第24卷第8期 计算机与底用化 2007年8月28日 mputers and Applied Chemistry August, 200 第二类物质溶液表面张力与浓度关系的数学模型 周钢,兰叶青,施燕博,刘袁凯 (南京农业大学理学院,江苏,南京,210095) 摘要:利用科学计算绘图软件 Origin,将“最大气泡法测定乙醇溶液的表面张力”的实验数据,通过多项式:y=A+B·x+C x2和y=A+B·x+C*x2+Dx3;对数式:y=a-b*ln(x+c);指数式:y=A,·exp(-x/1)+yo等数学模型进行拟合。对 拟合方程分别求导后,代人吉布斯(W. Gibbs)吸附等温式。再利用 Origin进一步处理,作第二类物质溶液表面吸附等温线 (溶液浓度从无限小至无限大)。然后,将所获得的图形参数进行综合对比分析和论证,最终确立第二类物质溶液表面张力σ 与浓度c之间的理想方程,建立起相应的数学模型:即σ=b·exp(-c/a)+d 关键调:表面张力;吸附量;数学模型;拟合 中图分类号:TQ021.2;TP399;06433 文獻标识码:A 文章编号:10014160(2007)08-103-1106 Establishment of mathematics model on tbe relationship between solution surface tension and its concentr ation tor the second type matters Zhou Gang, Lan eying, Shi Yanbo and Liu Yuankai Science College of Nanjing AgricuLtural University, Nanjing, 210095, Jiangsu, China) Abstract: The data of surface tension of alcohol solution obtained by the largest gas bubbles were simulated by the formulae of y=A+ B*x+C·x2,y=A+B·x+C*x2+D·x3,y=a-b·ln(x+c)andy=A,·exp(-/t1)+yo, respectively with Origin soft ware. The simulated equations were differentiated each and the results were introduced to the Gibbs adsorption isothermal equation The isotherm of surface adsorption for the second type matters with a concentration range from a minimum to a maximum was drawn with Origin software. Then, these obtained curves were analyzed and discussed. Finally, the ideal mathematics model on the relationsl tween solution surface tension and its concentration for second type matters was established o =b exp(-c/a)+d. Key words surface tension, adsorption amount, mathematics model, simulation Zhou G, Lan YQ, Shi YB and Liu YK. Establishment of mathematics model on the relationship between solution surface tension and its concentration for the second type matters. Computers and Applied Chemistry, 2007, 24 (8):1103-1106. 