第27讲相关变化率 第27讲相关变化率 如果有一个固定的条件联系着几个变量这些变量又都随着时间的改变而改变,那么它 们的变化率之间必然也有一定的关系,有这种连带关系的变化率叫做相关变化率,其中 个变化率往往能用其他的变化率算出来 例1溶液自深为18m、上端圆的直径为12cm的正圆锥形 漏斗中,漏入一直径为10cm的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满 了溶液,已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其液面下落的速率 为1cm/min,问此时圆柱形筒中的液面上升的速率是多少? 解设圆柱形筒中液面的高度为H,同一时刻漏斗中液面 18 的高度为h,半径为r,它们都是时间t的函数,H=H(t),h h(),y=r(),本题所求的是圆柱形筒中液面上升的速率 当圆柱形筒中液面高度为H时,圆柱形筒中溶液的体积为V 25πH(cm)3,由于圆柱形筒中的溶液的体积应等于漏斗中所漏 出溶液的体积,即等于此时圆锥形漏斗中所空出的部分的体积, 10 即 V=1x.62·18-1xh 618 但 h 图" 代入上式得 V=216x-h3 25xH=216丌 >h3,H=216 h3, 2525×27 dH dh 两边关于t求导,得 d 25×27 把已知量h=12d dt 1代入到动的表达式中,得 dh 25×2 -1)=12×12 25×925 oe( cm/min i 例2梯长10m,上端靠墙,下端置地.当梯子下端位于离墙6m处以速度2mmin离 开墙时,问上端沿墙下降的速度是多少? 解这也是一个相关变化率问题,如图27-2,A、B两点的位 B(0,y 置分别用坐标(xA,0)、(0,ya)表示·则可以看出,当梯子下滑 时,xA,yB均是时间t的函数:xA=xn1(t),ys=ys(t)·又因为A B两点间的距离在任何时刻始终不变,即等于梯长,故有 x3()+y()=102,即y=√100-xa(t) m上式两端对t求导,即可得梯子下滑时两端A、B的速度之间的关 系.解此题的关键也在于此 图27-2