使用光镊技术测量空气粘滞系数 丛聪PBl4000722* 孙昱昊PB4209046* 郝云超PB4203092* December 17. 2016 摘要 本文记录了使用光镊技术,测量空气粘滞系数的实验的全过程.首先从 Brown运 动出发,对自由粒子与在势阱中的受困粒子进行分别讨论,得出了在光镊中,纳米小 球在理论上应具有的频谱曲线.继而从实验出发,通过搭建光镊捕获纳米小球,通过 差分信号测量出小球在势阱中单方向的运动曲线,将数据记录完毕后,对其进行ft 快速傅里叶处理,分别得到样本和本底的频谱曲线,做差值后进行拟合,得到实验室 环境下的空气粘滞系数 关键词: Brown运动,光镊,空气粘滞系数 目录 0引言 1 Brown运动理论 1.1自由粒子 2被困小球的功率谱分析 光路搭建 2.1准备工作 334667 22粒子抓取部分 3数据处理 3.1样本信号册t处理 3.2去除本底 000 3.3曲线拟合
使用光镊技术测量空气粘滞系数 丛 聪 PB14000722* 孙昱昊 PB14209046* 郝云超 PB14203092* December 17, 2016 摘要 本文记录了使用光镊技术, 测量空气粘滞系数的实验的全过程. 首先从 Brown 运 动出发, 对自由粒子与在势阱中的受困粒子进行分别讨论, 得出了在光镊中, 纳米小 球在理论上应具有的频谱曲线. 继而从实验出发, 通过搭建光镊捕获纳米小球, 通过 差分信号测量出小球在势阱中单方向的运动曲线, 将数据记录完毕后, 对其进行 fft 快速傅里叶处理, 分别得到样本和本底的频谱曲线, 做差值后进行拟合, 得到实验室 环境下的空气粘滞系数. 关键词: Brown 运动, 光镊, 空气粘滞系数 目录 0 引言 2 1 Brown 运动理论 3 1.1 自由粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 被困小球的功率谱分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 光路搭建 6 2.1 准备工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 粒子抓取部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 数据处理 10 3.1 样本信号 fft 处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 去除本底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 曲线拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1
引言 0引言 光镊,又被称为单光束梯度力光阱可用于捕获微小粒子.其作用在纳米尺度上类似 于镊子,因此被称为光镊捕获微小粒子的光镊是一个特别的光场,这个光场与物体相互 作用时,物体整个受到光的作用从而达到被钳的效果,然后可以通过移动光束来实现迁 移物体的目的.如果以形成光场的中心划定一个几微米方圆的区域,将会观察到一旦光 子涉足这个禁区就会自动迅速坠落光的中心.这个特别的光场造就了一个势能较低的区 域,即从这区域内到区域外存在一个势垒.当物体的动能不足以克服势垒时,粒子将始终 停留在阱内,表现出光场的引力效应 本小组就是要利用光镊技术来研究 Brown运动. Brown运动虽具有内禀随机性,但符 合统计规律,在小位移下,我们可用简谐运动近似 Brown粒子的运动,通过光镊技术来精 细测量 Brown粒子获得其频谱图像,再进行 Fourier分析,与理论曲线进行拟合,获得环 境参数,本实验主要关注粘滞系数