1引 在确定温度和压力条件下,液体的表面张力是一定值。 溶液的表面张力不仅与温度和压力有关,还与溶质的种类及 其溶液的浓度有关。 水溶液中表面张力随组成的变化可分3种类型。一类是 lI 无机盐、非挥发性的酸或碱以及蔗糖、甘露醇等多羟基有机 物,其水溶液的表面张力随浓度的增加而以近似直线的关系 上升,如图1的I线;二类是短链醇、醛、酮、酸和胺等有机物 随浓度增大其表面张力初时降得较快,随后减慢而呈图1的Ⅱ 线;三类是碳原子数为8以上的直长链有机酸碱金属盐、磺酸 g 1 The relationship between solution 盐、硫酸盐和苯磺酸盐等,这些物质少量就能显著降低溶液的 tension and its concentration 表面张力到一定浓度后改变不再明显,如图1的Ⅲ线 图1不同水溶液表面张力与浓度的关系 收稿日期:2006-1021;修回日期:20061228 基盒责助:国家教育部“21世纪中国高等学校农林专业化学基础课程的创新与实践”项目(BIA010092-F01); 南京农业大学教育教学改革项目(205Y3 作者简介:周钢(1953—),男,南京,高级实验师 201994-2007ChinaAcademicJourmalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp:/www.cnki.net
第 卷 第 期 年 月 日 针葬机 与 龙用化 母 叮 , 即 , 加 第二 类物质溶液表面张力与浓度关 系的数学模型 周钢 , 兰 叶青 , 施 燕博 , 刘袁凯 南京农业大学理学 院 , 江苏 , 南京 , 摘 要 利用科学计算绘 图软件 , 将 “ 最 大气泡法测定 乙 醇溶液的表面张力 ” 的实验数据 , 通 过多项式 二 一 · 龙 和 二 滩 召 龙 。 , 对数式 二 指数式 二 二 一 ‘ 。 等数学模型进行拟合 。 对 拟合方程分别求导后 , 代入 吉布斯 。 吸附等温式 。 再 利用 乡 进一 步处 理 , 作第二 类物质溶液 表 面 吸 附等温线 溶液浓度从无 限小至 无 限大 。 然后 , 将所获得 的图形参数进行综合对 比分析和论证 , 最终确立 第二类物质溶 液表面 张力 。 与浓度 。 之 间的理想方程 , 建立起相应 的数学模型 即 , 二 一 。 关扭词 表面张力 吸附量 数学模型 拟合 中圈分类号 一 文献标识 码 文章摘 号 一 柱 , , 吮 , , , , 而 二 · 龙 , 二 佗 , 了 一 二 了 二 一 , 旅 , , 口 二 一 叮 。 血 , , , , , 叮 , , 一 、︵︶ 引言 在确 定温度和 压 力条件 下 , 液 体 的 表 面 张 力 是 一 定值 。 溶液的表 面张力不仅与温度和压力有关 , 还 与溶质的种类及 其溶液 的浓度有关 。 水溶液中表面 张力随组成的变化可分 种类型 。 一 类是 无机盐 、 非挥发性 的酸或碱 , 以 及 蔗格 、 甘露 醉等多经基有机 物 , 其水溶液的表面张力随浓度的增加而 以 近似直线 的关 系 上 升 , 如图 的 线 二 类是 短 链 醇 、 醛 、 酮 、 酸和 胺 等有 机物 , 随浓度增大其表面张力初时降得较快 , 随后减慢而呈 图 的 线 三类是碳原子数为 以 上 的直长链有机酸碱金属盐 、 磺酸 盐 、 硫酸盐和 苯磺酸盐 等 , 这些物质少 量就能显 著降低溶液 的 表面张力 , 到一定浓度后 , 改变不再明显 , 如图 的 线 〔’一 ’了。 ‘ 图 不 同水溶液表面 张力 与浓度 的关系 收稿 日期 一 一 卜 修 回 日期 · 一 ‘ 金 资助 国家教育部 “ 世纪 中国 高等学 校农林专业 化学基础课程 的创新与实践 ” 项 目 一 印 南京农业 大学 教育教学 改 革项 目 作衡简介 周钢 一 , 男 , 南京 , 高级 实验师
