第1期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·119 任意的4，≤0同理可知任意的d≤0此时，多4结束语 个模糊关系和集合都满足第2章已证明的使双论 域上的多粒度粗糙集A的上下近似具有包含关系 本文证明了双论域下多粒度模糊粗糙集上下 的充分条件，因而上述标准化方法可以使不具有 近似具有包含关系的一个充分条件为d,+d,≤1， 包含关系的双论域上的多粒度粗糙集A的上下近 i=1,2,…,n;j=1,2,…,l;σ=1,2，…，l;t=1,2,…mo 并对该模型下，上下近似不具备包含关系的粗糙 似转化为具有包含关系的上下近似。 集给出了一种名为标准化的方法，使之在标准化 例2续例1： 之后，集合的上下近似之间具有包含关系。 11=0.2+0.1+0.6=0.9 为了表述和计算的方便，在进行标准化的时 片=出=2x09号 0.21 候限定所有4，≤2d,≤0接下来，我们可以进一 对R1、R2、R进行标准化，结果如下： 步引入阈值a,a∈(0,1)，使得所有d,≤a,d≤1-a。 1 这样标准化的方法可以进一步在α水平下进行。 9 22 13 3 > 参考文献： Ri= 18 26 3-22 2 [1]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965, 3 8(3:338-353. 3 [2]PAWLAK Z.Rough sets[J].International journal of com- 9 6 puter and information sciences,1982,11(5):341-356. R= 2-9 3 [3]QIAN Yuhua,LIANG Jiye,DANG Chuangyin.Incom- 5 plete multigranulation rough set[J].IEEE transactions on 1-5 systems,man,and cybernetics-part a:systems and humans, 8 2010,40(2):420-431. 1-6 3 3 22 [4]QIAN Yuhua,LI Shunyong,LIANG Jiye,et al.Pessimist- R= 5 ic rough set based decisions:a multigranulation fusion 2 24 32 strate-gy[J].Information sciences,2014,264:196-210. 1 2 [5]QIAN Yuhua,ZHANG Hu,SANG Yanli,et al.Multi- P granu-lation decision-theoretic rough sets[J].International A进行标准化后为A,则 journal of approximate reasoning,2014,55(1):225-237. 2 3 9 [6]QIAN Yuhua,LIANG Jiye,YAO Yiyu,et al.MGRS:a A*= 9+9+8 multigranulation rough set[J].Information sciences,2010, 180(6:949-970. 则由双论域上多粒度粗糙集（乐观、悲观）上下近 [7]XU Weihua,LI Wentao,ZHANG Xiantao.Generalized 似的定义，可以求得 multigranulation rough sets and optimal granularity selec- 1719 2 tion[J].Granular computing,2017,2(4):271-288. 22+26+3 [8]TAN Anhui,WU Weizhi,TAO Yuzhi.On the belief struc- 3 tures and reductions of multigranulation spaces with deci- 3 sions[J].International journal of approximate reasoning, 9 2 R34=16+38+五 2017,88:39-52. X1 X2 X3 [9]QIAN Yuhua,LIANG Xinyan,LIN Guoping,et al.Local 5 19 4 multigranulation decision-theoretic rough sets[J].Interna- R9.4*)=6+ 5 24+ tional journal of approximate reasoning,2017,82: 119-137. [10]邱雅竹，付蓉.两个论域上的粗糙集模型及其应用) 32 y Rg4)=22+互+ 四川师范大学学报（自然科学版），2005,28(1)：15-18. QIU Yazhu,FU Rong.Rough set model over two uni- x1X23 verses and application[J].Journal of Sichuan normal uni- 由计算结果可知：双论域上的多粒度粗糙集 versity (natural science),2005,28(1):15-18. A同与之对应的二元关系进行标准化后，所得到 [11]SUN Bingzhen,MA Weimin.Fuzzy rough set model on 的上下近似已具有包含关系。 two different universes and its application[J].Applieda t i j ⩽ 1 2 dσ ⩽ 1 2 任意的 。同理可知任意的 。此时，多 个模糊关系和集合都满足第 2 章已证明的使双论 域上的多粒度粗糙集 A 的上下近似具有包含关系 的充分条件，因而上述标准化方法可以使不具有 包含关系的双论域上的多粒度粗糙集 A 的上下近 似转化为具有包含关系的上下近似。 