2 0 引言 0 引言 光镊, 又被称为单光束梯度力光阱. 可用于捕获微小粒子. 其作用在纳米尺度上类似 于镊子, 因此被称为光镊. 捕获微小粒子的光镊是一个特别的光场, 这个光场与物体相互 作用时, 物体整个受到光的作用从而达到被钳的效果, 然后可以通过移动光束来实现迁 移物体的目的. 如果以形成光场的中心划定一个几微米方圆的区域, 将会观察到一旦光 子涉足这个禁区就会自动迅速坠落光的中心. 这个特别的光场造就了一个势能较低的区 域, 即从这区域内到区域外存在一个势垒. 当物体的动能不足以克服势垒时, 粒子将始终 停留在阱内, 表现出光场的引力效应. 本小组就是要利用光镊技术来研究 Brown 运动. Brown 运动虽具有内禀随机性, 但符 合统计规律, 在小位移下, 我们可用简谐运动近似 Brown 粒子的运动, 通过光镊技术来精 细测量 Brown 粒子获得其频谱图像, 再进行 Fourier 分析, 与理论曲线进行拟合, 获得环 境参数, 本实验主要关注粘滞系数. 2
1 BROWN运动理论 Brown运动理论 11自由粒子 Einstein关于 Brown运动的理论预测 ([△x(t)]2)=(x(t)-x(0)2)=2D 其中([Δα(t)]2)是 Brown粒子一维运动时间t位移平方的平均值(MSD)D是扩散常 数( diffusion constant.耗散常数可由式D=kBT/计算得到,式中T是温度,=6R 是对于一个半径为R的球体的 Stokes摩擦系数( friction coefficien,n是流体的粘滞系数 ( viscosity)在时间间隔t测量的平均速度=√(△x(t)t=V2D/V.显然当t趋近 于0的时候,这个速度是发散的,所以它代表的不是粒子的真实速度 方程([Ar(t))=2D只在t>rp(即扩散机制)内成立.其中rp=M/是质量为M 粒子的动量弛豫时间在很短是时间尺度内(≤)粒子的动力学尤其惯性支配,其运动 是弹性的质量为M的 Brown粒子在全时间尺度下的运动方程可由 Langevin方程描述 M+7a 其中 Therm(t)=(2KBT7)1/2( 是一个 Brown随机力.((t)是一个归一化的白色噪声.所以对于任意的时间t和t (t)=0.,and(t)(t)=6(t-t) 定义v(t)=dr/dt,由方程4可得 dult Tou(t)+A(t 其中Io=/M=1/p是阻尼系数,A(t)=Fhm(t)M是波动的加速度.粒子在时间 t=0的初始速度和位置分别是v(0)=t和x(0)=xo.所以粒子在时间t的速度是 elos A(s)ds 对全同粒子系综(在时间t=0是有相同的速度t)取平均,利用方程4能得到 (u(t))vo=voe-Tot tot 利用能量均分定理(Mv/2)=kBT/2,我们得到速度自相关函数(vel lation function kBT (u()v(o))=me
3 1 BROWN 运动理论 1 Brown 运动理论 1.1 自由粒子 Einstein 关于 Brown 运动的理论预测 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = ⟨(x(t) − x(0))2 ⟩ = 2Dt (1) 其中 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ 是 Brown 粒子一维运动时间 t 位移平方的平均值 (MSD), D 是扩散常 数 (diffusion constant). 耗散常数可由式 D = kBT/γ 计算得到, 式中 T 是温度, γ = 6πηR 是对于一个半径为 R 的球体的 Stokes 摩擦系数 (friction coefficient), η 是流体的粘滞系数 (viscosity). 