第1期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·117· 同理，可以计算A的悲观上下近似分别为 多粒度粗糙集上下近似具有包含关系。 R94=05+0.70.6 十 证明不妨设： Γx1 、0.6,0.5,0.4 a 3 R1= a a R(A)表示悲观情况下病人患上述几种病 2 的乐观估计，火：(4)表示悲观情况下病人患几种 R2= 病的保守估计。 a 另外，可以经过计算得到： R3= A)x)=[0.20.4V(0.5A0.6V (0.2A0.9)][(0.2Λ0.4)V (0.5A0.6)V(0.3A0.9)]n 式中：0≤，≤1；A-4++:0≤d,≤1：1=12 [0.4A0.4)V(0.3A0.6)V yi y2 y3 (0.3Λ0.9)]=0.4 3;i=1,2,3:j=1,2,3;o=1,2,3。 4w=l-02v0m-006 首先证明悲观近似算子的情况。 [(1-0.2)V0.9DV([(1-0.2)V0.41N [(1-0.5)V0.6][(1-0.3)V0.91)v (A)=((1-an)vdl[(1-ai2)vd ([(1-0.4)V0.4n[(1-0.3)V0.6]A [(1-ais)vd3])([(1-aj)vdi] [(1-0.3)V0.9)=0.6 [(1-ai2)vd2][(1-a)v d3DA ([(1-ai)vdi][(1-ai)v d] 同样，可以计算A的乐观上下近似分别为 [1-ai3)vd]) R94-04+04+04 X1 X2 X3 (A)(x1)=[(ajAdi)v(ajzdz)v(aisAds)v 2894=0.6+070.6 [(ajdi)v(diz dz)v(dis Ads)v X1 X2 X3 [(ad)v(ai2Ad2)v (aisds] 其中，R?(A)表示乐观情况下病人患上述几种病 并且对于任意两个数p、9,有 的乐观信计，A表示乐观情况下病人患几种 pvg=P+9+p-到 2 病的保守估计。 PAg=P+g_lp-ql 由计算结果可知，双论域上集合A的乐观与 22 悲观上下近似并不存在包含关系，例如A(x)> 那么，(1-a)vd= 1-di,+d lai-dil di 2 2 ④但是A)<4。但是在 di=aitd lai -dil 2 2 已经具有某种症状的情况下，在直觉上认为医生 对病人疾病诊断的保守估计应该不小于乐观估计 由定义4可以看到，双论域上的多粒度近似 的患病的概率，即上下近似之间应具有包含关 算子同R,中的元素与模糊隶属度d有关。要使双 系。所以计算结果同直观理解是不匹配的。 论域上的多粒度近似算子具有包含关系，在悲观 2双论域多粒度模糊粗糙集上下近 近似算子的情况下，只需悲观上近似中的元素全 似包含关系的充分条件 都不大于或者不小于下近似中的元素。而关系矩 由上一章可以看到，将单论域上集合的上下 阵R,中的元素是任意给出的，所以只需论证R,中 近似定义推广到双论域时，其上下近似不一定具 某一元素的性质，其他元素同理可证。以下具体 有包含关系。下面给出双论域上给定集合A的多 论证元素4，的性质。于是问题转化为讨论悲观下 粒度近似算子具有包含关系的充分条件。 命题1当U1==3,+d≤1时，其中 近似中同，有关的部分全都不大于或者不小于上 t=1,2,3;σ=1,2,3；1,2,3；j=1,2,3,则双论域上的 近似中的元素。具体论证下面的情况：同理，可以计算 A 的悲观上下近似分别为 ℜP ∑m t=1 Rt (A)= 0.5 x1 + 0.7 x2 + 0.6 x3 ℜP ∑m t=1 Rt (A)= 0.6 x1 + 0.5 x2 + 0.4 x3 ℜP ∑m t=1 Rt (A) ℜP ∑m t=1 Rt (A) 表示悲观情况下病人患上述几种病 的乐观估计， 表示悲观情况下病人患几种 病的保守估计。 另外，可以经过计算得到： ℜO ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(0.2∧0.4)∨(0.5∧0.6)∨ (0.2∧0.9)]∧[(0.2∧0.4)∨ (0.5∧0.6)∨(0.3∧0.9)]∧ [(0.4∧0.4)∨(0.3∧0.6)∨ (0.3∧0.9)] = 0.4 ℜO ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−0.2)∨0.4]∧[(1−0.5)∨0.6]∧ [(1−0.2)∨0.9])∨([(1−0.2)∨0.4]∧ [(1−0.5)∨0.6]∧[(1−0.3)∨0.9])∨ ([(1−0.4)∨0.4]∧[(1−0.3)∨0.6]∧ [(1−0.3)∨0.9]) = 0.6 同样，可以计算 A 的乐观上下近似分别为 ℜO ∑m t=1 Rt (A)= 0.4 x1 + 0.4 x2 + 0.4 x3 ℜO ∑m t=1 Rt (A)= 0.6 x1 + 0.7 x2 + 0.6 x3 ℜO ∑m t=1 Rt (A) ℜO ∑m t=1 Rt (A) 其中， 表示乐观情况下病人患上述几种病 的乐观估计， 表示乐观情况下病人患几种 病的保守估计。 