大圆是子午圆,y是这个大圆的极点把这个极点当成顶量的一点,那么曲便 就有个高度,这个高度被取成是(x),是个内积这个高度可以看成是曲便 量的一个函阵,那么曲便在空间里头就有了一个高度.我们这曲便是封闭的 当然有个最高点,有个最低点.在最高点,因为个是最高的,显然个的切便是 平的.在最低点,切便也是平的.所以就有两个临界点,一个是代表高度最 高的,一个是最低的,而与y这个点垂直的那个大圆,一定跟单位球量的曲便 变交.因为(y,dx)这个内积是0,所以y跟球面的e1()在一点变交.因此在单 位球量的曲便跟这个单位圆变交.但是y是任并方向,所以我们球量的高斯 映射的曲便是跟球量的什么圆都变交,这是因为y是任并一个点,于是y的那 个子午圆交我们这条曲便我想高斯曲便我叫个,个跟y的子午圆变交,因 此跟任并单位圆变交,这是很要紧的一个性质.所以?这条曲便一定要变当 长,个在球量不是一条任何的曲便,个在球量是一条跟所有的圆周(大圆)都 变交的曲便.那么我还是需要证明个有2π这个下界,下面来说明这个问题 我这条曲便是e1(s),叫同位圆.e1(s)就是空间曲便的一个高斯映射,个是 切便的方向在单位球量所成的曲便,而这条曲便叫做γ,个跟球量的任何单 位圆都变交.那么一般么,这条曲便变当长了,如式太短,个没有这个性质 说个有一个2r的下界,是 Crofton公式 4L. (3.12) Crofton的文章也很有并思,不是一个正式的阵学文章.英国的百科全 书( Encyclopaedia a)请他写一质文章,是关于几何概率的.他是在写(几何)概 率的文章时候把他的结式写在里头了.这个结式很要紧,换句话说,就在平 面量讲,曲便的长度可以表为跟个变交的直便的度量.长度,就是直便的度 量,这个并思在探物学里,近代在医学都有应用.有时候,你身体量的东两, 要问个有多大,也不能把人切开,是不好量的.于是就是用看变交这个东两 的便作为度量,来量这个身体量的某一部分的大小.这一部分阵学一般叫做 积分几何,不是微分几何.积分几何就是研究这些积分的关系与性质积 分几何在医学量有很大的应用,有很多机器采用采用这理论.因为你要看 人的病体,也不能拿这个病体来量,就拿便射个,按射个的效式来看病体的 7▲❐✹✝❒❐, y ✹❨➬▲❐④ô➎. ➨❨➬ô➎❤➘➸Þ④✘➎, ￾➃▼✧ Ò❿➬➦Ý, ❨➬➦Ýú❘➘✹y(x), ✹➬✓è. ❨➬➦Ý✱✶✗➘✹▼✧ Þ④✘➬❁❥, ￾➃▼✧ó✽✲➦❃Ò❿ê✘➬➦Ý. ➲➣❨▼✧✹❯✔④, ❤❧❿➬✦➦➎, ❿➬✦❸➎. ó✦➦➎, ❖➃➬✹✦➦④, ✗❧➬④★✧✹ ➨④. ó✦❸➎, ★✧✎✹➨④. ➘✶Ò❿Ü➬ø➂➎, ✘➬✹❙✱➦Ý✦ ➦④, ✘➬✹✦❸④, ✌➛y❨➬➎✒❺④￾➬▲❐, ✘➼❐❭➔❊Þ④▼✧ ★❜. ❖➃(y, dx) ❨➬✓è✹0, ➘✶y❐❊➪④e1(s)ó✘➎★❜. ❖✩ó❭ ➔❊Þ④▼✧❐❨➬❭➔❐★❜. ❜✹y✹⑧❄✵✺, ➘✶➲➣❊Þ④➦❸ ♥ó④▼✧✹❐❊Þ④✤➃❐Ñ★❜, ❨✹❖➃y✹⑧❄✘➬➎, ➉✹y④￾ ➬✝❒❐❜➲➣❨✣▼✧. ➲✳➦❸▼✧➲✇➬γ, ➬❐y④✝❒❐★❜, ❖ ✩❐⑧❄❭➔❐★❜, ❨✹✐✞➏④✘➬✉➓. ➘✶γ❨✣▼✧✘➼✞★❤ ➓, ➬ó❊Þ❳✹✘✣⑧❬④▼✧, ➬ó❊Þ✹✘✣❐➘❿④❐➧(▲❐)Ñ ★❜④▼✧. ￾➃➲↕✹❽✞②Ò➬❿2π ❨➬✆➂, ✆➪✉⑨Ò❨➬➥☛. ➲❨✣▼✧γ✹e1(s), ✇✸➔❐. e1(s) Ò✹✽✲▼✧④✘➬➦❸♥ó, ➬✹ ★✧④✵✺ó❭➔❊Þ➘➘④▼✧, ✌❨✣▼✧✇✮γ, ➬❐❊Þ④⑧❬❭ ➔❐Ñ★❜. ￾➃✘➘➃, ❨✣▼✧★❤➓ê, ➌✯Ôá, ➬➊❿❨➬✉➓. ⑨➬❿✘➬2π ④✆➂, ✹CroftonÚ✯Õ Z Z = 4L. (3.12) Crofton④➞✾✎✐❿❄❻, ❳✹✘➬t✯④❥➛➞✾. ❪✮④➸✮❭ ❱(Encyclopaedi a) ❃➷❯✘➓➞✾, ✹✞➉✁❬➊●④. ➷✹ó❯(✁❬)➊ ●④➞✾✣⑧➨➷④❼✯❯ó➦❃ê. ❨➬❼✯✐✞➏, ➛é➏⑨, Òó➨ ➪Þ❨, ▼✧④➓Ý✱✶✱➃❐➬★❜④❺✧④ÝÞ. ➓Ý, Ò✹❺✧④Ý Þ, ❨➬❄❻óæÔ➛➦, ↔❙ó✚➛Ñ❿❛⑦. ❿✣⑧, ✜ü✍Þ④➚Ü, ✞➥➬❿õ▲, ✎❳✕➨⑤★✌, ✹❳PÞ④. ➉✹Ò✹⑦✗★❜❨➬➚Ü ④✧✯➃ÝÞ, ✉Þ❨➬ü✍Þ④ì✘❭■④▲❇. ❨✘❭■❥➛✘➘✇✮ è■✁❬, ❳✹❻■✁❬. è■✁❬Ò✹Ï➘❨❏è■④✞ø➛✉➓. è ■✁❬ó✚➛Þ❿✐▲④❛⑦, ❿✐õåì❢⑦❢⑦❨➤❳. ❖➃✜✞✗ ⑤④❃✍, ✎❳✕ü❨➬❃✍✉Þ, Òü✧ó➬, ➉ó➬④❍✯✉✗❃✍④ 7