在时间间隔 t 测量的平均速度 v¯ = √ ⟨[∆x(t)]2⟩/t = √ 2D/ √ t. 显然当 t 趋近 于 0 的时候, 这个速度是发散的, 所以它代表的不是粒子的真实速度. 方程 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2Dt 只在 t ≫ τp (即扩散机制) 内成立. 其中 τp = M/γ 是质量为 M 粒子的动量弛豫时间. 在很短是时间尺度内 (t ≪ τp) 粒子的动力学尤其惯性支配, 其运动 是弹性的. 质量为 M 的 Brown 粒子在全时间尺度下的运动方程可由 Langevin 方程描述 M d 2 x dt 2 + γ dx dt = Ftherm(t) (2) 其中 Ftherm(t) = (2kBT γ) 1/2ζ(t) (3) 是一个 Brown 随机力. ζ(t) 是一个归一化的白色噪声. 所以对于任意的时间 t 和 t ′ ⟨ζ(t)⟩ = 0, and ⟨ζ(t)ζ(t ′ )⟩ = δ(t − t ′ ) (4) 定义 v(t) = dx/dt, 由方程4可得 dv(t) dt = Γ0v(t) + A(t) (5) 其中 Γ0 = γ/M = 1/τp 是阻尼系数, A(t) = Ftherm(t)/M 是波动的加速度. 粒子在时间 t = 0 的初始速度和位置分别是 v(0) = v0 和 x(0) = x0. 所以粒子在时间 t 的速度是 v(t) = v0e −Γ0t + e −Γ0t ∫ t o e Γ0sA(s)ds (6) 对全同粒子系综 (在时间 t = 0 是有相同的速度 v0) 取平均, 利用方程4能得到 ⟨v(t)⟩v0 = v0e −Γ0t (7) ⟨v(t)v(0)⟩v0 = v 2 0 e −Γ0t (8) 利用能量均分定理 ⟨Mv2 0 /2⟩ = kBT/2, 我们得到速度自相关函数 (velocity autocorrelation function) ⟨v(t)v(0)⟩ = kBT M e −Γ0t (9) 3
12被困小球的功率谱分析 1 BROWN运动理论 对方程6再积分一次,我们能得到粒子的位置 r(t)=x0+(1-e-0)+/e0sds1 取平均值我们能得到 (△x(t)xo=((t)-x(0)x0 那么在热平衡状态下的 Brown粒子的MSD为 (△r()=Mra(Iot-1+e (12) 在长时间尺度下,MSD和 Einstein理论预测的吻合 ([△r(t)2)=2 Dt for t>p 在小时间尺度下,MSD是 KRT r 尽管上述方程是由全同粒子的系综导出,由遍历定理可预测这也是对一个粒子在长 时间下的测量成立 12被困小球的功率谱分析 对于小位移,光镊对小球运动的影响可以由简谐运动的近似这是 Brown小球的运动 方程是 2+0x+!x=A(t) 其中g=5是小球在无阻尼时的本征角频率,A=(2kBT0/M)/2.阻力振动的频率 为 /02T2 与原子的光谱相似, Brown运动的功率谱也包含这个系统的很多信息.一个变量的功 率谱密度(PSD)是其 Fourier变换的平方模 x(t)和(t)的 Fourier变换是 其中ωk=2πk/Te,k是有理数,Tc是记录的持续时间 方程15的 Fourier变换为 wiik-iw,Tok+025k= ASk
