没有提到学生的任何活动：而且它似乎描述了一种狭陛的思维方法，尽管其本意并非如此。 将学习作为一个发生的起源，同时将教比作工具和实施手段，这可能是一个很好的比喻，而 并不是与“社会的”相对的形容词“发生的”所反映的生物学的关系。 另一方面，不能否认数学在认知发展中的首次出现，看起来确实几乎就是一种生物的 发生一我这儿指的是相似性和非负整数的出现。同时，数的充分发展是由学生的动力所驱 动的。学生的动力在一种建设性的语言活动中证明了其自身（正如我早就指出来的）。学生或 多或少自觉地再创造了数序，而且这种再创造活动甚至可以扩展到算术运算。众所周知，一 些孩子再创造了他们自己的算术，这种算术在不同程度上依赖于孩子们的个性特征和他们所 处的环境。然而，如果给予一定的支持，每个普通的孩子也许都有能力再创造出他在将来的 日常生活中所需要的那么些数学，这种设想难道真的遥不可及吗？事实上这并没有发生，也 很难确定这是否可能。因为一般来说，在一个有前途的开端以后，孩子并没有机会去再创造 任何东西，至少在通常的学校学习中是这样的。相反地，知识和行为规范一般或多或少都是 被强加的，正如儿童获得的大多数知识是通过教学而米的一样。至于到什么程度这种现象才 算基本合理，这里也不是讨论的地方。因为在这儿我们关心的是数学，正如我早就解释过的， 数学是不同的。而为什么它是不同的，理由之一就是历史。人类学习的历史过程能被个别的 学生以某种方式重复一遍吗？既然一个聪明的年轻人能再创造出许多他自己的数学，那些不 太聪明的孩子为什么就不能在别人一成年人或他们的同龄人的帮助和指导下也这么做呢？ 他们为什么不能在他们开始的道路上继续走下去呢 当然不用自始至终都如此。个人无须重复整个历史的起源，也无须回顾通过形式和内容 不断地相互作用而产生和建立的知识及能力的概念等级。但是，为什么人们不能抓住机会去 追求、去攀登、去钻研，从而达到他们力所能及的高度和深度呢？除此之外，在任何方面， 在每个人所能达到的范用内，必定都存在着一定的标准。我承认这些标准的水平是多年来在 数学教有中我更感兴趣的一种东西一只要是可行的，它的自然外延以及各种机遇、可能性 都会尽可能地得到扩展。 这是在人们应该学习的数学中是否要事先做出规定所产生了分歧的一个观点.应该允许 学生发现自己的标准，然后在一定的指导下，探索能达到这个标准的道路。而指导的多少是 根据各自具体的情况而定的。对于这个策略赞成与否，存在着一些合理的教学方面的争论。 首先，知识和能力，如果是通过自己的活动获得的，就比别人强加的要掌握得更好，也更具 有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力的。第三， 它促进了将数学作为一种人类的活动来体验的观念的形成。 33 没有提到学生的任何活动：而且它似乎描述了一种狭隘的思维方法，尽管其本意并非如此。 将学习作为一个发生的起源，同时将教比作工具和实施手段，这可能是一个很好的比喻，而 并不是与“社会的”相对的形容词“发生的”所反映的生物学的关系。 另一方面，不能否认数学在认知发展中的首次出现，看起来确实几乎就是一种生物的 发生——我这儿指的是相似性和非负整数的出现。同时，数的充分发展是由学生的动力所驱 动的。学生的动力在一种建设性的语言活动中证明了其自身(正如我早就指出来的)。学生或 多或少自觉地再创造了数序，而且这种再创造活动甚至可以扩展到算术运算。众所周知，一 些孩子再创造了他们自己的算术，这种算术在不同程度上依赖于孩子们的个性特征和他们所 处的环境。然而，如果给予一定的支持，每个普通的孩子也许都有能力再创造出他在将来的 日常生活中所需要的那么些数学，这种设想难道真的遥不可及吗?事实上这并没有发生，也 很难确定这是否可能。因为一般来说，在一个有前途的开端以后，孩子并没有机会去再创造 任何东西，至少在通常的学校学习中是这样的。相反地，知识和行为规范一般或多或少都是 被强加的，正如儿童获得的大多数知识是通过教学而来的一样。至于到什么程度这种现象才 算基本合理，这里也不是讨论的地方。因为在这儿我们关心的是数学，正如我早就解释过的， 数学是不同的。而为什么它是不同的，理由之一就是历史。人类学习的历史过程能被个别的 学生以某种方式重复一遍吗?既然一个聪明的年轻人能再创造出许多他自己的数学，那些不 太聪明的孩子为什么就不能在别人——成年人或他们的同龄人的帮助和指导下也这么做呢? 他们为什么不能在他们开始的道路上继续走下去呢? 当然不用自始至终都如此。个人无须重复整个历史的起源，也无须回顾通过形式和内容 不断地相互作用而产生和建立的知识及能力的概念等级。但是，为什么人们不能抓住机会去 追求、去攀登、去钻研，从而达到他们力所能及的高度和深度呢?除此之外，在任何方面， 在每个人所能达到的范围内，必定都存在着一定的标准。我承认这些标准的水平是多年来在 数学教育中我更感兴趣的一种东西——只要是可行的，它的自然外延以及各种机遇、可能性 都会尽可能地得到扩展。 这是在人们应该学习的数学中是否要事先做出规定所产生了分歧的一个观点。应该允许 学生发现自己的标准，然后在一定的指导下，探索能达到这个标准的道路。而指导的多少是 根据各自具体的情况而定的。对于这个策略赞成与否，存在着一些合理的教学方面的争论。 首先，知识和能力，如果是通过自己的活动获得的，就比别人强加的要掌握得更好，也更具 有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力的。第三， 它促进了将数学作为一种人类的活动来体验的观念的形成