88 高等数学重点难点100讲 (t) xA(D)xa(t) A(E) 故所求上端B在给定时刻沿墙下降的速度为 VB= yB(t) 6×2 o(m/min √100-62 其中负号仅表示B端下降方向与所选y轴的正向相反.故上端在给定时刻沿墙下降的速度 是 3 m /min 例3甲船以每小时24km的速度向北行驶,同时正东10km处有乙船以每小时20km 的速度向东行驶,问从这一时刻起经过1小时后,两船间的距离 按怎样的速度变化? 解设甲船最初在原点O处,乙船在C处,OC=10km,在甲 t小时后,甲在A点,乙在B点设AB=S,OA=x,CB=y,则 S=√x2+(y+10)2.S=S(),x=x(t),y=y(t)都是t的 函数 上式两边关于t求导数,得 ds i di +(y+10) dy d x2+(y+10)2 上式表达了三个变化dxdz间的关系,已知=2,=20:=1时,x d d 24y2,代人上式得出-186=305km),这说明t=1时两船间的距离以每小时 30.5km的速度在增加 例4一长方形两边之长分别以x与y表示,若x边以0.01m/s的速度减少,y边以 0.02m/s的速度增加,求在x=20m,y=15m时长方形面积的变化速度及对角线的变化速 度 解依题意,长方形的面积为S=xy,对角线L=√x2+y.且x=-0.01m/s 0.02m/s.于是 0.01×15+20×0.02=0.25m2/s 即长方形的面积以0.25m2/s的速度增加 L xx+yy_-20×0.01+15×0.020.1 √x2+y2 √202+152 25=0.004m/s, 即长方形的对角线以0.004m/s的速度增加