《大学物理实验》教学资源（讲稿）基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发（北京理工大学：吴功涛、史庆藩）.pdf_大学文库

第25卷第5期大学物理实验 VoL 25 No 5 2012年10月 PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE Oct 2012 文章编号:1007-2934(2012)05-0044-03 基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发吴功涛,史庆藩* (北京理工大学,北京100081) 要:利用数字示波器和自制的试验箱完成傅里叶级数的叠加和展开以及傅里叶变换的实验方案,帮助学生理解傅里叶分析的实质。把抽象理论通过实验体现出来,具有良好的教学效果关键词:傅里叶分析;信号处理;数字示波器中图分类号:O4-33 文献标志码:A 傅里叶分析18世纪逐渐形成的一个重要分电感箱、电容箱、连接线等构成。试验箱能够提供支,主要研究函数的傅里叶变换及其性质,又称调振幅、频率和相位连续可调的四组正弦波,利用周和分析。在经历了近两个世纪的发展之后,研究期信号的傅里叶展开式,将这四组信号的振幅、频领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。率和相位按一定要求调节后。输入到加法器叠加傅里叶分析作为数学的一个分支,无论在概念或后,就可以分别合成方波、三角波等波形。利用方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展,在RLC串联谐振电路作为选频电路[,对波进行频傅里叶分析中最常用的是傅里叶级数和傅里叶变谱分解,在示波器上显示出被分解后的波形,利用换。傅里叶级数利用三角函数的正交性将周期函参考正弦波与被分解出的波形构成李萨茹图形数用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表确定基波和各次谐波的初相位关系。将试验箱产示,极大地推动了偏微分方程理论的发展,在数学生的信号输入到数字示波器中,利用数字示波器物理以及工程中都具有重要的应用。傅里叶变换的数学计算功能完成周期信号的傅里叶变换种时一频转换的数学分析方法,利用它就可以将原来难以处理的时域信号转换成易于分析的频2实验内容域信号,从而在频域中可以清楚地分析它的特征并且我们还可以利用傅立叶反变换将频域信号转2.1傅里叶级数的合成实验换成时域信号3。因此傅里叶变换在很多领域以方波为例,对方波中有都着广泛的应用。然而,作为一种数学分析 f(r)=4( sinat+ Isin3ot + Isin 的方法,傅里叶分析对于理工科低年级各专业学生来说显得非常抽象,因此非常有必要在大学物 1 理实验中安排有关傅里叶分析的实验课程,调研由上式可知,方波由一系列正弦波合成。这结果显示,目前仅有极少数学校安排了有关傅里叶分析的实验。为此我们开发出了利用数字示波系列正弦波振幅比为1:37:…频率之器和自制的试验箱完成傅里叶级数以及傅里叶变比为1:3:5:7:8…,初相位相同。因此首先利用换的实验来帮助学生理解傅里叶分析李萨茹图形调节各输入信号的初相位,在示波器的X轴输入1KHz的正弦波,在Y轴分别输入1 实验方法 KHz、3KHz、5KHz、7KHz的正弦波,当示波器上分别显示如下图形时,达到使基波和各阶谐波实验装置主要有自制的试验箱、数字示波器、的初相位相同的目的。收稿日期:2012-05-09 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10975014) 通讯联系人 21994-2015ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

