测量刚体的转动惯量

实验一测量刚体的转动惯量 转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量,质量分布、形状大小 和转轴位置。对于形状简单,质量均匀分布的刚体,可以通过数学方法计算出它绕特定转轴 的转动惯量,但对于形状比较复杂,或质量分布不均匀的刚体,用数学方法计算其转动惯量 是非常困难的,因而大多采用实验方法来测定。 转动惯量的测定,在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和 科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法,本实验采用 恒力矩转动法测定转动惯量 【实验目的】 1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2.观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况,验证平行轴定理 3.学会使用智能计时计数器测量时间 【实验原理】 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理 根据刚体的定轴转动定律 M=JB (1) 只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度B, 可计算出该刚体的转动惯量J 设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J,未加砝码时,在摩擦阻力矩M的作 用下,实验台将以角加速度B1作匀减速运动,即 将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上,并让砝码下落,系统在恒外 力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a,则细线所受张力为T=mg一叫)。若此 时实验台的角加速度为B2,则有a=RB2。细线施加给实验台的力矩为TR=mg-RB2)R, 此时有 m(g-RB,)R-M=J,B, 将(2)、(3)两式联立消去M后,可得: mR(g-RB,) B2-B1 同理,若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为,加砝码前后的角加速度分别 为B3与B4,则有 J=mR(g-RB) B4-B3 由转动惯量的迭加原理可知,被测试件的转动惯量J为: (6) 测得R、m及B1、B2、B3、B4,由(4),(5),(6)式即可计算被测试件的转动惯量 2、的测量 实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π 角的两遮光细棒,每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,即产生一个计数光电脉冲, 计数器计下遮档次数k和相应的时间t。若从第一次挡光(k=0,t0)开始计次,计时,且 初始角速度为ω,则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据(km,tm)、(kn,tn),相

实验一 测量刚体的转动惯量 转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小 和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴 的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量 是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。 转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和 科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用 恒力矩转动法测定转动惯量。 【实验目的】 1．学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2．观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况，验证平行轴定理。 3．学会使用智能计时计数器测量时间。 【实验原理】 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理 根据刚体的定轴转动定律： M = Jβ （1） 只要测定刚体转动时所受的总合外力矩 M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度 β，则 可计算出该刚体的转动惯量 J。 设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为 J1，未加砝码时，在摩擦阻力矩 Mμ的作 用下，实验台将以角加速度 β1 作匀减速运动，即： μ 1β1 −M = J （2） 将质量为 m 的砝码用细线绕在半径为 R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外 力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为 a，则细线所受张力为 T= m (g － a)。若此 时实验台的角加速度为 β2，则有 a= Rβ2。细线施加给实验台的力矩为 T R= m (g －Rβ2) R， 此时有： 2 1 2 m(g − Rβ )R − M μ = J β （3） 将（2）、（3）两式联立消去 Mμ 后，可得： 2 1 2 1 ( ) β β β − − = mR g R J （4） 同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为 J2，加砝码前后的角加速度分别 为 β3 与 β4，则有： 4 3 4 2 ( ) β β β − − = mR g R J （5） 由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量 J3为： 3 2 1 J = J − J （6） 测得 R、m 及 β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。 2、β 的测量 实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差 π 角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲， 计数器计下遮档次数 k 和相应的时间 t。若从第一次挡光（k=0，t=0）开始计次，计时，且 初始角速度为 ω0，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（km，tm）、（kn，tn），相

应的角位移Bm、On分别为 Im+Bt 0,=k,I=@of,+-Bt 从(7)、(8)两式中消去o0,可得 B-2(k, '= kmt) 由(9)式即可计算角加速度B 3、平行轴定理 理论分析表明,质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J最小。当 转轴平行移动距离d后,绕新转轴转动的转动惯量为: J=Jo+md (10 4、转动惯量实验组合仪简介 转动惯量实验仪如图1所示,绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上,使转动时的 摩擦力矩很小。塔轮半径为15,20,25,30,35mm共5挡,可与大约5g的砝码托及 个5g,4个10g的砝码组合,产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起, 随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘,1个圆环,两个圆柱;试样上标有几何尺 寸及质量,便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。圆柱试样可插入载物台上的不 同孔,这些孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105皿,便于验证平行轴定理。铝制小滑 轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。一只光电门作测量,一只作备用,可通过智能 计时计数器上的按钮方便的切换。 测试样品 转盘 光电门 光电门支架 遮光棒 滑轮 绕线塔轮 细绳 砝码 调平螺钉 升降杆 图1转动惯量实验组合仪 智能计时计数器如图2所示