例 2 续例 1： l11 = 0.2+0.1+0.6 = 0.9 I 1+ 11 = I 1 11 l11 = 0.2 2×0.9 = 1 9 对 R1、R2、R3进行标准化，结果如下： R + 1 =   1 9 5 22 1 13 1 18 3 22 7 26 1 3 3 22 2 13   R + 2 =   1 9 1 6 3 16 2 9 2 15 3 16 1 6 1 5 1 8   R + 3 =   1 6 3 32 3 22 5 24 5 32 2 11 1 8 1 4 2 11   A A 进行标准化后为 +，则 A + = 2 19 x1 + 3 19 x2 + 9 38 x3 则由双论域上多粒度粗糙集 (乐观、悲观) 上下近 似的定义，可以求得 ℜP ∑m t=1 R + t (A + )= 17 22 x1 + 19 26 x2 + 2 3 x3 ℜP ∑m t=1 R + t (A + )= 3 16 x1 + 9 38 x2 + 2 11 x3 ℜO ∑m t=1 R + t (A + )= 5 6 x1 + 19 24 x2 + 4 5 x3 ℜO ∑m t=1 R + t (A + )= 3 22 x1 + 2 11 x2 + 2 13 x3 A 由计算结果可知：双论域上的多粒度粗糙集 同与之对应的二元关系进行标准化后，所得到 的上下近似已具有包含关系。 4 结束语 a t i j +dσ ⩽ 1 i = 1,2,··· ,n j = 1,2,··· ,l σ = 1,2,···,l t = 1,2,···,m 本文证明了双论域下多粒度模糊粗糙集上下 近似具有包含关系的一个充分条件为 ， ； ； ； 。 并对该模型下，上下近似不具备包含关系的粗糙 集给出了一种名为标准化的方法，使之在标准化 之后，集合的上下近似之间具有包含关系。 a t i j ⩽ 1 2 dσ ⩽ 1 2 α α ∈ (0,1) a t i j ⩽ α dσ ⩽ 1−α α 为了表述和计算的方便，在进行标准化的时 候限定所有 ， 。接下来，我们可以进一 步引入阈值 ， ，使得所有 ， 。 这样标准化的方法可以进一步在 水平下进行。 参考文献： ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and control, 1965, 8(3): 338–353. [1] PAWLAK Z. Rough sets[J]. International journal of com￾puter and information sciences, 1982, 11(5): 341–356. [2] QIAN Yuhua, LIANG Jiye, DANG Chuangyin. Incom￾plete multigranulation rough set[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics-part a: systems and humans, 2010, 40(2): 420–431. [3] QIAN Yuhua, LI Shunyong, LIANG Jiye, et al. Pessimist￾ic rough set based decisions: a multigranulation fusion strate-gy[J]. Information sciences, 2014, 264: 196–210. [4] QIAN Yuhua, ZHANG Hu, SANG Yanli, et al. Multi￾granu-lation decision-theoretic rough sets[J]. International journal of approximate reasoning, 2014, 55(1): 225–237. [5] QIAN Yuhua, LIANG Jiye, YAO Yiyu, et al. MGRS: a multigranulation rough set[J]. Information sciences, 2010, 180(6): 949–970. [6] XU Weihua, LI Wentao, ZHANG Xiantao. Generalized multigranulation rough sets and optimal granularity selec￾tion[J]. Granular computing, 2017, 2(4): 271–288. [7] TAN Anhui, WU Weizhi, TAO Yuzhi. On the belief struc￾tures and reductions of multigranulation spaces with deci￾sions[J]. International journal of approximate reasoning, 2017, 88: 39–52. [8] QIAN Yuhua, LIANG Xinyan, LIN Guoping, et al. Local multigranulation decision-theoretic rough sets[J]. Interna￾tional journal of approximate reasoning, 2017, 82: 119–137. [9] 邱雅竹, 付蓉. 两个论域上的粗糙集模型及其应用 [J]. 四川师范大学学报 (自然科学版), 2005, 28(1): 15–18. QIU Yazhu, FU Rong. Rough set model over two uni￾verses and application[J]. Journal of Sichuan normal uni￾versity (natural science), 2005, 28(1): 15–18. [10] SUN Bingzhen, MA Weimin. Fuzzy rough set model on two different universes and its application[J]. Applied [11] 第 1 期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·119·