第25卷第5期 大学物理实验 VoL 25 No 5 2012年10月 PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE Oct 2012 文章编号:1007-2934(2012)05-0044-03 基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发 吴功涛,史庆藩* (北京理工大学,北京100081) 要:利用数字示波器和自制的试验箱完成傅里叶级数的叠加和展开以及傅里叶变换的实验方 案,帮助学生理解傅里叶分析的实质。把抽象理论通过实验体现出来,具有良好的教学效果 关键词:傅里叶分析;信号处理;数字示波器 中图分类号:O4-33 文献标志码:A 傅里叶分析18世纪逐渐形成的一个重要分电感箱、电容箱、连接线等构成。试验箱能够提供 支,主要研究函数的傅里叶变换及其性质,又称调振幅、频率和相位连续可调的四组正弦波,利用周 和分析。在经历了近两个世纪的发展之后,研究期信号的傅里叶展开式,将这四组信号的振幅、频 领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。率和相位按一定要求调节后。输入到加法器叠加 傅里叶分析作为数学的一个分支,无论在概念或后,就可以分别合成方波、三角波等波形。利用 方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展,在RLC串联谐振电路作为选频电路[,对波进行频 傅里叶分析中最常用的是傅里叶级数和傅里叶变谱分解,在示波器上显示出被分解后的波形,利用 换。傅里叶级数利用三角函数的正交性将周期函参考正弦波与被分解出的波形构成李萨茹图形 数用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表确定基波和各次谐波的初相位关系。将试验箱产 示,极大地推动了偏微分方程理论的发展,在数学生的信号输入到数字示波器中,利用数字示波器 物理以及工程中都具有重要的应用。傅里叶变换的数学计算功能完成周期信号的傅里叶变换 种时一频转换的数学分析方法,利用它就可以 将原来难以处理的时域信号转换成易于分析的频2实验内容 域信号,从而在频域中可以清楚地分析它的特征 并且我们还可以利用傅立叶反变换将频域信号转2.1傅里叶级数的合成实验 换成时域信号3。因此傅里叶变换在很多领域 以方波为例,对方波 中有都着广泛的应用。然而,作为一种数学分析 f(r)=4( sinat+ Isin3ot + Isin 的方法,傅里叶分析对于理工科低年级各专业学 生来说显得非常抽象,因此非常有必要在大学物 1 理实验中安排有关傅里叶分析的实验课程,调研 由上式可知,方波由一系列正弦波合成。这 结果显示,目前仅有极少数学校安排了有关傅里 叶分析的实验。为此我们开发出了利用数字示波 系列正弦波振幅比为1:37:…频率之 器和自制的试验箱完成傅里叶级数以及傅里叶变比为1:3:5:7:8…,初相位相同。因此首先利用 换的实验来帮助学生理解傅里叶分析 李萨茹图形调节各输入信号的初相位,在示波器 的X轴输入1KHz的正弦波,在Y轴分别输入1 实验方法 KHz、3KHz、5KHz、7KHz的正弦波,当示波器 上分别显示如下图形时,达到使基波和各阶谐波 实验装置主要有自制的试验箱、数字示波器、的初相位相同的目的。 收稿日期:2012-05-09 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10975014) 通讯联系人 21994-2015ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net
第２５卷 第５期 大 学 物 理 实 验 Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．５ ２０１２年１０月 ＰＨＹＳＩＣＡＬＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＯＦＣＯＬＬＥＧＥ Ｏｃｔ．２０１２ 收稿日期：２０１２－０５－０９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０９７５０１４） ＊通讯联系人 文章编号：１００７－２９３４（２０１２）０５－００４４－０３ 基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发 吴功涛，史庆藩＊ （北京理工大学，北京 １０００８１） 摘 要：利用数字示波器和自制的试验箱完成傅里叶级数的叠加和展开以及傅里叶变换的实验方 案，帮助学生理解傅里叶分析的实质。