们还有机会再来讲这个问题(尽管 牵涉到通过教学再创造的教学问题)，但此时我可以说常识和有指导的数学再创造会再次为 回答这个问题打下基础。 因为指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的 乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡，所以答案就不是那么简单了。而且，学生 的自由选择已被“再创造”的“再”限制了。学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导 者是熟知的东西。 不管怎样，“再创造”至少是要再创造一些东西，我们首先来讨论它。 2.1.1 往哪儿指导?