第２５卷第５期大学物理实验Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．５２０１２年１０月ＰＨＹＳＩＣＡＬＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＯＦＣＯＬＬＥＧＥＯｃｔ．２０１２收稿日期：２０１２－０５－０９基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０９７５０１４）＊通讯联系人文章编号：１００７－２９３４（２０１２）０５－００４４－０３基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发吴功涛，史庆藩＊（北京理工大学，北京１０００８１）摘要：利用数字示波器和自制的试验箱完成傅里叶级数的叠加和展开以及傅里叶变换的实验方案，帮助学生理解傅里叶分析的实质。把抽象理论通过实验体现出来，具有良好的教学效果。关键词：傅里叶分析；信号处理；数字示波器中图分类号：Ｏ４－３３文献标志码：Ａ傅里叶分析１８世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质，又称调和分析。在经历了近两个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展，在傅里叶分析中最常用的是傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶级数利用三角函数的正交性将周期函数用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，极大地推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。傅里叶变换一种时—频转换的数学分析方法，利用它就可以将原来难以处理的时域信号转换成易于分析的频域信号，从而在频域中可以清楚地分析它的特征，并且我们还可以利用傅立叶反变换将频域信号转换成时域信号［１－３］。因此傅里叶变换在很多领域中有都着广泛的应用。然而，作为一种数学分析的方法，傅里叶分析对于理工科低年级各专业学生来说显得非常抽象，因此非常有必要在大学物理实验中安排有关傅里叶分析的实验课程，调研结果显示，目前仅有极少数学校安排了有关傅里叶分析的实验。为此我们开发出了利用数字示波器和自制的试验箱完成傅里叶级数以及傅里叶变换的实验来帮助学生理解傅里叶分析。１实验方法实验装置主要有自制的试验箱、数字示波器、电感箱、电容箱、连接线等构成。试验箱能够提供振幅、频率和相位连续可调的四组正弦波，利用周期信号的傅里叶展开式，将这四组信号的振幅、频率和相位按一定要求调节后。输入到加法器叠加后，就可以分别合成方波、三角波等波形。利用ＲＬＣ串联谐振电路作为选频电路［４］，对波进行频谱分解，在示波器上显示出被分解后的波形，利用参考正弦波与被分解出的波形构成李萨茹图形，确定基波和各次谐波的初相位关系。将试验箱产生的信号输入到数字示波器中，利用数字示波器的数学计算功能完成周期信号的傅里叶变换。２实验内容２．１傅里叶级数的合成实验以方波为例，对方波ｆ（ｘ）＝４ｈ π ｓｉｎωｔ＋１３ｓｉｎ３ωｔ＋１５ｓｉｎ５ωｔ＋１７ｓｉｎ７ωｔ…… 由上式可知，方波由一系列正弦波合成。这一系列正弦波振幅比为１１３１５１７１９…，频率之比为１３５７８…，初相位相同。因此首先利用李萨茹图形调节各输入信号的初相位，在示波器的Ｘ轴输入１ＫＨｚ的正弦波，在Ｙ轴分别输入１ＫＨｚ、３ＫＨｚ、５ＫＨｚ、７ＫＨｚ的正弦波，当示波器上分别显示如下图形时，达到使基波和各阶谐波的初相位相同的目的

基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发 (a)1KHz的正弦波 b)1KHz和3KHz的叠加 (c)1、3、5KHz的叠加(d)1、3、5、7KHz的叠加图2方波的傅里叶级数叠加方波信号中只含奇次谐波的正弦分量。通过 (c)5KHz 图1各列输入波形叠加的李萨茹图形选频网络可以将方波信号中所包含的各次谐波分量提取出来。实验采用有源带通滤波器作为选然后将振幅比为1::3:7…的1KH、频网络,分为5路,各带通滤波器的Bw=2H 3KHz、5KHz、7KHz的正弦波逐次输入到加法器将被测信号加到选频网络上,从每一带通滤波器观察合成波形的变化,最后看到近似的方波图形。的输出端可以用示波器观察到相应频率的谐波分从实验结果可以看出随着谐波的增加,它们量口。实验采用的被测信号为1000z的方波, 合成的波形最终会近似合成为一个方波,这和数通过各滤波器后,可观察到1、3、5次谐波,而2、4 学推导的公式是相吻合的。通过本次试验可以让次谐波在理想情况下应该无输出信号,但实际上学生看到,正弦波的确可以叠加出方波方波可能有少量失真以及受滤波器本身滤波特性 2.2傅里叶级数的分解实验的限制而使偶次谐波分量未能达到理想的情况。还是以方波为例,由方波的傅里叶展开式知分解出各次谐波如图3。 W四 a)1次谐波 (b)3次谐波 )5次谐波图3方波的傅里叶级数分解从输出波形可以看到各谐波的幅度之比为由试验结果可以看出通过选频电路,方波信在示波器的轴输入1次谐波,在轴分别号中所包含的各次谐波分量提取出来,各分量的振幅比和数学推导的公式是相吻合的。通过本次输入3次和5次谐波,叠加后得到如图4所示的试验可以让学生看到,方波的确可以分解为正弦李萨茹图形,由图知这三列谐波的初相位相同。波。其它波形的合成与分解原理与方波相似,这里不再赘述。 2.3傅立叶频谱分析随着电子技术的发展的快速发展,目前多数的数字示波器已具有实现快速傅里叶变换(FFT) 一次谐波和三次谐 b)三次谐波和五次谐波的叠加的功能,然而,在大学物理实验教学的过程中这个图↓输出谐波的李萨茹图形功能没有被很好的利用,日前仅有个别的学校安 21994-2015ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net

