·118· 智能系统学报 第14卷 [(1-a)vdj]-[aijAd ] d di2… 1-4+d,1-4-d_+4_国 a d2… R,= 2 2 2 2 1-4,+dl-4-d_a+d）l-d ae 2 2 其中1=1,2，…，m。 根据定义4，对A中的对象x有 1-24i+i--d+4-d 2 (A)(x)=([(1-a)vdi][(1-ai2)vd]... 1-24+1-4-d+4-d_1-24+1-2 e [(1-ai)vd)...([(1-a)vdi] 2 2 2 2 [1-a)vd]…A[(1-a)vd) 1-(d+d) [(1-a)vdj]-[aidj]= -av (aAdl…V[(aAdi)n 1-4+d+1-4,-d_[+d_l-d (a nd2)...v(adi] 2 2 2 2 类比命题1的证明过程并改变索引集的取值 1-4+4+l-4-d_4+d,l-d」 范围后，可得结论：当a+d≤l,,+d≤1，…，+ 2 2 2 1-④+2+1-4-d明+ld≥ d≤1,0=12山，j=1,2,1时，有84)> 2 2 。 1-(+2l--d+a听-4。 同理，对A中的对象x,i=1,2,3…,n,也有类 2 -d-4+1-g-d≥0 似的结论，即当a吲+d≤l,a+d,≤l,,写+d。≤l, 十 2 2 12,…j=1,2人0=1,2，…时，有A2 [(1-a)vdj]-[aiAdi]= (A)(x)o >R 1-d+d+1-4-d_[g+4_la&-d则 对于乐观的情况，根据命题1同理可证其上 2 2 2 2 1-4+dl-4-d_a4+d+la-4- 下近在满足上述条件时仍具有包含关系。由此可 以得到结论：当+d。≤I时，双论域上的多粒度 1--+d-41-Fd明+le-d4≥ 粗糙集A的上下近似具有包含关系。其中： 1-4,-k+d-d1--d+l-dle i=1,2,…,n;j=1,2,…,1;σ=1,2，…，1t=1,2,…,mo 在本章研究基础上，对于双论域上的多粒度 1-听-ck-d41-+la-d4 粗糙集上下近似不具备包含关系的，将给出标准 1-d,-dk-d4l-+t-4 化的方法，使之转化为具有包含关系。 2 2 1-d,-4l-明d=1-d,+d 3标准化方法 2 2 由第2章的证明可知，要使双论域上的多粒 由上面3个证明过程可以推出，在悲观的情 度粗糙集A的上下近似具有包含关系，需满足条件： 况下，当d+d。≤1时，其中t=1,2,3;σ=1,2,3；i= +dw≤1；i=1,2,…,n;j=1,2,…,l;0=1,2,…,1; 1,2,3;j=1,2,3,双论域上的多粒度粗糙集上下近似 具有包含关系。 1=1,2m,则只需所有6≤兮及d,≤分 同理可证：乐观的情况下，上下近似算子中的 定义5在多粒度空间(U,VR)中，R是一簇 从U到V的二元关系，R∈R,其中，t=1,2,…,m。 基本元素并没有发生改变，所以仍满足下近似中 用lm=∑R,(x,)y.∈V来表示关系R下U中全部对 的任意元素都大于上近似中的任意元素，故最终 象与yn∈V的关系的总和。定义Im=R(xm,yn),xm∈U, 求得的包含度仍具有相同的大小关系。 yn∈V,表示U中对象xm和V中对象ya在关系R下对 一般情况，当论域基数变大且给定粒度的个 应的值。称陆为um相对其他U中的对象对v的相 数推广至m时，上述结论仍成立，其结果如下。 命题2当d,+d≤1时，双论域上的多粒度 对表现度，：完。斯心=心为R进行标准 粗糙集A的上、下近似具有包含关系，其中：=1,2， 化后的矩阵。称上面的方法为标准化方法。类似 3,,n;j=1,2,3,…,l0=1,2,3.…1t=1,2,3,…,mo 的，可以对集合A进行标准化。 证明设 由上述定义可知L≤。故任意的s即[(1−a t i j)∨dj]−[a t i j ∧dj] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − [ a t i j +dj 2 − |a t i j −dj | 2 ] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − (a t i j +dj) 2 + |a t i j −dj | 2 = 1−2a t i j 2 + |1−a t i j −dj |+|a t i j −dj | 2 ⩾ 1−2a t i j 2 + |1−a t i j −dj +a t i j −dj | 2 = 1−2a t i j 2 + |1−2dj | 2 ⩾ 1−(a t i j +dj) [(1−a t i j)∨dj]−[a t ′ i j ∧dj] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 −   a t ′ i j +dj 2 − |a t ′ i j −dj | 2   = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − (a t ′ i j +dj) 2 + |a t ′ i j −dj | 2 = 1−(a t i j +a t ′ i j) 2 + |1−a t i j −dj |+|a t ′ i j −dj | 2 ⩾ 1−(a t i j +a t ′ i j) 2 + |1−a t i j −dj |+a t ′ i j −dj 2 = 1−a t i j −dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 ⩾ 0 [(1−a t i j)∨dj]−[a t hk ∧dk] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − [ a t hk +dk 2 − |a t