量是互相垂直的单位矢量,它们也都是s的函数.所以我把它的公式写出来 ds a2e2 a3e3 d 3e1 无论如何,这公式里头的系数成一个反对称的方数.这就做下去,很简单地 如果算一算y,就得到dy一个公式 dy=(sin Be2 +cos Be3)(de+ayds)-e1(a1 cos 8+a3 sine)ds. (3.15) 于是我们有 面积元素=(a2cos6+a3sin6)d∧ds 若命 a2 =COST, a3=sInT, (31 则 面积元素=cos(-6)d∧ds. (318) 即最后cos(r-6)d0∧ds是球面上的面积元素.为了要求这个球面上的面 积,求这个东西的重积分,也就是求这个式子的重积分.那么我数这个点的 时候,是考虑完全绝对值,来求这个绝对值的这个重积分.我刚交假设有两 个变数s跟,那么就对它们来求积分.积分的时候先固定s,取cos的绝对值 来求积分.假使角度转一圈的话,|cos一共变了多少呢?cos的绝对值的积 分是4.这是因为当cos从0到r时是从1到-1,一共是4次1,所以是4.因此这 样你就求到跟曲线相交的大圆的度量,即有多少个大圆这个度量是求这个 重积分,把它算出来.算出来之后,你只要求一次对θ的积分就可以了.剩下 的是曲线的弧进.所以 Cr often问题就能从这个计算得到.你们抄下来,回 去想一想,就可以得到.因此 Crofton公式说?这条曲线至少有多进它把这 个曲线跟任何大圆相交的性质表为一个度量的性质,即有多进.由这个我 就得到 Feucht定理.这是很漂亮的一个定理:我们假使这个流形是封闭的,Þ✹➄★✒❺④❭➔✪Þ, ➬➣✎Ñ✹s④❁❥. ➘✶➲➨➬④Ú✯❯ñ✉: de1 ds = a2e2 + a3e3 de2 ds = −a2e1 + a1e3 (3.14) de3 ds = −a3e1 − a1e2 ➹❳➌❬, ❨Ú✯➦❃④ø❥➘✘➬✬é➪④✵❥. ❨Ò✮✆❱, ✐❀❭➃, ➌✯➤✘➤dy,Ò③tdy✘➬Ú✯: dy = (− sin θe2 + cos θe3)(dθ + a3ds) − e1(a1 cos θ + a3 sinθ)ds. (3.15) ➉✹➲➣❿ ➪è➹↔ = (a2 cos θ + a3 sin θ)dθ ∧ ds. (3.16) ➙× a2 = cos τ, a3 = sin τ, (3.17) ☛ ➪è➹↔ = cos(τ − θ)dθ ∧ ds. (3.18) ý✦⑨cos(τ − θ)dθ ∧ ds ✹❊➪Þ④➪è➹↔. ➃ê✞❋❨➬❊➪Þ④➪ è, ❋❨➬➚Ü④➢è■, ✎Ò✹❋❨➬✯✝④➢è■. ￾➃➲❥❨➬➎④ ✣⑧, ✹✤❉q❭ýé❾, ✉❋❨➬ýé❾④❨➬➢è■. ➲➛❜✧÷❿Ü ➬★❥s ❐θ, ￾➃Òé➬➣✉❋è■. è■④✣⑧☛û➼s, ❘cos④ýé❾ ✉❋è■. ✧✫♥ÝÝ✘❲④➏, | cos|✘á★êõè✑Úcos④ýé❾④è ■✹4 . ❨✹❖➃❤cos✱0tπ✣✹✱1t-1, ✘á✹4✬1, ➘✶✹4. ❖✩❨ ø✜Ò❋t❐▼✧★❜④▲❐④ÝÞ, ý❿õè➬▲❐. ❨➬ÝÞ✹❋❨➬ ➢è■, ➨➬➤ñ✉. ➤ñ✉❷⑨, ✜➄✞❋✘✬éθ④è■Ò✱✶ê. ✏✆ ④✹▼✧④➀➓. ➘✶Cr ofton➥☛Ò✕✱❨➬✎➤③t. ✜➣➝✆✉, ➹ ❱✳✘✳, Ò✱✶③t. ❖✩CroftonÚ✯⑨γ❨✣▼✧➊è❿õ➓. ➬➨❨ ➬▼✧❐⑧❬▲❐★❜④✉➓✱➃✘➬ÝÞ④✉➓, ý❿õ➓. ❸❨➬➲ Ò③tFeuchll➼➤. ❨✹✐↕à④✘➬➼➤: ➲➣✧✫❨➬✖♦✹❯✔④, 9