应的角位移 θm、θn 分别为： 2 0 2 1 m m m m θ = k π = ω t + β t (7) 2 0 2 1 n n n n θ = k π = ω t + β t (8) 从（7）、（8）两式中消去 ω0，可得： n m m n n m m n t t t t k t k t 2 2 2 ( ) − − = π β (9) 由（9）式即可计算角加速度 β。 3、平行轴定理 理论分析表明，质量为 m 的物体围绕通过质心 O 的转轴转动时的转动惯量 J0最小。当 转轴平行移动距离 d 后，绕新转轴转动的转动惯量为： 2 0 J = J + md （10） 4、转动惯量实验组合仪简介 转动惯量实验仪如图 1 所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的 摩擦力矩很小。塔轮半径为 15，20，25，30，35mm 共 5 挡，可与大约 5g 的砝码托及 1 个 5g，4 个 10g 的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起， 随塔轮转动。随仪器配的被测试样有 1 个圆盘，1 个圆环，两个圆柱；试样上标有几何尺 寸及质量，便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。圆柱试样可插入载物台上的不 同孔，这些孔离中心的距离分别为 45,60,75,90,105mm，便于验证平行轴定理。铝制小滑 轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。一只光电门作测量，一只作备用，可通过智能 计时计数器上的按钮方便的切换。 图 1 转动惯量实验组合仪 智能计时计数器如图 2 所示:

图2智能计时计数器 智能计时计数器可测量时间、速度、加速度等多种物理量。在本实验中利用单电门、多 脉冲测量时间。 上电开机后显示“智能计数计时器成都世纪中科”画面延时一段时间后,显示操作 界面:上行为测试模式名称和序号,例:“1计时闩”表示按模式选择/查询下翻按钮选择 测试模式。下行为测试项目名称和序号,例:“1-1单电门口”表示项目选择/查询上翻 按钮选择测试项目。 选择好测试项目后,按确定键LCD将显示“选A通道测量闩”,然后通过按模式 选择/査询下翻按钮和项目选择/査询上翻按钮进Δ或B通道的选择,选择好后再次按下确认 键即可开始测量。一般测量过程中将显示“测量中***”,测量完成后自动显示测量值,若 该项目有几组数据,可按査询下翻按钮或査询上翻按钮进行査询,再次按下确定键退回到项 目选择界面。如未测量完成就按下确定键,则测量停止,将根据已测量到的内容进行显示, 再次按下确定键将退回到测量项目选择界面。 【实验内容】 1、实验准备 在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量试验仪,并利用基座上的三颗调平螺钉,将仪器调平。 将滑轮支架固定在实验台面边缘,调整滑轮高度及方位,使滑轮槽与选取的线绕塔轮槽等高, 且其方位相互垂直,并且用数据线将智能计时计数器中A或B通道与转动惯量实验仪其中 个光电门相连 2、利用天平测量砝码和样品的质量,游标卡尺测用样品的尺寸 3、测量并计算实验台的转动惯量J1 (1)测量B1 上电开机后LCD显示“智能计数计时器成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后 显示操作界面: ①选择“计时 2多脉冲”。 ②选择通道 ③用手轻轻拨动载物台,使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动 ④按确认键进行测量

图 2 智能计时计数器 智能计时计数器可测量时间、速度、加速度等多种物理量。在本实验中利用单电门、多 脉冲测量时间。 上电开机后显示“智能计数计时器 成都世纪中科”画面延时一段时间后，显示操作 界面：上行为测试模式名称和序号，例：“1 计时 ”表示按模式选择/查询下翻按钮选择 测试模式。下行为测试项目名称和序号，例：“1－1 单电门 ”表示项目选择/查询上翻 按钮选择测试项目。 选择好测试项目后，按确定键,LCD 将显示“选 A 通道测量 ” ，然后通过按模式 选择/查询下翻按钮和项目选择/查询上翻按钮进 A 或 B 通道的选择，选择好后再次按下确认 键即可开始测量。一般测量过程中将显示“测量中*****”，测量完成后自动显示测量值，若 该项目有几组数据，可按查询下翻按钮或查询上翻按钮进行查询，再次按下确定键退回到项 目选择界面。如未测量完成就按下确定键，则测量停止，将根据已测量到的内容进行显示， 再次按下确定键将退回到测量项目选择界面。 【实验内容】 1、实验准备 在桌面上放置 ZKY-ZS 转动惯量试验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。 将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的线绕塔轮槽等高， 且其方位相互垂直，并且用数据线将智能计时计数器中 A 或 B 通道与转动惯量实验仪其中 一个光电门相连。 2、利用天平测量砝码和样品的质量，游标卡尺测用样品的尺寸。 3、测量并计算实验台的转动惯量 J1 （1）测量 β1 上电开机后 LCD 显示“智能计数计时器 成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后， 显示操作界面： ①选择“计时 1—2 多脉冲” 。 ②选择通道。 ③用手轻轻拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动。 ④按确认键进行测量

