在2维的情形,就是封闭的曲线.对于封闭的曲线,它的总曲率有一个一定的 下限.什么条候这个下限能达到?显然确这条曲线是平面曲线并且是一条 完备( complete曲线条是可以达到的.根据上面讨论也可以证明这个结论 更有意微的一个结果是所谓的Fay- Milnor定理:如果曲线C有结,则 kds>4丌 (3.19 我想 Milnor是近些年来美国最优秀的一个拓扑学家者.他做这个定理的条 候,就跟你们一样.上课条,老师谈到这个问题.他给出一个条件什么条候 条封闭的曲线能打成一个结.假使有结的话,显然我们推测需要曲率更多 些,因为打结就得转转.不过Fray- Milnor定理就是讲假使这个封闭的曲 线有一个结的话,它的全曲率的积分至少为4.所以全曲率一定就大于4.这 个证明很简全,因为如果它小于4的话,一定有个方向,在这个方向上的高度 只有一个极大跟一个极小点.所以我这条曲线一定是连接这个极大点与极 小点的两个弧.那么中间就没有极大点和极小点,所以中间那些平行的平面 跟曲线相交的话,都相交于两点.那么用一条线稍把这两点连起来,于是它 这曲线就围成一个区域.显然曲线就可以缩成一点,所以就不是结.所以如 果这全曲率小于4的话,它这条曲线的结就可以解开.因此如果曲线有个结 的话,它的全曲率一定≥4.于是立刻得出来Fray- Milnor定理.下面我讲讲 与陈国才的工作的关样.陈国才的工作是讨论这个结,进行不只一条曲线 可以有好几条曲线,即所谓link的研究,讨论什么条候这个link能绕过来曲 率是挠率.这个问题物理学家很感兴趣,最近,做了很多这方面的工作.不 过,推广Fary- Milnor定理有个可能性,就是讨论切线的曲率跟挠率对于陈 国才的不变式有什么影响.陈国才是研究曲线的对偶同三的性质跟微分式 的关样,所以真正用在这个方面,你不见得能把这个结解开.但是有可能确 曲线的曲率与挠率有某种性质的条候,他所定的这个不变式会任于0.所以 有些问题研究的条候可以想一想.如果有人听了 Harris教授的课的话,他就 在讲陈国才的工作.陈国才是近几年来中国产生的一个非常优秀的数学家 他没有名,不都与媒介有什么关样,一个人做他的领域,做非常特殊,非常创 新的工作 10ó2➅④❁♦, Ò✹❯✔④▼✧. é➉❯✔④▼✧, ➬④✎▼●❿✘➬✘➼④ ✆✦. ✤➃✣⑧❨➬✆✦✕❍t? ✗❧❤❨✣▼✧✹➨➪▼✧❄✪✹✘✣ q÷(complete)▼✧✣✹✱✶❍t④. ✃âÞ➪ÿ❳✎✱✶②Ò❨➬❼❳. ❮❿❄❻④✘➬❼✯✹➘➣④Fray-Milnor ➼➤Õ➌✯▼✧C❿❼, ☛ Z C kds ≥ 4π. (3.19) ➲✳Milnor✹↔❏★✉➏✮✦⑨❸④✘➬❴➚➛✛❱. ➷✮❨➬➼➤④✣ ⑧, Ò❐✜➣✘ø. Þ✶✣, ➄✓át❨➬➥☛. ➷➱ñ✘➬✣●✤➃✣⑧ ✘✣❯✔④▼✧✕❑➘✘➬❼. ✧✫❿❼④➏, ✗❧➲➣▼⑧❽✞▼●❮õ ✘❏, ❖➃❑❼Ò③ÝÝ. ❳✱Fray -Milnor➼➤Ò✹❨✧✫❨➬❯✔④▼ ✧❿✘➬❼④➏, ➬④❭▼●④è■➊è➃4. ➘✶❭▼●✘➼Ò▲➉4. ❨ ➬②Ò✐❀❭, ❖➃➌✯➬❇➉4④➏, ✘➼❿➬✵✺, ó❨➬✵✺Þ④➦Ý ➄❿✘➬ô▲❐✘➬ô❇➎. ➘✶➲❨✣▼✧✘➼✹❐③❨➬ô▲➎➛ô ❇➎④Ü➬➀. ￾➃➙✲Ò➊❿ô▲➎❩ô❇➎, ➘✶➙✲￾❏➨q④➨➪ ❐▼✧★❜④➏, Ñ★❜➉Ü➎. ￾➃⑦✘✣✧ã➨❨Ü➎❐å✉, ➉✹➬ ❨▼✧Ò➀➘✘➬❑➢. ✗❧▼✧Ò✱✶➚➘✘➎, ➘✶Ò❳✹❼. ➘✶➌ ✯❨❭▼●❇➉4 ④➏, ➬❨✣▼✧④❼Ò✱✶❽✌. ❖✩➌✯▼✧❿➬❼ ④➏, ➬④❭▼●✘➼≥ 4. ➉✹➪✴③ñ✉Fray-Milnor ➼➤. ✆➪➲❨❨ ➛➼✮❜④Ó✯④✞ø. ➼✮❜④Ó✯✹ÿ❳❨➬❼, ➓q❳➄✘✣▼✧, ✱✶❿P✁✣▼✧, ý➘➣link④Ï➘, ÿ❳✤➃✣⑧❨➬link ✕✇✱✉▼ ●✹☞●. ❨➬➥☛Ô➤➛✛✐→❧❯, ✦↔, ✮ê✐õ❨✵➪④Ó✯. ❳ ✱, ▼✒Fary-Milnor ➼➤❿➬✱✕✉, Ò✹ÿ❳★✧④▼●❐☞●é➉➼ ✮❜④❳★✯❿✤➃❦✴. ➼✮❜✹Ï➘▼✧④é❙✸➤④✉➓❐❻■✯ ④✞ø, ➘✶❪t⑦ó❨➬✵➪, ✜❳❉③✕➨❨➬❼❽✌. ❜✹❿✱✕❤ ▼✧④▼●➛☞●❿ì➠✉➓④✣⑧, ➷➘➼④❨➬❳★✯❒⑧➉0. ➘✶ ❿❏➥☛Ï➘④✣⑧✱✶✳✘✳. ➌✯❿⑤✫êHarriss●④✶④➏, ➷Ò ó❨➼✮❜④Ó✯. ➼✮❜✹↔✁★✉➙✮➋✠④✘➬✿➒⑨❸④❥➛✛. ➷➊❿Ö, ❳Ñ➛➌➄❿✤➃✞ø, ✘➬⑤✮➷④☛➢, ✮✿➒✁❖, ✿➒✌ ❝④Ó✯. 10