1.2 被困小球的功率谱分析 4 1 BROWN 运动理论 对方程6再积分一次, 我们能得到粒子的位置 x(t) = x0 + v0 Γ0 (1 − e −Γ0t ) + ∫ t 0 e −Γ0s1 ds1 ∫ s1 0 e Γ0s2A(s2)ds2 (10) 取平均值我们能得到 ⟨∆x(t)⟩x0 = ⟨x(t) − x(0)⟩x0 = v0 Γ0 (1 − e −Γ0t ) (11) 那么在热平衡状态下的 Brown 粒子的 MSD 为 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2kBT MΓ 2 0 (Γ0t − 1 + e −Γ0t ) (12) 在长时间尺度下, MSD 和 Einstein 理论预测的吻合 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2Dt for t ≫ τp (13) 在小时间尺度下, MSD 是 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = kBT M t 2 for t ≪ τp (14) 尽管上述方程是由全同粒子的系综导出, 由遍历定理可预测这也是对一个粒子在长 时间下的测量成立. 1.2 被困小球的功率谱分析 对于小位移, 光镊对小球运动的影响可以由简谐运动的近似. 这是 Brown 小球的运动 方程是 M d 2 x dt 2 + γ0 dx dt + Ω2x = Λζ(t) (15) 其中 Ω = κ m 是小球在无阻尼时的本征角频率, Λ = (2kBTΓ0/M) 1/2 . 阻力振动的频率 为 ω1 = √ Ω2 − Γ 2 0 /4. 与原子的光谱相似, Brown 运动的功率谱也包含这个系统的很多信息. 一个变量的功 率谱密度 (PSD) 是其 Fourier 变换的平方模. x(t) 和 ζ(t) 的 Fourier 变换是 x˜k = ∫ Trec/2 −Trec/2 e iωktx(t)dt (16) ˜ζk = ∫ Trec/2 −Trec/2 e iωkt ζ(t)dt (17) 其中 ωk = 2πk/Trec, k 是有理数, Trec 是记录的持续时间. 方程15的 Fourier 变换为 − ω 2 kx˜k − iωkΓ0x˜k + Ω2x˜k = Λ˜ζk (18) 4
12被困小球的功率谱分析 1 BROWN运动理论 则 (19) W2-iwk To 从方程4我们有(2)=0和(k)=Tec6k.有实验记录的x(t)的PSD是 Sa 2KBT ntO ske=lEKI/rec Trec M92(02-wk)2+wira (20) PSD的期望值是 S(w)=(Srec)=2B/ Q-To MS2(92-2)2+a2I 让我们定义一个新函数去描绘频谱图的形状 NaTo (92-u2)2+u2r 有 fs(u)dw= 我们用方程22去对实验数据拟合即可得到Ω和r0,从而得到实验室空间的空气粘滞 系数
1.2 被困小球的功率谱分析 5 1 BROWN 运动理论 则 x˜k = Λ˜ζk Ω2 − ω 2 k − iωkΓ0 (19) 从方程4我们有 ⟨x˜k⟩ = 0 和 ⟨ ˜ζk ˜ζl⟩ = Trecδkl. 有实验记录的 x(t) 的 PSD 是 S rec k = |x˜k| 2 /Trec = | ˜ζk| 2 Trec 2kBT MΩ2 Ω 2Γ0 (Ω2 − ω 2 k ) 2 + ω 2 kΓ 2 0 (20) PSD 的期望值是 S(ω) = ⟨S rec k ⟩ = 2kBT MΩ2 Ω 2Γ0 (Ω2 − ω2 ) 2 + ω2Γ 2 0 (21) 让我们定义一个新函数去描绘频谱图的形状 fS(ω) = Ω 2Γ0 (Ω2 − ω2 ) 2 + ω2Γ 2 0 (22) 有 ∫ ∞ 0 fS(ω)dω = π 2 (23) 我们用方程22去对实验数据拟合即可得到 Ω 和 Γ0, 从而得到实验室空间的空气粘滞 系数. 5
