就有1fm(x)=/((x-a) a≤5≤b, lf1() x-a)"≤ M(b-a) n→0 n x∈[a,b].所以,fn0,(n→∞),x∈[a,b 例5设∫:[a,b]→>(a,b).En>0且En→>0,(n→∞).令 f(x)=f(x),f(x)=f((x)=f(f(x), fn(x)=(n-(x)=f((…f(x)…) 试证明:若对Vn和Vx,y∈[a,b],有 J(x)-fn(y)≤En|x-y 则函数列{fn(x)}在区间[a,b]上一致收敛 证对vE>0,取N,使n>N时,有En< 于是对任何 自然数p和x∈[a,b],有 1fn(x)-fn0(x)|=1f(x)-f(x)≤sn|x-fn(x)|≤ 8, (6-a)<a 由 auchy收敛准则,函数列{fn(x)}在区间[a,b]上一致收敛 例6设在数集D上函数列{n(x)}一致收敛于函数∫(x).若每个 fn(x)在数集D上有界,则函数列{∫n(x)}在数集D上一致有界 证(先证函数∫(x)在数集D上有界)设在D上有|fn(x)|≤M 对E=1,由函数列{厂n(x)}在数集D上一致收敛,彐N,当N0>N时 对Vx∈D,有就有 n n n n ax n f xf )( ! )( |)(| )( 1 1 = − + + ξ ≤ ξ ≤ ba , 0 ! )( )( ! |)(| 1 → − = ≤− n abM ax n f n ξ n , n → ∞ ) ( , x∈ ba ] , [ . 所以 , 0, , n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ n ∞→ ) ( x∈ ba ] , [ . 例 5 设 → babaf ),(],[ : . ε n > 0 且ε n → 0 , n → ∞ ) ( . 令 )()( , 1 = xfxf 2 = ( ) = ( 1 xffxffxf ) , )()()( " , ( ) ( )     "" n层复合 n n xfffxffxf )(()()( = −1 = . ……. 试证明: 若对∀ n 和 ∀ , ] yx ∈ ba , [ , 有 yxyfxf || )()( n n ε n −≤− , 则函数列{ xf )( }在区间 上一致收敛 . n ba ] , [ 证 对 ε >∀ , 0 取 N , 使 > Nn 时, 有 ab n − < ε ε . 于是对任何 自然数 p 和 x ∈∀ ba ] , [ , 有 − = − ( ) ≤ − ≤ |)(| |)()(| |)()(| + xfxxffxfxfxf n pn n pn n p ε ε ab )( <− ε n . 由 Cauchy 收敛准则 , 函数列{ xf )( }在区间 上一致收敛 . n ba ] , [ 例 6 设在数集 上函数列{ }一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列{ }在数集 上一致有界 . D xf )( n xf )( xf )( n D xf )( n D 证 ( 先证函数 xf )( 在数集 上有界 ) 设在 上有| | D D xf )( n ≤ M n . 对ε = 1,由函数列{ xf )( }在数集 上一致收敛, n D ∃N ,当 时 , 对 ,有 0 > NN x ∈∀ D 164