把抽象理论通过实验体现出来，具有良好的教学效果。 关 键 词：傅里叶分析；信号处理；数字示波器 中图分类号：Ｏ４－３３ 文献标志码：Ａ 傅里叶分析１８世纪逐渐形成的一个重要分 支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质，又称调 和分析。在经历了近两个世纪的发展之后，研究 领域 已 从 直 线 群、圆周群扩展到一般的抽象群。 傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或 方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展，在 傅里叶分析中最常用的是傅里叶级数和傅里叶变 换。傅里叶级数利用三角函数的正交性将周期函 数用正弦 函 数 和 余 弦 函 数 构 成 的 无 穷 级 数 来 表 示，极大地推动了偏微分方程理论的发展，在数学 物理以及工程中都具有重要的应用。傅里叶变换 一种时—频转换的数学分析方法，利用它 就 可 以 将原来难以处理的时域信号转换成易于分析的频 域信号，从而在频域中可以清楚地分析它的特征， 并且我们还可以利用傅立叶反变换将频域信号转 换成时域信号［１－３］。因此傅里叶变换在很多领域 中有都着广泛的应用。然而，作为一种数学分析 的方法，傅里叶分析对于理工科低年级各专业学 生来说显得非常抽象，因此非常有必要在大学物 理实验中安排有关傅里叶分析的实验课程，调研 结果显示，目前仅有极少数学校安排了有关傅里 叶分析的实验。为此我们开发出了利用数字示波 器和自制的试验箱完成傅里叶级数以及傅里叶变 换的实验来帮助学生理解傅里叶分析。 １ 实验方法 实验装置主要有自制的试验箱、数字示波器、 电感箱、电容箱、连接线等构成。试验箱能够提供 振幅、频率和相位连续可调的四组正弦波，利用周 期信号的傅里叶展开式，将这四组信号的振幅、频 率和相位按一定要求调节后。输入到加法器叠加 后，就可 以 分 别 合 成 方 波、三 角 波 等 波 形。利 用 ＲＬＣ串联谐振电路作为选频电路［４］，对波进行频 谱分解，在示波器上显示出被分解后的波形，利用 参考正弦波与被分解出的波形构成李萨茹图形， 确定基波和各次谐波的初相位关系。将试验箱产 生的信号输入到数字示波器中，利用数字示波器 的数学计算功能完成周期信号的傅里叶变换。 ２ 实验内容 ２．１ 傅里叶级数的合成实验 以方波为例，对方波 ｆ（ｘ）＝４ｈ π ｓｉｎωｔ＋ １ ３ｓｉｎ３ωｔ＋ １ ５ｓｉｎ５ωｔ ＋ １ ７ｓｉｎ７ωｔ…… 由上式可知，方波由一系列 正 弦 波 合 成。这 一系列正弦波振幅比为１ １ ３ １ ５ １ ７ １ ９…，频率之 比为１ ３ ５ ７ ８…，初相位相同。因此首先利用 李萨茹图形调节各输入信号的初相位，在示波器 的 Ｘ轴输入１ＫＨｚ的正弦波，在 Ｙ 轴分别输入１ ＫＨｚ、３ＫＨｚ、５ＫＨｚ、７ＫＨｚ的正弦波，当示波器 上分别显示如下图形时，达到使基波和各阶谐波 的初相位相同的目的
基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发 (a)1KHz的正弦波 b)1KHz和3KHz的叠加 (c)1、3、5KHz的叠加(d)1、3、5、7KHz的叠加 图2方波的傅里叶级数叠加 方波信号中只含奇次谐波的正弦分量。通过 (c)5KHz 图1各列输入波形叠加的李萨茹图形 选频网络可以将方波信号中所包含的各次谐波 分量提取出来。实验采用有源带通滤波器作为选 然后将振幅比为1::3:7…的1KH、频网络,分为5路,各带通滤波器的Bw=2H 3KHz、5KHz、7KHz的正弦波逐次输入到加法器 将被测信号加到选频网络上,从每一带通滤波器 观察合成波形的变化,最后看到近似的方波图形。 的输出端可以用示波器观察到相应频率的谐波分 从实验结果可以看出随着谐波的增加,它们量口。实验采用的被测信号为1000z的方波, 合成的波形最终会近似合成为一个方波,这和数通过各滤波器后,可观察到1、3、5次谐波,而2、4 学推导的公式是相吻合的。通过本次试验可以让次谐波在理想情况下应该无输出信号,但实际上 学生看到,正弦波的确可以叠加出方波 方波可能有少量失真以及受滤波器本身滤波特性 2.2傅里叶级数的分解实验 的限制而使偶次谐波分量未能达到理想的情况。 还是以方波为例,由方波的傅里叶展开式知分解出各次谐波如图3。 W四 a)1次谐波 (b)3次谐波 )5次谐波 图3方波的傅里叶级数分解 从输出波形可以看到各谐波的幅度之比为 由试验结果可以看出通过选频电路,方波信 在示波器的轴输入1次谐波,在轴分别号中所包含的各次谐波分量提取出来,各分量的 振幅比和数学推导的公式是相吻合的。