1104 针算邮与瑁化孴 2007,24(8) 有经验公式描述表面张力a和浓度c之间的关系,如希力G; 什科夫斯基( Szyszkowski)公式: (2)利用科学计算绘图软件 Origin7.5作散点图,然后 (1)分别利用多项式:y=A+B·x+C·21和y=A+B·x+C x2+D·x316”对数式:y=a-b*ln(x+c)-”;指数 和a分别表示溶剂和溶液的表面张力,a和b为经验常数。之间的关系曲线,及相应的拟合曲线方程相关系数等。 该式表示第Ⅱ类曲线比较成功,式中c为溶液浓度, 式:y=A1·exp(-x/1)+y等拟合,得表面张力a与浓度 同系物中,b值相同,a值的大小和碳链的长度有关,随碳数 的增加而下降。但该经验公式仅适用于第二类表面活性物 (3)分别求导所拟合的曲线方程后得相应的[]值 质低浓度的溶液,而对高浓度的表面活性物质溶液的表面并将\dc ]值代入吉布斯吸附等温式(r=n「虹1); 张力a则随浓度c的变化规律却无法描述。其原因在于希 什科夫斯基公式是对数拟合方程。所以,有必要研究出一个 (4)利用 Ongin75处理布斯附等温式0:1,得吸 表面张力随浓度c变化关系的数学模型,它符合低浓度至附量i与浓度关系的线 高浓度的第二类表面活性物质的溶液 (5)将σ和rc曲织图分析对比并加以筛选,最终确 立笃二类质着液表面张力与浓度之间的理想方程,建立其 2实验仪器及药品 相应的数学模型 表面张力仪、DPAW墩差情松数字压力计和sYc154结果与分析 超级恒温水浴,均为京力电子改备厂生产。无水乙醇为 分析纯,南京化学试剂有限公司生产。 4.1实验数据采集 25℃条件下,用最大气泡法测得乙醇不同浓度水溶液的 3实验设计 表面张力a,其实验数据见表1。 (1)在一定温度,测出溶液不同浓度c所对应的表面张 表125℃时不同浓度乙醇水溶液的表面张力 Table 1 surace tension of alcohol solution with diferent concentrations at 25C 0.42540.85081.7022.5523.4034.2545.1055.9556.8068.50810.211.9113.6115.3117.02 ax103(N/m) 58.151.145,4 937.134.231.629.827.326.325.324.824.323.9 4.2利用 Origin处理实验结果 4.3拟合结果的分析与讨论 利用 Origin处理实验所得的乙醇溶液ac和rc曲线如 (1)参数对比 图2所示。 表2为图2拟合参数汇总,表中的Eror/ value值为图 的σc曲线中参数方框内的误差与其对应参数的数值之比。 表2拟合参数 Table 2 Simulation parameters Model Chin/dof Ermor /velue Parabola 5.98672 0.96886 ±0.02551(A) ±0.07541(B) ±0.1090(C) Cubic 0.29559 0.99859 ±0.00686(A) ±0.04505(C) ±0.06556(D) ±0.08783(b) 244683(c) 0092(y0, ±0.00527(A1) ±0.01290(41) 由表2的Ch2/DoF、R2和Eror/ Value三项指标,可见点。图2c的r曲线与利用希什科夫斯基经验公式处理实 指数拟合效果最理想。 验所得的re曲线基本一致。由此可见,对数方程只适用于 (2)图形分析及讨论 低浓度的第二类表面活性物质的溶液 图2a示乙醇水溶液浓度c在12.5mo/L附近时,表面 图2d示对全部实验数据拟合效果均十分满意,图2d的 张力G出现最小值。从而导致吸附量r开始进入负值区域。rc曲线形状也十分理想。当x=时吸附量r值最大:r 该现象与基本概念不符,乃因二阶多项式为抛物线型所致。 。r及对应的乙醇水溶液浓度c的具体 图2b示乙醇水溶液浓度c在12.5m/L附近时表面求解方法如下: 张力a出现拐点,从而导致吸附量r出现最小值,之后吸附 第一步:用a、a、b、c、d取代指数拟合方程y=A1·exp 量r隨随溶液浓度c增大而增大。该现象同禅与基本概念不 (-x/1)+y中的y、1、A1、x、y得到方程: 符,乃因三阶多项式为波浪线型所致。 图2c示乙醇水溶液浓度c小于3mo/L时拟合效果较 好,而当浓度c大于3moL时,拟合曲线严重偏离实验数据 第二步:将式(2)求-阶导数得相应的[〓 201994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.net