2光路搭建 2光路搭建 实验光路图如图1所示 1064滤波片 CcD口 100X物镜 OD片 f=200mm f=12mm f=50mm f=25mm 滤光片 探測器 图1:光路示意图 21准备工作 本次实验中,为保证足够的激光功率来抓取粒子,只能使用波长A=1064nm的红外 激光在调整光路的过程中,由于红外光不在人肉眼可见的范围内,需借助红外显色卡进 行辅助观察,如图2所示 THORLABS Detector Card 留vRC2 800-1700nm Always take approprate sat 图2:红外光显色卡 显色卡在受到激光照射后荧光物质的能级增加,电子跃迁可以发出肉眼可见的光子 从而可以进行光路调节 为得到适合抓取的粒子,实验中使用一喷雾器.将含有二氧化硅小球的浊液在超声波 中进行水浴处理10分钟,使其中的小球彼此分离,防止沉聚.取处理后的浊液中的1-2ml
6 2 光路搭建 2 光路搭建 实验光路图如图 1 所示; 图 1: 光路示意图 2.1 准备工作 本次实验中, 为保证足够的激光功率来抓取粒子, 只能使用波长 λ = 1064nm 的红外 激光. 在调整光路的过程中, 由于红外光不在人肉眼可见的范围内, 需借助红外显色卡进 行辅助观察, 如图 2 所示: 图 2: 红外光显色卡 显色卡在受到激光照射后荧光物质的能级增加, 电子跃迁可以发出肉眼可见的光子, 从而可以进行光路调节. 为得到适合抓取的粒子, 实验中使用一喷雾器. 将含有二氧化硅小球的浊液在超声波 中进行水浴处理 10 分钟, 使其中的小球彼此分离, 防止沉聚. 取处理后的浊液中的 1-2ml 6
22粒子抓取部分 2光路搭建 用无水乙醇稀释,放入喷雾器中.喷雾器喷岀的烟雾中即含有可抓取的二氧化硅小球.在 光路中通过一导管导入到抓取位置即可 22粒子抓取部分 激光从外侧射入,使用小孔将其滤为正圆形的激光光斑,经一50mm焦距的凸透镜后, 由1064滤波片反射,使CCD摄像头接受散射光,以此观察二氧化硅小球是否被抓到.反 射光通过一200mm焦距的凸透镜,实现扩束 扩束完毕后,使其通过100x物镜,用显色卡和直尺等粗调两个凸透镜和1064滤波片 的等髙共轴而后在加装物镜前,在物镜架上物镜的位置用一反光镜代替,通过CCD观 察反射光的光斑位置,调节光路的完全共轴 经过调节,光束在焦点附近实现对二氧化硅小球的抓取.势阱附近设备如图3所示 图3:势阱部分结构 将样品与无水乙醇混合,由医用喷雾器喷入上端入口处,可将粒子在势阱附近散开 从而抓取粒子.当抓取到粒子时,CCD摄像头可得到粒子的散射光如图4所示 图4:抓取到的粒子散射图 安装物镜完毕,在其后置一焦距为12mm的透镜,使出射光变为平行光.为调整出射 光的完全平行.将出射光通过一干涉片反射后进入CCD观察.根据薄膜干涉原理.CCD
2.2 粒子抓取部分 7 2 光路搭建 用无水乙醇稀释, 放入喷雾器中. 喷雾器喷出的烟雾中即含有可抓取的二氧化硅小球. 在 光路中通过一导管导入到抓取位置即可. 2.2 粒子抓取部分 激光从外侧射入, 使用小孔将其滤为正圆形的激光光斑, 经一 50mm 焦距的凸透镜后, 由 1064 滤波片反射, 使 CCD 摄像头接受散射光, 以此观察二氧化硅小球是否被抓到. 反 射光通过一 200mm 焦距的凸透镜, 实现扩束. 扩束完毕后, 使其通过 100x 物镜, 用显色卡和直尺等粗调两个凸透镜和 1064 滤波片 的等高共轴. 而后在加装物镜前, 在物镜架上物镜的位置用一反光镜代替, 通过 CCD 观 察反射光的光斑位置, 调节光路的完全共轴. 经过调节, 光束在焦点附近实现对二氧化硅小球的抓取. 势阱附近设备如图 3 所示. 图 3: 势阱部分结构 将样品与无水乙醇混合, 由医用喷雾器喷入上端入口处, 可将粒子在势阱附近散开. 从而抓取粒子. 当抓取到粒子时, CCD 摄像头可得到粒子的散射光. 如图 4 所示. 图 4: 抓取到的粒子散射图 安装物镜完毕, 在其后置一焦距为 12mm 的透镜, 使出射光变为平行光. 为调整出射 光的完全平行. 将出射光通过一干涉片反射后进入 CCD 观察. 根据薄膜干涉原理. CCD 7