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) > ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x2) <ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x2) 由计算结果可知，双论域上集合 A 的乐观与 悲观上下近似并不存在包含关系，例如 ，但是 。但是在 已经具有某种症状的情况下，在直觉上认为医生 对病人疾病诊断的保守估计应该不小于乐观估计 的患病的概率，即上下近似之间应具有包含关 系。所以计算结果同直观理解是不匹配的。 2 双论域多粒度模糊粗糙集上下近 似包含关系的充分条件 A 由上一章可以看到，将单论域上集合的上下 近似定义推广到双论域时，其上下近似不一定具 有包含关系。下面给出双论域上给定集合 的多 粒度近似算子具有包含关系的充分条件。 |U| = |V| = 3 a t i j +dσ ⩽ 1 t = 1,2,3 σ=1,2,3 i=1,2,3 j=1,2,3 命 题 1 当 ， 时，其中 ； ； ； ，则双论域上的 多粒度粗糙集上下近似具有包含关系。 证明 不妨设： R1 =   a 1 11 a 1 12 a 1 13 a 1 21 a 1 22 a 1 23 a 1 31 a 1 32 a 1 33   R2 =   a 2 11 a 2 12 a 2 13 a 2 21 a 2 22 a 2 23 a 2 31 a 2 32 a 2 33   R3 =   a 3 11 a 3 12 a 3 13 a 3 21 a 3 22 a 3 23 a 3 31 a 3 32 a 3 33   0 ⩽ a t i j ⩽ 1 A = d1 y1 + d2 y2 + d3 y3 0 ⩽ dσ ⩽ 1 t = 1,2, 3;i = 1,2,3; j = 1,2,3;σ = 1,2,3 式中： ； ； ； 。 首先证明悲观近似算子的情况。 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−a 1 11)∨d1]∧[(1−a 1 12)∨d2]∧ [(1−a 1 13)∨d3])∧([(1−a 2 11)∨d1]∧ [(1−a 2 12)∨d2]∧[(1−a 2 13)∨d3])∧ ([(1−a 3 11)∨d1]∧[(1−a 3 12)∨d2]∧ [(1−a 3 13)∨d3]) ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(a 1 11 ∧d1)∨(a 1 12 ∧d2)∨(a 1 13 ∧d3)]∨ [(a 2 11 ∧d1)∨(a 2 12 ∧d2)∨(a 2 13 ∧d3)]∨ [(a 3 11 ∧d1)∨(a 3 12 ∧d2)∨(a 3 13 ∧d3)] 并且对于任意两个数 p、q ，有 p∨q = p+q 2 + |p−q| 2 p∧q = p+q 2 − |p−q| 2 ( 1−a 1 11 ) ∨d1 = 1−a 1 11 +d1 2 + |1−a 1 11 −d1 | 2 a 1 11∧ d1 = a 1 11 +d1 2 − |a 1 11 −d1 | 2 那么， ， 。 Rt dσ Rt Rt a t i j a t i j 由定义 4 可以看到，双论域上的多粒度近似 算子同 中的元素与模糊隶属度 有关。要使双 论域上的多粒度近似算子具有包含关系，在悲观 近似算子的情况下，只需悲观上近似中的元素全 都不大于或者不小于下近似中的元素。而关系矩 阵 中的元素是任意给出的，所以只需论证 中 某一元素的性质，其他元素同理可证。以下具体 论证元素 的性质。于是问题转化为讨论悲观下 近似中同 有关的部分全都不大于或者不小于上 近似中的元素。具体论证下面的情况： 第 1 期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·117·