什其机 与 应用化 母 的 , 有经验公式描述表面张力 和浓度 。 之间的关系 , 如希 什科夫斯荃 式 叮 内 一 厅 , , 、 , ‘ — 二 一 『 、 一 该式表示第 类曲线 比较成功 , 式 中 。 为溶液浓度 , 和 叮 分别表示溶剂和溶液的表面张力 , 和 为经 验 常数。 同系物中 , 值相同 , 值的大小和碳链的长度有关 , 随碳数 的增加而下降 。 但该经 验公式仅适用 于第二 类表面 活性 物 质低浓度的溶液 , 而对 高浓度的表面活性物质溶液的表面 张力 。 则随浓度 。 的变化规律却无法描述 。 其原 因在于 希 什科夫斯基公式是对数拟合方程 。 所以 , 有必要研究出一 个 表面张力 。 随浓度 。 变化关系的数学模型 , 它符合低浓度至 高浓度的第二类表面活性物质的溶液。 力 叮 利用科学计算绘 图软件 作散点图 , 然后 分别利用多项式 , 二 , 召 。 , , 和 二 摊 , 刀 , ‘ 一 ’ 、 对数式 二 。 一 ‘ 一 。 , 一 , 指数 式 二 二 一 灯 等拟合 , 得表面张力 。 与浓度 。 之间的关系曲线 , 及相应的拟合曲线方程 、 相关系数等〔’“ 〕 , 、 , 、 。二 , 一 ‘ 一 , , … “ 面 一 叹 万利 水 寻 肌拟甘创 四 戏 力 性石 , 得 相 皿 四 万尸 但 , 并将 匆值代人 吉布斯吸附等温别 , 二 钻, 匆 实验仪器及 药品 表面 张力仪 、 徽压 差精密数字压 力计 和 一 超级恒温水浴 , 均为南京桑力 电子设备厂生产 。 无水 乙 醉为 分析纯 , 南京化学试剂有限公 司生产 。 实验设 计 用 处理吉布斯 吸附等温式 ’。一 川 , 得 吸 附 与浓度 亡 关 系曲线 将 。 一 。 和 一 。 曲线图分析对 比并加以筛选 , 最终确 立第二类物质溶液表面 张力与浓度之间的理想方程 , 建立其 相应的数学模型 。 结果 与分析 实验数据采集 ℃条件下 , 用最大气泡法侧得 乙醉不 同浓度水溶液的 表面张力 。 , 其实验数据见表 。 在一定温度 , 侧 出溶液不 同浓度 。 所对应 的表面 张 表 ℃时不同浓度 乙 醉水溶液的表面 张力 曲 叨 护。 昨 的 ℃ 。。 口 , 利 用 加 处理 实脸 结果 利用 处理实验所得 的乙 醉溶液 , 一 。 和 一 。 曲线如 图 所示 。 拟合结果 的分析与讨论 参数对 比 表 为图 拟合参数汇 总 , 表中的 值为图 的 。 一 。 曲线 中参数方框 内的误差与其对应参数的数值之 比 。 表 拟合参数 曲 比 目此 门 肠目 , 印 仍 土 上 】 土 伙礴 土 · 土 士 土 士 阅 通 , 土 士 土 科 土 ‘ 全 肠 由表 的 龙 、 和 , 目 三 项 指标 , 可 见 指数拟合效果最理想 。 图形分析及讨论 图 示 乙 醉水溶 液浓度 。 在 。夕 附近 时 , 表面 张力 口 出现最小值 。 从而导致吸附 开始进人负值区域 。 该现象与墓本概念不符 , 乃 因二 阶多项式为抛物线型所致 。 图 示 乙 醉水溶液浓度 。 在 附近 时 , 表 面 张力 。 出现拐点 , 从 而 导致 吸 附 出现 最小值 之 后 吸 附 随溶液浓度 。 增 大而 增 大 。 该 现 象 同样 与基本概念 不 符 , 乃 因三 阶多项式为波浪线型所致 。 图 。 示 乙 醉水溶液 浓度 。 小 于 时拟合效果 较 好 , 而 当浓度 。 大于 。口 时 , 拟合 曲线严重偏离实验数据 点 。 图 。 的 一 。 曲线与利用 希什科夫斯墓经 验公式处 理实 验所得 的 一 。 曲线基本一致 。 由此 可 见 , 对 数方程 只适用 于 低浓度的第二类表面活性物质的溶液 。 图 示 对全部实验数据拟合效果均十分满愈 , 图 的 一 曲线形状也十分理想 。 当 二 时吸附 值最 大 二 竺竺丝二之 。 二 及对应 的 乙 醉 水溶 液 浓 度 。 。 的具 体 ’ 一 “ 一 ’ 一 ”一 一 ’ 一 一 ”一 ’ ” ’ 一 ’ , 一 , 二 , 产 、 · , 求解 方法如下 第一 步 用 、 、 、 、 取代指 数拟 合 方 程 二 , · 一 ‘, 中的 、 。, 、 、二 、 得到方程 二 一 一 ·‘ 、 、 一二 一 山 , 二 , 『 第· 二 一 步 · 将式·刁 、 、 · 求· 一 阶导·, , · 数得’“ 相应 的 ’“ 一 ”‘ 【举