通过本次 输入3次和5次谐波,叠加后得到如图4所示的试验可以让学生看到,方波的确可以分解为正弦 李萨茹图形,由图知这三列谐波的初相位相同。 波。其它波形的合成与分解原理与方波相似,这 里不再赘述。 2.3傅立叶频谱分析 随着电子技术的发展的快速发展,目前多数 的数字示波器已具有实现快速傅里叶变换(FFT) 一次谐波和三次谐 b)三次谐波和五次谐 波的叠加 的功能,然而,在大学物理实验教学的过程中这个 图↓输出谐波的李萨茹图形 功能没有被很好的利用,日前仅有个别的学校安 21994-2015ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net
图１ 各列输入波形叠加的李萨茹图形 然后将振幅比为１ １ ３ １ ５ １ ７ １ ９…的１ＫＨｚ、 ３ＫＨｚ、５ＫＨｚ、７ＫＨｚ的正弦波逐次输入到加法器， 观察合成波形的变化，最后看到近似的方波图形。 从实验结果可以看出随着谐波的增 加，它 们 合成的波形最终会近似合成为一个方波，这和数 学推导的公式是相吻合的。通过本次试验可以让 学生看到，正弦波的确可以叠加出方波。 ２．２ 傅里叶级数的分解实验 还是以方波为例，由方波的傅里叶展开式知 图２ 方波的傅里叶级数叠加 方波信号中只含奇次谐波的正弦分量。通过 一选频网络可以将方波信号中所包含的各次谐波 分量提取出来。实验采用有源带通滤波器作为选 频网络，分为５路。各带通滤波器的 ＢＷ＝２Ｈｚ， 将被测信号加到选频网络上，从每一带通滤波器 的输出端可以用示波器观察到相应频率的谐波分 量［５］。实验采用的被测信号为１０００Ｈｚ的方波， 通过各滤波器后，可观察到１、３、５次谐波，而２、４ 次谐波在理想情况下应该无输出信号，但实际上 方波可能有少量失真以及受滤波器本身滤波特性 的限制而使偶次谐波分量未能达到理想的情况。 分解出各次谐波如图３。 图３ 方波的傅里叶级数分解 从输 出 波 形 可 以 看 到 各 谐 波 的 幅 度 之 比 为 １ １ ３ １ ５，在示波器的 轴输入１次谐波，在 轴分别 输入３次和５次谐波，叠加后得到如图４所示的 李萨茹图形，由图知这三列谐波的初相位相同。 图４ 输出谐波的李萨茹图形 由试验结果可以看出通过选频电路，方 波 信 号中所包含的各次谐波分量提取出来，各分量的 振幅比和数学推导的公式是相吻合的。通过本次 试验可以让学生看到，方波的确可以分解为正弦 波。其它波形的合成与分解原理与方波相似，这 里不再赘述。 ２．３ 傅立叶频谱分析 随着电子技术的发展的快速发展，目 前 多 数 的数字示波器已具有实现快速傅里叶变换（ＦＦＴ） 的功能，然而，在大学物理实验教学的过程中这个 功能没有被很好的利用，目前仅有个别的学校安 基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发 ５４
基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发 排了利用数字示波器实现信号的傅立叶频谱分析 (5)按3号菜单操作键,选择信源为FFT,菜 的实验课程,因此在这里介绍一下数字示波器的单将转移到FFT窗口 傅里叶频谱分析的功能。使用数字示波器进行傅 (6)转动多功能旋钮,移动光标至感兴趣的 里叶频谱分析具体操作步骤如下 波形位置,测量结果显示于屏幕右上角 (1)首先将信号输入数字示波器或者利用数 字示波器产生一个信号,将其占空比调整为参考文献 30%。 [1]梁昆淼数学物理方法[M].3版.北京:高等教育出 (2)按[MAT曰键弹出MATH功能菜单 版社,1998 按1号键打开“操作”下拉菜单,选择FFT并按下[2]曾禹树等,信号与系统[M]3版北京:北京理工大 学出版社,2010 确认键。此时,FT波形便出现在显示屏上。 [3]吴晓芳,朱昊.傅里叶变换光谱分析系统及其测 (3)按URSO键显示光标测量功能菜单 试[门].物理实验,2006(5) [4]王远.模拟电子技术基础[M].3版.北京:机械工业 按1号键打开“光标模式”下拉菜单并选择“手动” 出版社,2008(2) 类型。 [5]侯宁.基于选频电路的周期信号傅里叶分解的研 (4)按2号菜单操作键,选择光标类型为X 究[.