大小及其它的性质.这就是积分几何.那么我现在说,(312)是 Crofton公式, 就是说球面上边也有几何,是球面几何.它的点我都知道,它的直线就是大 圆.所以现在我在球面上有条曲线,跟所有大圆都相交.那么,这种直线的 数有一个量度, Crofton公式讲,它是等于4倍它的量度. FeuchT公式是球面 上 Crofton公式的一个结果.因为 Crofton公式说它的量度是4倍于它的四边 路长,所以就利用这条曲线跟每一个大圆都相交的性质就得到 Fetch公式 因此问题就是说什么是球面上大圆的量度.球面上的大圆是球面上非欧几 何的直线.而对于直线,我也有个量度( measure)在球面上的量度很简单,这 是因为球面上的直线跟极点有个简单的对偶关系:因为你有一个大圆,它有 个极点,因此这条直线跟这个极点有个对偶关系.于是这个大圆的量度就 取为这个极点的量度.所以我现在大概讲一讲怎么样证明球面上的 Crofton 公式.这个证明其实很简单,不过要小心一点,就是想法子换换坐标就行了 现在比方说,这条曲线跟一个大圆相交,那么这个大圆可以换坐标、.如果换 坐标,由于e1(s这条曲线跟这个大圆相交,而大圆有个极点y,所以要换y的 坐标.那么换坐标换什么呢?这个大圆与直线相交,而大圆是2维的空间,所 以要有两个坐标.我就取这条曲线的弧长s作为一个坐标,那么,这个大圆跟 直线相交的话,就有图上的这个情况:还缺一个坐标是什么呢?大圆有 个极点,这个极点是y.显然y是与e1垂直的,所以y一定在e2,e3所成的圆周 上,这是因为e2,e3是跟e1垂直的因此y就是在e2,e3的圆周上,于是y就可以 表为 Be2(s)+sin ees( 实际上,y是e2,e3的一个线性组合.又因为它是个单位矢量,所以可以写成 这样的形状.因此y这点有两个坐标我可以取为s,.那么现在的问题是求y 在这个面积元素( element area)的度量,是要把y这点的度量看成是大圆的 度量.通常这不难求.y是一个点,你就求dy.y是在单位球上的一点,于是下 面来求dy.把这个d写为跟y垂直的两个方向的函数,那么这两个单位矢量 系数的外积就是y的度量.所以我现在这么做.e1,e2,e3是标架,它们三个矢▲❇ùÙ➬④✉➓. ❨Ò✹è■✁❬. ￾➃➲✙ó⑨, (3.12)✹CroftonÚ✯, Ò✹⑨❊➪Þ✣✎❿✁❬, ✹❊➪✁❬. ➬④➎➲Ñ⑧✇, ➬④❺✧Ò✹▲ ❐. ➘✶✙ó➲ó❊➪Þ❿✣▼✧, ❐➘❿▲❐Ñ★❜. ￾➃, ❨➠❺✧④➬ ❥❿✘➬ÞÝ, CroftonÚ✯❨, ➬✹⑧➉4õ➬④ÞÝ. FeuchllÚ✯✹❊➪ ÞCroftonÚ✯④✘➬❼✯. ❖➃CroftonÚ✯⑨➬④ÞÝ✹4õ➉➬④➃✣ ✹➓, ➘✶Ò➻⑦❨✣▼✧❐➎✘➬▲❐Ñ★❜④✉➓Ò③tFeuchllÚ✯. ❖✩➥☛Ò✹⑨✤➃✹❊➪Þ▲❐④ÞÝ. ❊➪Þ④▲❐✹❊➪Þ✿◆✁ ❬④❺✧. ✌é➉❺✧, ➲✎❿➬ÞÝ(measure).ó❊➪Þ④ÞÝ✐❀❭, ❨ ✹❖➃❊➪Þ④❺✧❐ô➎❿➬❀❭④é❙✞ø: ❖➃✜❿✘➬▲❐, ➬❿ ✘➬ô➎, ❖✩❨✣❺✧❐❨➬ô➎❿➬é❙✞ø. ➉✹❨➬▲❐④ÞÝÒ ❘➃❨➬ô➎④ÞÝ. ➘✶➲✙ó▲➊❨✘❨✍➃ø②Ò❊➪Þ④Crofton Ú✯. ❨➬②ÒÙ✧✐❀❭, ❳✱✞❇❡✘➎, Ò✹✳✛✝➛➛✰✮Òqê. ✙ó✞✵⑨, γ❨✣▼✧❐✘➬▲❐★❜, ￾➃❨➬▲❐✱✶➛✰✮. ➌✯➛ ✰✮, ❸➉e1(s)❨✣▼✧❐❨➬▲❐★❜, ✌▲❐❿➬ô➎y, ➘✶✞➛y④ ✰✮. ￾➃➛✰✮➛✤➃✑Ú❨➬▲❐➛❺✧★❜, ✌▲❐✹2➅④✽✲, ➘ ✶✞❿Ü➬✰✮. ➲Ò❘❨✣▼✧④➀➓s✯➃✘➬✰✮. ￾➃, ❨➬▲❐❐ ❺✧★❜④➏, Ò❿❈Þ④❨➬❁❨Õ↕❜✘➬✰✮✹✤➃✑Ú▲❐❿✘ ➬ô➎, ❨➬ô➎✹y. ✗❧y✹➛e1✒❺④, ➘✶y ✘➼óe2, e3 ➘➘④❐➧ Þ, ❨✹❖➃e2, e3✹❐e1 ✒❺④. ❖✩yÒ✹óe2, e3④❐➧Þ, ➉✹yÒ✱✶ ✱➃ y = cos θe2(s) + sin θe3(s), (3.13) ✧✓Þ, y✹e2, e3 ④✘➬✧✉✜❭. ➅❖➃➬✹➬❭➔✪Þ, ➘✶✱✶❯➘ ❨ø④♦ç. ❖✩y❨➎❿Ü➬✰✮,➲✱✶❘➃s, θ. ￾➃✙ó④➥☛✹❋y ó❨➬➪è➹↔(element area)④ÝÞ, ✹✞➨y ❨➎④ÝÞ✗➘✹▲❐④ ÝÞ. ✴➒❨❳✡❋. y ✹✘➬➎, ✜Ò❋dy. y✹ó❭➔❊Þ④✘➎, ➉✹✆ ➪✉❋dy. ➨❨➬dy❯➃❐y ✒❺④Ü➬✵✺④❁❥, ￾➃❨Ü➬❭➔✪Þ ø❥④✐èÒ✹y ④ÝÞ. ➘✶➲✙ó❨➃✮. e1, e2, e3✹✮✪, ➬➣➤➬✪ 8