207,24(8) 周钢等:第二类物质溶液表面张力与浓度关系的数学模型 1105 Equntion: y=A+B·x+C·x^2 151736±1.56901 024853t047083 ±0.02709 (moVL 是. Simulated by≠=A+Br+C·x2 c(molL) yA+Bx+C·x2+Dx^3 045193 962112±04518 .004 a03 0002 b Simulated by yA+Br+Cr2+D*r3 50 Ihi 2Dof weighting R2=0.98 ±2.48064 8x- c Simulated by y=a-bIn(r+c) 0007 Equation: y=Al'exp(-x/tl Hyo 0006 355912±004593 0.001 0.000 681012141618 681012141618202224 d. Simulated by yd exp(x/l)yo 图2几种数学模型拟合后,乙醇水溶液的ac和『曲线 #}]=(sp(-oa)+d=b…sp(-c) 第三步:将[出」代人吉布斯(wG加)吸附等温式得 exp(-c/a)=0 式(3) 即 rtl exp(-c/a)(3) 第五步:将c=a代入吉布斯(J.w.Gibb)吸附等温式的 第四步:令式(3)一阶导数为零的解析值:即cxq 解析值,即得rn 201994-2007ChinaacAdemicjOurnalElectronicPublishinghOuse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
, 周钢等 第二类物质溶液表面张力与浓度关系的数学模型 冈 匆 针 沙 场 乞。璧一﹂昌︵︶ 以润 乞弓一、‘︵ 士 。 , 。仪旧 刁 加 一 仪崎 才入 盯 百 闭云「石正万 产 砂 《 夕 向 住 认 飞飞益一昌︵︶ 百一︵ 士 , 士 之 士 士 众以均 。 , 。月 。 住砚比日 。 , 加 。 众侧洲】 曰 妙厂月 〔, 砂 护 一 场 , 一 印 。仪娜 。 乞鉴理一︵︶ 六 二 土 日伙润 士 士 乞乙‘、︸︵ 。 众咤湘 〕 盯 启口 加 , 冈 冈 如几犷 以以一劝 卜 。《兀陌 乞尧一‘︵。︶ 土 土 士 。《洲润 让加 飞一住︵︶ 咤刃 洲洲】 盯 厂月 中 以一 , 脚 。 口 切 “ 。 “ 一 一 司 口记 二 图 几种数学模型 拟合后 , 乙 醉水溶液的 , 一 。 和 一 曲线 二 。 , 二 。 一 。 。 , ‘ , 二 业 。 一 。 。 一面 一 ‘ ‘ 「 『 , 、 , 一 一 , … 、 一 一 、 , 弟 二 少 孙 六尸 代 八 百 巾 劲 认七 吸 附 寺 温双 得 一 俞【劣… 一 · · 箭 子 寻 …‘一‘· ’二 式 即 二 二 。 对 应 二 业 。 一 。 小 条 · 。 一 。 。 二一 一 第四 步 令式 一 阶导数为零 的解析值 即 。对 应 第五 步 将 。 二 。 代人吉布斯 。 附等温 式 的 解析值 , 即得 二 , 二【箭…‘一 · , 」 ‘ 。 一 一 , , 、 石不 — 一 毛
1106 计算邮周化香 2007,24(8) 7 Zhou ZY, Xie YZ, Wang Y, Liu b and Yin XP. Journal of Yanbian Univeraity, 1999, 25(3) 8 Jiang L. Physics Experimentation, 2004, 24(8): 28-30. 溶液表面吸附量(r)的定义是:一种表面超量(表面 design for detection and processing of the surface tension of solution 剩),即单位面积的表层中,与相同质量的本体溶液中所含溶 Computers and Applied Chemistry, 2005, 22(11): 1047-1050 质的量之差。