微分流形上微分学—一流形的一般定义 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 定义1.1(″中体积形态流形(不带边情形).对McR″,如果存在地图册{φa(xα)∈ 6(Lnm;a(Ln)=:Ua}a=1,其中每个(xa)∈省(1m;Ua)称为流形的坐标卡( chart),实现 Rm中单位方块Lm同ZaCR之间的微分同胚,且有∪Ua=M,则称M为Rm中体积形 态流形 般距离空间中体积形态流形及其坐标卡,如图1所示 由于a(xa)∈6(Im;Ua),(x)∈6∞(Im;UB),故有 f(xa):al(Ua∩U)3atcB(xa)oa(xa)∈R, 实现c1(Ua∩UB)同d( AnuS)之间的微分同胚,亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换 进一步,如有 det DaB(aa)= det (ca)>0,Va,B=1,…,N, arm m 则称流形可定向 定义12(Rm中体积形态流形的边界).对 OM CR,如果存在地图册{φa(xa)∈6∞(Hnm;φa(H Ua}a=1,其中每个φa(xa)∈6∞(Hm;Ua)称为流形边界的坐标卡,实现Rm中半方块Hm同 Uo C rn之间的微分同胚,且有aMc∪Ua,oa(OHm)=Ua∩aM,则称aM为Rm中体积 形态流形的边界 一般距离空间中体积形态流形的边界及其坐标卡,如图2所示 由于da(xa)∈6(Hnm;Ua),o(x)∈∞(Hm;UB),故有 xg(xn):al( Anus)3xa(xa)。(xl)∈R", 实现φa(Ua∩Ua)同(a∩UB)之间的微分同胚,亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形的一般定义 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 定义 1.1 (R m 中体积形态流形 (不带边情形)). 对 M ⊂ R m, 如果存在地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; ϕα(Im) =: Uα} N α=1, 其中每个 ϕα(xα) ∈ C ∞(Im;Uα) 称为流形的坐标卡 (chart) , 实现 R m 中单位方块 Im 同 Uα ⊂ R m 之间的微分同胚, 且有 ∪ N α=1 Uα = M, 则称 M 为 R m 中体积形 态流形. 一般距离空间中体积形态流形及其坐标卡, 如图1所示. 由于 ϕα(xα) ∈ C ∞(Im;Uα), ϕβ(xβ) ∈ C ∞(Im;Uβ), 故有 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) ∋ xα 7→ xβ(xα) , ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) ∈ R m, 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) 之间的微分同胚, 亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换. 进一步, 如有 det Dxβ(xα) = det   ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm α . . . . . . ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm α   (xα) > 0, ∀ α, β = 1, · · · , N, 则称流形可定向. 定义 1.2 (R m 中体积形态流形的边界). 对 ∂M ⊂ R m, 如果存在地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm; ϕα(Hm) =: Uα} N α=1, 其中每个 ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm;Uα) 称为流形边界的坐标卡 , 实现 R m 中半方块 Hm 同 Uα ⊂ R m 之间的微分同胚, 且有 ∂M ⊂ ∪ N α=1 Uα, ϕα(∂Hm) = Uα ∩ ∂M, 则称 ∂M 为 R m 中体积 形态流形的边界. 一般距离空间中体积形态流形的边界及其坐标卡, 如图2所示. 由于 ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm;Uα), ϕβ(xβ) ∈ C ∞(Hm;Uβ), 故有 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) ∋ xα 7→ xβ(xα) , ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) ∈ R m, 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) 之间的微分同胚, 亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换. 1