计算机与现代化,2008(9) The Development Experiment of Fourier Analysis based on the Digital Oscilloscope WU Gong-tao, SHI Qing-fan Beijing Institute of Technology, Beijing 100081) Abstract: This paper put forward a kind experimental program using digital oscilloscope and a self- ade test box which complete Fourier series expansion and superimposed and Fourier transform, help the students to understand the essence of Fourier analysis. The abstract theory was reflected through experiment, with good teaching effect. Key words Fourier analysis; signal processing; digital oscilloscope 21994-2015ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net
排了利用数字示波器实现信号的傅立叶频谱分析 的实验课程，因此在这里介绍一下数字示波器的 傅里叶频谱分析的功能。使用数字示波器进行傅 里叶频谱分析具体操作步骤如下： （１）首先将信号输入数字示波器或者利用数 字示 波 器 产 生 一 个 信 号，将其占空比调 整 为 ３０％。 （２）按 ＭＡＴＨ 键 弹 出 ＭＡＴＨ 功 能 菜 单。 按１号键打开“操作”下拉菜单，选择 ＦＦＴ 并按下 确认 键。此时，ＦＦＴ 波形便出现在显示屏上。 （３）按 ＣＵＲＳＯＲ键显示光标测量功能菜单。 按１号键打开“光标模式”下拉菜单并选择“手动” 类型。 （４）按２号 菜 单 操 作 键，选 择 光 标 类 型 为 Ｘ 或 Ｙ。 （５）按３号菜单操作键，选择信源为 ＦＦＴ，菜 单将转移到 ＦＦＴ 窗口。 （６）转动 多 功 能 旋 钮，移 动 光 标 至 感 兴 趣 的 波形位置，测量结果显示于屏幕右上角。 参考文献： ［１］ 梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．３版．北京：高等 教 育 出 版社，１９９８． ［２］ 曾禹树等．信号与系统［Ｍ］．３版．北京：北京 理 工 大 学出版社，２０１０． ［３］ 吴 晓 芳，朱 昊．傅里叶变换光谱 分析系统及其测 试［Ｊ］．物理实验，２００６（５）． ［４］ 王远．模拟电子技术基础［Ｍ］．３版．北京：机 械 工 业 出版社，２００８（２）． ［５］ 侯 宁．基于选频电路的周期信号傅里叶分解的研 究［Ｊ］．计算机与现代化，２００８（９）． ＴｈｅＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆＦｏｕｒｉｅｒＡｎａｌｙｓｉｓＢａｓｅｄ ｏｎｔｈｅＤｉｇｉｔａｌＯｓｃｉｌｌｏｓｃｏｐｅ ＷＵ Ｇｏｎｇ－ｔａｏ，ＳＨＩＱｉｎｇ－ｆａｎ （ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８１） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｕｔｆｏｒｗａｒｄａｋｉｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｐｒｏｇｒａｍ ｕｓｉｎｇｄｉｇｉｔａｌｏｓｃｉｌｌｏｓｃｏｐｅａｎｄａｓｅｌｆ－ ｍａｄｅｔｅｓｔｂｏｘｗｈｉｃｈｃｏｍｐｌｅｔｅＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎａｎｄｓｕｐｅｒｉｍｐｏｓｅｄａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｈｅｌｐ ｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅｏｆＦｏｕｒｉｅｒａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅａｂｓｔｒａｃｔｔｈｅｏｒｙｗａｓｒｅｆｌｅｃｔｅｄｔｈｒｏｕｇｈ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｗｉｔｈｇｏｏｄｔｅａｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｆｏｕｒｉｅｒａｎａｌｙｓｉｓ；ｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｄｉｇｉｔａｌｏｓｃｉｌｌｏｓｃｏｐｅ ６４ 基于数字示波器的傅里叶分析实验的开发
