解 lim f,(x)=0,x∈[0,1].|f(x)-0|=f(x).可求得 max f(x)=fn(-)=→0,(n→∞) →函数列{厂n(x)}在区间[0,1]上非一致收敛 例4设函数f(x)在区间[ab]上连续.定义fm(x)=Jf()t 试证明,函数列{n(x)}在区间[a,b]上一致收敛于零 证法一由f(x)∈C[a,b],f1(x)有界.设在区间[a,b]上 lf(x)≤M I f2(x)=f lf s M(x-a)sM(b-a) 1f(x)=42(x-o)s2Mb-a) M 1m(x)11m(x-)2≤Mb-a) 意到对Vc, I cm +o,→ M(b-a) →0,(n→∞) →J二0,(n→∞),x∈[a,b 证法二fn1(x)=fn(x),fn1(a)=fn(a)=0, fn1(x)=fn1(x),f"(a)=fn1(a)=0, fr(x)=f(x) f(x)∈C[a,b],f1(x)有界.设在区间[a,b]上|f(x)|≤M.把函 数fm1(x)在点a展开成具 Lagrange型余项的n-1阶Tay1lor公式,注 意到 fn1(a)=f"1(a)=…=fm)(a)=0解 0, n ∞→ lim xf )( n = x ∈ ] 1 , 0 [ . | xf )( ― 0| n = xf )( n . 可求得 10 maxx≤≤ xf )( n = ,0 2 1 ) 1 ( = →/ n f n n → ∞ ) ( . ⇒ 函数列{ xf )( }在区间 上非一致收敛. n ] 1 , 0 [ 例 4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明，函数列{ }在区间 上一致收敛于零. )(1 xf ba ] , [ ∫ + = x a n n )()( dttfxf 1 xf )( n ba ] , [ 证法一 由 )( , ],[)(1 1 ∈ xfbaCxf 有 界 . 设 在 区 间 上 | | ba ] , [ )(1 xf ≤ M . | )( | ; 2 xf ∫∫ −≤−≤≤= x a x a abMaxMff )()(|||| 1 1 | )( | 3 xf ∫∫ −≤−≤≤= x a x a abMax M ff 2 2 2 2 )( 2 1 )( 2 |||| ; ……………………… | )( | 1 xf n+ ∫∫ −≤−≤≤= x a n n n x a n abM n ax n M ff )( ! 1 )( ! |||| . 注意到对 ∑ → − ∀ ⇒+∞< 0 ! )( , ! || , n abM n c c n n , n → ∞ ) ( . ⇒ 0, n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ n → ∞ ) ( , x ∈ ba ] , [ . 证法二 , 0 )()( , )()( n ′ +1 = n n ′ +1 = n afafxfxf = , 0)()( , )()( n ′′ +1 = n−1 n ′′ +1 = n−1 afafxfxf = )()( , . 1 )( 1 xfxf n "" n+ = ],,[)(1 ∈ baCxf )( 有界. 设在区间 上| | 1 xf ba ] , [ )(1 xf ≤ M . 把函 数 在点 展开成具 n+1 xf )( a Lagrange 型余项的n −1阶 Taylor 公式 , 注 意到 )()( 0)( , )1( ′ 1 = ′′ 1 == 1 = − + + + afafaf n n n " n 163