因此,从表面超量的角度理解,当浓度较低时, 10 Hao HW and Shi GK. Oringin 6. 0 Teaching Material. Beijing: Elec- trie Power Press of China. 2000. 8 由于溶质(具有表面活性)优先排布在溶液表面层r随浓度11LinQ, Xiao CM, Tan PH and Jin CY. Parameters estimation of 增加而增加。但当浓度增到一定值之后,溶质的浓度再增 nonlinear equation with origin software. Computers and Applied 加,溶质在表面层的浓度与本体溶液的浓度之差必然越来越 Chemistry,2006,23(3):271-274 小,直到浓度无限大时,差值为零。因此吸附量r达到极大12 Huang Yunzhong,etal. Physical Chemisry Experiment Asisted by 值后,会逐渐减少,直到r。=02)。显然,用多项式或对数 Computer. Bei)ng: ChemieeIndutt-, fress, 2003: 232-241 式拟合方程来描述表面张力a和浓度c之间的关系时,无法中文参考文 体现上述主要特征,而用指数拟合方程却能充分体现。 !蘆元彦,半宝华,陪福溪,物理化学.北京:科学出版社,2005 209-210 5结论 师德刚,高执棣,高盘良,物理化学.北京:高等教育出版社, 2001:685-691 以乙醇为代表的二买物肥溶液其寂面张力σ与浓度3傳献彩,沈文霞,姚天扬.物理化学,北京:高等教育出版杜 之间的理想数学模型为:=)exp(-c/a)+d。其中a 2001:898-90 和b为经验常数同系物中如b值相同,a值大小和碳链的长4许金熀,刘艳.物理化学.北京:北京大学医学出版社2005 度有关。d是与温度及溶剂有关的一个经验常数。a、b和d 三着的数值由科学计算绘图软件 Ongin,在拟合实验数据后 5周晓蔚,李津,赵龙涛,侯跃宇,利用Eeel软件处理液体表面 张力数据.平顶山工学院学报,2003,12(3):51-54 自动生成于ae曲线图中的参数框内。吸附量最大值r 所对应的溶液浓度c为a,而吸附量最大值r= 6刘志军,液体表面张力测定实验数据处理的改进.天津城市壟 设学院学报,2001,7(2):103-104, b·eP(-1)。当c=0,xp(-ca)=1,即有G=。=6 7周子彦,谢玉忠,王轶,刘波,殷晓萍,计算机在最大气泡法测 定溶液的表面张力中的应用,延边大学学报(自然科学版) References 1999,25(3):183-186. I Dong YY, Li BH, Lu FS. Physical Chemistry. Beijing: Scientific 8姜琳.用力敏传感器测量乙醇水溶液的表面张力系数与浓度的 Pre,2005:209-210 关系.物理实验,2004,24(8):28-30 2 Han DG, Gao ZD and Gao PL. Physical Chemistry. Beijing: H 9王旭阳,向明礼,张锋,林宏津,國奇志.溶液表面张力检测处 理软件的设计.计算机与应用化学,2005,22(11):1047- 3 Fu XC, Shen WX, Yao TY. Physical Chemistry. Beijing: High Edu 10郝红伟,施光凯, Origin6.0实例教程.北京:中国电力出版社, 4 Xu JH and Liu Y. Physical Chemistry. Beijing: Medicine Press of Beijing University, 2005: 284-290 11林金清,肖春妹,谭平华,金春英.应用 Ongin软件估算非线性 5 Zhou XW, Li J. Zhao Hou YY. Joumal of Nanyang Institute 方程的模型参数.计算机与应用化学,2006,23(3):271-274. of Science and Technology, 2003, 12(3): 51-54 12黄允中,张元勤,刘凡.计算机输助物理化学实验.北京:化学 6 Liu Z. Jourmal of Tianjin Inatitute of Urban Construction, 2001, 7 工业出版社,2003:232-241 (2):103-104 201994-2007ChinaAcademicjOurnalElectronicPublishinghOuse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