图１各列输入波形叠加的李萨茹图形然后将振幅比为１１３１５１７１９…的１ＫＨｚ、３ＫＨｚ、５ＫＨｚ、７ＫＨｚ的正弦波逐次输入到加法器，观察合成波形的变化，最后看到近似的方波图形。从实验结果可以看出随着谐波的增加，它们合成的波形最终会近似合成为一个方波，这和数学推导的公式是相吻合的。通过本次试验可以让学生看到，正弦波的确可以叠加出方波。２．２傅里叶级数的分解实验还是以方波为例，由方波的傅里叶展开式知图２方波的傅里叶级数叠加方波信号中只含奇次谐波的正弦分量。通过一选频网络可以将方波信号中所包含的各次谐波分量提取出来。实验采用有源带通滤波器作为选频网络，分为５路。各带通滤波器的ＢＷ＝２Ｈｚ，将被测信号加到选频网络上，从每一带通滤波器的输出端可以用示波器观察到相应频率的谐波分量［５］。实验采用的被测信号为１０００Ｈｚ的方波，通过各滤波器后，可观察到１、３、５次谐波，而２、４次谐波在理想情况下应该无输出信号，但实际上方波可能有少量失真以及受滤波器本身滤波特性的限制而使偶次谐波分量未能达到理想的情况。分解出各次谐波如图３。图３方波的傅里叶级数分解从输出波形可以看到各谐波的幅度之比为１１３１５，在示波器的轴输入１次谐波，在轴分别输入３次和５次谐波，叠加后得到如图４所示的李萨茹图形，由图知这三列谐波的初相位相同。图４输出谐波的李萨茹图形由试验结果可以看出通过选频电路，方波信号中所包含的各次谐波分量提取出来，各分量的振幅比和数学推导的公式是相吻合的。通过本次试验可以让学生看到，方波的确可以分解为正弦波。其它波形的合成与分解原理与方波相似，这里不再赘述。２．３傅立叶频谱分析随着电子技术的发展的快速发展，目前多数的数字示波器已具有实现快速傅里叶变换（ＦＦＴ）的功能，然而，在大学物理实验教学的过程中这个功能没有被很好的利用，目前仅有个别的学校安基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发５４

排了利用数字示波器实现信号的傅立叶频谱分析的实验课程，因此在这里介绍一下数字示波器的傅里叶频谱分析的功能。使用数字示波器进行傅里叶频谱分析具体操作步骤如下：（１）首先将信号输入数字示波器或者利用数字示波器产生一个信号，将其占空比调整为３０％。（２）按ＭＡＴＨ键弹出ＭＡＴＨ功能菜单。按１号键打开“操作”下拉菜单，选择ＦＦＴ并按下确认键。此时，ＦＦＴ波形便出现在显示屏上。（３）按ＣＵＲＳＯＲ键显示光标测量功能菜单。按１号键打开“光标模式”下拉菜单并选择“手动” 类型。（４）按２号菜单操作键，选择光标类型为Ｘ或Ｙ。（５）按３号菜单操作键，选择信源为ＦＦＴ，菜单将转移到ＦＦＴ窗口。（６）转动多功能旋钮，移动光标至感兴趣的波形位置，测量结果显示于屏幕右上角。参考文献：［１］梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，１９９８．［２］曾禹树等．信号与系统［Ｍ］．３版．北京：北京理工大学出版社，２０１０．［３］吴晓芳，朱昊．傅里叶变换光谱分析系统及其测试［Ｊ］．物理实验，２００６（５）．［４］王远．模拟电子技术基础［Ｍ］．３版．北京：机械工业出版社，２００８（２）．［５］侯宁．基于选频电路的周期信号傅里叶分解的研究［Ｊ］．计算机与现代化，２００８（９）．ＴｈｅＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆＦｏｕｒｉｅｒＡｎａｌｙｓｉｓＢａｓｅｄｏｎｔｈｅＤｉｇｉｔａｌＯｓｃｉｌｌｏｓｃｏｐｅＷＵＧｏｎｇ－ｔａｏ，ＳＨＩＱｉｎｇ－ｆａｎ（ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８１）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｕｔｆｏｒｗａｒｄａｋｉｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｐｒｏｇｒａｍｕｓｉｎｇｄｉｇｉｔａｌｏｓｃｉｌｌｏｓｃｏｐｅａｎｄａｓｅｌｆ－ｍａｄｅｔｅｓｔｂｏｘｗｈｉｃｈｃｏｍｐｌｅｔｅＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎａｎｄｓｕｐｅｒｉｍｐｏｓｅｄａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｈｅｌｐｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅｏｆＦｏｕｒｉｅｒａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅａｂｓｔｒａｃｔｔｈｅｏｒｙｗａｓｒｅｆｌｅｃｔｅｄｔｈｒｏｕｇｈｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｗｉｔｈｇｏｏｄｔｅａｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｆｏｕｒｉｅｒａｎａｌｙｓｉｓ；ｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｄｉｇｉｔａｌｏｓｃｉｌｌｏｓｃｏｐｅ６４基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发