微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 流形所在的 距离空间 微分流形M Ua= pa(Im) Ua∩Ua EB=% opa(aa) Rm中方块In Rm中方块In dal(Ua∩UB) PB(AnuS) 图1:一般距离空间中体积形态流形及其坐标卡示意 再考虑到OM上坐标卡之间的对应关系 xI cB(aa): o(UanUBnaM)3 →T(ma)=oaoa(a) m-1 以及坐标转换关系 axl axl DaB( axm- azm-( arm arm ax aB微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 Uα = ϕα(Im) Uβ = ϕβ(Im) Uα ∩ Uβ 微分流形 M 流形所在的 距离空间 x 1 α x m α O xα ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) R m 中方块 Im x 1 β x m β O xβ ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) R xβ = ϕ m 中方块 Im −1 β ◦ ϕα(xα) 图 1: 一般距离空间中体积形态流形及其坐标卡示意 再考虑到 ∂M 上坐标卡之间的对应关系 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ ∂M) ∋   x 1 α . . . x m−1 α x m α = 0   7→ xβ(xα) = ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) =   x 1 β . . . x m−1 β x m β = 0   , 以及坐标转换关系 Dxβ(   x 1 α . . . x m−1 α   , 0) =   ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α ∂x1 β ∂xm α . . . . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ∂xm−1 β ∂xm α ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm−1 α ∂xm β ∂xm α   (   x 1 α . . . x m−1 α   , 0) 2