12被困小球的功率谱分析 1 BROWN运动理论 对方程6再积分一次,我们能得到粒子的位置 r(t)=x0+(1-e-0)+/e0sds1 取平均值我们能得到 (△x(t)xo=((t)-x(0)x0 那么在热平衡状态下的 Brown粒子的MSD为 (△r()=Mra(Iot-1+e (12) 在长时间尺度下,MSD和 Einstein理论预测的吻合 ([△r(t)2)=2 Dt for t>p 在小时间尺度下,MSD是 KRT r 尽管上述方程是由全同粒子的系综导出,由遍历定理可预测这也是对一个粒子在长 时间下的测量成立 12被困小球的功率谱分析 对于小位移,光镊对小球运动的影响可以由简谐运动的近似这是 Brown小球的运动 方程是 2+0x+!x=A(t) 其中g=5是小球在无阻尼时的本征角频率,A=(2kBT0/M)/2.阻力振动的频率 为 /02T2 与原子的光谱相似, Brown运动的功率谱也包含这个系统的很多信息.一个变量的功 率谱密度(PSD)是其 Fourier变换的平方模 x(t)和(t)的 Fourier变换是 其中ωk=2πk/Te,k是有理数,Tc是记录的持续时间 方程15的 Fourier变换为 wiik-iw,Tok+025k= ASk1.2 被困小球的功率谱分析 4 1 BROWN 运动理论 对方程6再积分一次, 我们能得到粒子的位置 x(t) = x0 + v0 Γ0 (1 − e −Γ0t ) + ∫ t 0 e −Γ0s1 ds1 ∫ s1 0 e Γ0s2A(s2)ds2 (10) 取平均值我们能得到 ⟨∆x(t)⟩x0 = ⟨x(t) − x(0)⟩x0 = v0 Γ0 (1 − e −Γ0t ) (11) 那么在热平衡状态下的 Brown 粒子的 MSD 为 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2kBT MΓ 2 0 (Γ0t − 1 + e −Γ0t ) (12) 在长时间尺度下, MSD 和 Einstein 理论预测的吻合 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2Dt for t ≫ τp (13) 在小时间尺度下, MSD 是 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = kBT M t 2 for t ≪ τp (14) 尽管上述方程是由全同粒子的系综导出, 由遍历定理可预测这也是对一个粒子在长 时间下的测量成立. 1.2 被困小球的功率谱分析 对于小位移, 光镊对小球运动的影响可以由简谐运动的近似. 这是 Brown 小球的运动 方程是 M d 2 x dt 2 + γ0 dx dt + Ω2x = Λζ(t) (15) 其中 Ω = κ m 是小球在无阻尼时的本征角频率, Λ = (2kBTΓ0/M) 1/2 . 阻力振动的频率 为 ω1 = √ Ω2 − Γ 2 0 /4. 与原子的光谱相似, Brown 运动的功率谱也包含这个系统的很多信息. 一个变量的功 率谱密度 (PSD) 是其 Fourier 变换的平方模. x(t) 和 ζ(t) 的 Fourier 变换是 x˜k = ∫ Trec/2 −Trec/2 e iωktx(t)dt (16) ˜ζk = ∫ Trec/2 −Trec/2 e iωkt ζ(t)dt (17) 其中 ωk = 2πk/Trec, k 是有理数, Trec 是记录的持续时间. 方程15的 Fourier 变换为 − ω 2 kx˜k − iωkΓ0x˜k + Ω2x˜k = Λ˜ζk (18) 4