计其机 与 几用化 毋 , 一 一 , 、 ‘ 石不 — , 、一 。 , 。 , 几 月 ‘ 二 竺里虹二丝 溶液表面 吸附 的定义 是 一 种表 面超量 表面 过 剩 , 即单位面积的表层 中 , 与相 同质 的本体溶液中所含溶 质的 差 。 因此 , 从表面超童的角度理解 , 当浓度较低时 , 由于溶质 具有表面活性 优先排布在溶液表面层 , 随浓度 增加而增加 。 但 当浓度增 到一 定值之后 , 溶质 的浓 度再 增 加 , 溶质在表面层 的浓度与本体溶液的浓度之 差必然越来越 小 , 直到浓度无 限大时 , 差值为霉 。 因此 吸附量 达 到极 大 值后 , 会逐渐减少 , 直到 。 二 口 。 显 然 , 用 多项式 或对数 式拟合方程来描述表面张力 。 和浓度 。 之间的关系时 , 无法 体现上述主要特征 , 而用指数拟合方程却能充分体现 。 结论 以乙醉为代表的第二类物质溶液 , 其表面张力 。 与浓度 。 之间的理想数学模型 为 。 二 。 一 。 。 其中 。 和 为经脸常数 , 同系物中如 值相 同 , 值大小和碳链 的长 度有关 。 是与温度及溶剂有关的一 个经 验 常数 。 、 和 三 者的数值由科学计算绘 图软件 , 在拟合实验数据后 自动生成于 。一 曲线 图 中的参数框 内。 吸 附 最 大值 所对 应 的 溶 液 浓 度 喃应 为 , 而 吸 附 大 值 几 二 全竺镖月之 。 当 。 二 , 一 二 , 即有 。 二 , 。 二 ‘ 。 ’ 一 , 一 「 、 一 , 朗 , , 、 衍 以 阮。互切 记 曲 , 一 助 , 即 日 匀 此 油 悦“ 加 一 , 外 一 一 , 的 一 助 戚 日 ‘ ” , 一 , 朋 即 玩。 即 即 盯 , 加 , 一 川 一 助 叨 , , 一 叫 , , 名 目 汕 , , 一 外 一 邵 , 的 , 一 ‘ , 名 ‘ , 。‘ 几 的 , 。 , 。 助 “ 一 一 叨 的 。 即 叮 , , 一 仍 二 。‘ 吨 城 · 花 , 以洲 , , , , 目 目 。 。。 叫 。 , 。 的介, 悦 , 以巧 , 一 助 比 , 卜 严 口 “ 议 二 日 叮 , 加 一 中文 考文橄 蓝元彦 , 李宝华 , 路福缪 物理化学 北京 科学出版社 , 一 韩德刚 , 高执棣 高盘 良 物理化学 北京 高等橄育出版社 , 加 一 傅献彩 , 沈文 , , 姚 天 扬 物理化学 北 京 高等傲育出版社 , 卜 , 一 许金规 , 刘艳 物理 化学 北 京 北 京 大学 医 学 出版社 一 例 周晓蔚 , 李津 , 赵龙涛 , 侯跃宇 利用 软件处理 液体表面 张力数据 平顶 山工 学 院学报 , , , 一 刘志军 液体表面张力 侧定 实验数据处 理 的改进 天津城市建 设学院学报 , , 一 周子彦 , 谢玉 忠 , 王 轶 , 刘波 , 股晓萍 计算机在最大气泡法侧 定溶液的表 面 张 力 中的应 用 延 边 大 学学 报 自然科 学版 , , 一 姜琳 用力徽传感器侧盘乙醉水溶液 的表面 张力系傲与浓度的 关系 物理实脸 , , 一 , 王 旭 阳 , 向明礼 , 张锋 , 林宏津 , 肠奇志 溶液表面张力位侧处 理软件的 设 计 计 算 机 与 应 用 化 学 , , , 那红 伟 , 施光凯 实例教程 北京 中国 电力 出版社 , 峨洲 , 林金清 , 肖春妹 , 谭平华 金春英 应用 颐 软件估算非线性 方程 的模型参数 计算机 与应用化学 , 仪陌 , 一 黄允中 张元勤 , 刘凡 计算机辅助物理化学实脸 北 京 化学 工业 出版社 , 一