⑤载物盘转动15圈后按确认键停止测量 ⑥查阅数据,并将查阅到的数据记入表格中; 采用逐差法处理数据,将第1和第5组,第2和第6组…,)分别组成至少4组,用(9) 式计算对应各组的B1值,然后求其平均值作为B1的测量值。 ⑦按确认键后返回“计时1-2多脉冲”界面 (2)测量B2 ①选择塔轮半径R及砝码质量,将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入,并且不重 叠的密绕于所选定半径的轮上,细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩,用手将载物台 稳住; ②重复(1)中的2、3、4步 ③释放载物台,砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动;记录至少8组数据后 停止测量。查阅、记录数据于表格中并计算B2的测量值 由(4)式即可算出J的值 4、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J2,计算试样的转动惯量J3并与理论值 比较。将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合,按与测量J同样的方 法可分别测量未加法码的角加速度B3与加砝码后的角加速度B。由(5)式可计算2的值 已知J、J2,由(6)式可计算试样的转动惯量J3 已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为 J=-mR- 圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为 (R+R) (12) 计算试样的转动惯量理论值并与测量值J3比较,计算测量值的相对误差 ×100% (13) 5、验证平行轴定理 将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中,测量并计算两圆柱体在此位置 的转动惯量。将测量值与由(11)、(10)式所得的计算值比较,若一致即验证了平行轴定理。 理论上,同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化 6、改变塔轮半径或砝码质量(五个塔轮,五个砝码)可得到25种组合,形成不同的力 矩。可改变实验条件进行测量并对数据进行分析,探索其规律,寻求发生误差的原因,探索 测量的最佳条件 【实验仪器】 ZKY-ZS转动惯量实验仪。电子天平,游标卡尺 【思考题】 1.分析影响实验精度的各种因素,如何减少这些因素影响? 2.是否可以通过实验和作图,既求出转动惯量,又求出摩擦力矩?

⑤载物盘转动 15 圈后按确认键停止测量。 ⑥查阅数据，并将查阅到的数据记入表格中； 采用逐差法处理数据，将第 1 和第 5 组，第 2 和第 6 组……,分别组成至少 4 组，用（9） 式计算对应各组的 β1 值，然后求其平均值作为 β1 的测量值。 ⑦按确认键后返回“计时 1—2 多脉冲”界面。 （2）测量 β2 ①选择塔轮半径 R 及砝码质量，将 1 端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重 叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另 1 端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩，用手将载物台 稳住； ②重复（1）中的 2、3、4 步 ③释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；记录至少 8 组数据后 停止测量。查阅、记录数据于表格中并计算 β2的测量值。 由（4）式即可算出 J1 的值。 4、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量 J2 ，计算试样的转动惯量 J3 并与理论值 比较。将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量 J1 同样的方 法可分别测量未加法码的角加速度 β3 与加砝码后的角加速度 β4。由（5）式可计算 J2 的值， 已知 J1 、J2 ，由（6）式可计算试样的转动惯量 J3 。 已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为： 2 2 1 J = mR （11） 圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为： ( ) 2 2 2 R外 R内 m J = + （12） 计算试样的转动惯量理论值并与测量值 J3 比较，计算测量值的相对误差： 3 ×100% − = J J J E （13） 5、验证平行轴定理 将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为 d 的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置 的转动惯量。将测量值与由（11）、（10）式所得的计算值比较，若一致即验证了平行轴定理。 理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。 6、改变塔轮半径或砝码质量（五个塔轮，五个砝码）可得到 25 种组合，形成不同的力 矩。可改变实验条件进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索 测量的最佳条件。 【实验仪器】 ZKY—ZS 转动惯量实验仪。电子天平，游标卡尺。 【思考题】 1． 分析影响实验精度的各种因素，如何减少这些因素影响？ 2． 是否可以通过实验和作图，既求出转动惯量，又求出摩擦力矩？