hk −dk | 2 ] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − (a t hk +dk) 2 + |a t hk −dk | 2 = 1−a t i j −a t hk +dj −dk 2 + |1−a t i j −dj |+|a t hk −dk | 2 ⩾ 1−a t i j −a t hk +dj −dk 2 + |1−a t i j| −dj +|a t hk −dk | 2 = 1−a t i j −a t hk −dk 2 + |1−a t i j|+|a t hk −dk | 2 ⩾ 1−a t i j −a t hk −dk 2 + |1−a t i j|+a t hk −dk 2 = 1−a t i j −dk 2 + |1−a t i j| −dk 2 = 1−(a t i j +dk) a t i j +dσ ⩽ 1 t = 1,2,3 σ = 1,2,3 1,2,3 j=1,2,3 由上面 3 个证明过程可以推出，在悲观的情 况下，当 时，其中 ； ； i= ； ，双论域上的多粒度粗糙集上下近似 具有包含关系。 同理可证：乐观的情况下，上下近似算子中的 基本元素并没有发生改变，所以仍满足下近似中 的任意元素都大于上近似中的任意元素，故最终 求得的包含度仍具有相同的大小关系。 m 一般情况，当论域基数变大且给定粒度的个 数推广至 时，上述结论仍成立，其结果如下。 a t i j +dσ ⩽ 1 A 3,···,n j = 1,2,3,···,l σ = 1,2,3,···,l t = 1,2,3,···,m 命题 2 当 时，双论域上的多粒度 粗糙集 的上、下近似具有包含关系，其中：i=1, 2, ； ； ； 。 证明 设 Rt =   a t 11 a t 12 ··· a t 1l a t 21 a t 22 ··· a t 2l . . . . . . . . . a t n1 a t n2 a t nl   其中 t = 1,2,··· ,m。根据定义 4，对 A 中的对象x1有 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−a 1 11)∨d1]∧[(1−a 1 12)∨d2]···∧ [(1−a 1 1l )∨dl])··· ∧([(1−a m 11)∨d1]∧ [(1−a m 12)∨d2]··· ∧[(1−a m 1l )∨dl]) ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(a 1 11 ∧d1)∨(a 1 12 ∧d2)···∨ (a 1 1l ∧dl)]··· ∨[(a m 11 ∧d1)∨ (a m 12 ∧d2)··· ∨(a m 1l ∧dl)] a 1 1 j +dσ ⩽ 1 a 2 1 j +dσ ⩽ 1, ··· ,a m 1 j+ dσ ⩽ 1 σ=1,2,··· ,l j = 1,2,··· ,l ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) ⩾ ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) 类比命题 1 的证明过程并改变索引集的取值 范围后，可得结论：当 ， ， ， 时，有 。 xi i = 1,2,3,··· ,n a 1 i j +dσ ⩽ 1 a 2 i j +dσ ⩽1, ··· a m i j+dσ ⩽1 i=1,2,···,n j=1,2,···,l σ=1,2,···,l ℜP ∑m t=1 Rt (A)(xi)⩾ ℜP ∑m t=1 Rt (A)(xi) 同理，对 A 中的对象 ， ，也有类 似的结论，即当 ， ， ， ， ， 时，有 。 a t i j +dσ ⩽ 1 A i = 1,2,··· ,n j=1,2,··· ,l σ=1,2,··· ,l t=1,2,··· ,m 对于乐观的情况，根据命题 1 同理可证其上 下近在满足上述条件时仍具有包含关系。由此可 以得到结论：当 时，双论域上的多粒度 粗糙集 的上下近似具有包含关系。其中： ； ； ； 。 在本章研究基础上，对于双论域上的多粒度 粗糙集上下近似不具备包含关系的，将给出标准 化的方法，使之转化为具有包含关系。 3 标准化方法 A a t i j +dσ ⩽ 1 i = 1,2,··· ,n j = 1,2,··· ,l σ = 1,2,··· ,l t = 1,2,··· ,m a t i j ⩽ 1 2 dσ ⩽ 1 2 由第 2 章的证明可知，要使双论域上的多粒 度粗糙集 的上下近似具有包含关系，需满足条件： ； ； ； ； ，则只需所有 及 。 (U,V,ℜ) ℜ U V Rt ∈ ℜ t = 1,2,··· ,m ltn = ∑ x∈U Rt(x, yn),yn ∈ V Rt U yn ∈ V I t mn=Rt(xm, yn), xm ∈ U, yn ∈ V U xm V yn Rt I t+ mn um U vn I t+ mn= I t mn 2ltn R + t = (I t+ mn)|U|×|V| Rt A 定义 5 在多粒度空间 中， 是一簇 从 到 的二元关系， ，其中， 。 用 来表示关系 下 中全部对 象与 的关系的总和。定义 ，表示 中对象 和 中对象 在关系 下对 应的值。称 为 相对其他 中的对象对 的相 对表现度， 。称 为 进行标准 化后的矩阵。称上面的方法为标准化方法。类似 的，可以对集合 进行标准化。 I t mn ⩽ ltn I t+ mn ⩽ 1 2 由上述定义可知 。故任意的 ，即 ·118· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