高等数学教案 第十章重积分 第三节三重积分 教学内容：三重积分基本概念 三重积分在直角坐标系、柱面坐标系以及球面坐标系下的三重积分的计算方法 教学目标：了解三重积分基本概念及基本计算方法： 了解直角坐标系、柱面坐标系以及球面坐标系下的三重积分的计算方法 教学重点： 教学难点：直角坐标系化三重积分为累次积分的基本方法 柱面坐标系化三重积分为累次积分的基本方法 球面坐标系下化三重积分为累次积分的基本方法 柱面坐标变换、球面坐标变换的合理应用 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、三重积分的概念 定义设f(xyz)是空间有界闭区域2上的有界函数.将2任意分成n个小闭区域△n, △吃，···，△其中△表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个△上任取一点(5，， ),作乘积f(5,n5)△(il,2,,)并作和∑f传，，5)△y.如果当各小闭区域 i=1 的直径中的最大值元趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(x⅓2)在闭区 域Q上的三重积分，记作小/(x,y2w.即 2 (.y.xdv-lim.5)Av. Ω 2→021 三重积分中的有关术语： —积分号，f(x,人)—被积函数，f(x,上2)d一 一被积表达式，dr体积元素，x乃2—积分变量，2—积分区域 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分2，则△v=Ax△yA,因此也把体 积元素记为d加=dxdydz,三重积分记作 [Jf(x.y.Xdv-I[[f(x.y.-)drdyd=. 2 当函数f(x乃动在闭区域Q上连续时，极限im2fG,,S)△y是存在的，因此fx 20i=1 乃，Z)在2上的三重积分是存在的，以后也总假定f(x八，Z)在闭区域上是连续的