22粒子抓取部分 2光路搭建 中的干涉条纹水平平行时,表示出射光为平行光由于象差的影响,无法保证干涉条纹的 形状完全规则,但对于本次实验,其汇聚的精度已满足要求此时即可固定透镜.其原理 图如图5所示 入射光线 摸于涉片 图5:使用干涉法调整光路原理图 由于抓取所需的光强很大而探测器本身灵敏度很高,需要在测量光路中增加OD片 使测量光强符合探测器的量程.本次实验时经过反复尝试,使用OD2的效果最好,即,将 光强缩小100倍 使用一平面镜和一半圆形的反射镜,构成分光系统,将出射光一分为二.双反射镜图 光斑分割图,如图6,7所示 图6:反射镜
2.2 粒子抓取部分 8 2 光路搭建 中的干涉条纹水平平行时, 表示出射光为平行光. 由于象差的影响, 无法保证干涉条纹的 形状完全规则, 但对于本次实验, 其汇聚的精度已满足要求. 此时即可固定透镜. 其原理 图如图 5 所示. 图 5: 使用干涉法调整光路原理图 由于抓取所需的光强很大而探测器本身灵敏度很高, 需要在测量光路中增加 OD 片 使测量光强符合探测器的量程. 本次实验时经过反复尝试, 使用 OD2 的效果最好, 即, 将 光强缩小 100 倍. 使用一平面镜和一半圆形的反射镜, 构成分光系统, 将出射光一分为二. 双反射镜图, 光斑分割图, 如图 6, 7 所示. 图 6: 反射镜 8
22粒子抓取部分 2光路搭建 反射镜一分为二 初始光斑 图7:光斑分割前后对比图 将分割后的光斑耦合进入探测器通过差分信号得到粒子的移动信号,如图8所示 图8:将分割后的激光耦合进入探测器 通过示波器观察探测器两接受口接收到的激光信号,调节反射镜位置,使二者信号近 似相等,使差分的耦合最强 至此,得到激光势阱中二氧化硅小球正比于位移的电信号.由于调节不可能完全对 称,在信号中加入一滤波器,过滤直流信号,尽量减小差分信号由耦合不准带来的误差
2.2 粒子抓取部分 9 2 光路搭建 图 7: 光斑分割前后对比图 将分割后的光斑耦合进入探测器. 通过差分信号得到粒子的移动信号, 如图 8 所示. 图 8: 将分割后的激光耦合进入探测器 通过示波器观察探测器两接受口接收到的激光信号, 调节反射镜位置, 使二者信号近 似相等, 使差分的耦合最强. 至此, 得到激光势阱中二氧化硅小球正比于位移的电信号. 由于调节不可能完全对 称, 在信号中加入一滤波器, 过滤直流信号, 尽量减小差分信号由耦合不准带来的误差. 9
3数据处理 3数据处理 3.1样本信号f处理 使用 labview程序和数据采集卡,或使用示波器,对信号进行采集记录.得到初始信号 如图9所示 Ni. M 图9:样本信号 使用快速傅里叶变换,卌函数,得到其频谱分布图,对数据进行处理,得到频谱图如图 10所示 图10:样本信号ft 不难看出,其在5·105rad/s左右的角频率上,频谱图呈现一个峰值 32去除本底 在实验中,由于二氧化硅小球体积过小,因此极易受外界信号的干扰,因此,为保证实 验的严谨性与正确性,需将本底信号的分量减去 测得本底信号如图11所示
10 3 数据处理 3 数据处理 3.1 样本信号 fft 处理 使用 labview 程序和数据采集卡, 或使用示波器, 对信号进行采集记录. 得到初始信号 如图 9 所示. 图 9: 样本信号 使用快速傅里叶变换, fft 函数, 得到其频谱分布图, 对数据进行处理, 得到频谱图如图 10 所示. 图 10: 样本信号 fft 不难看出, 其在 5 · 105 rad/s 左右的角频率上, 频谱图呈现一个峰值. 3.2 去除本底 在实验中, 由于二氧化硅小球体积过小, 因此极易受外界信号的干扰, 因此, 为保证实 验的严谨性与正确性, 需将本底信号的分量减去. 测得本底信号如图 11 所示. 10
