·116· 智能系统学报 第14卷 型，使得粗糙集理论在解决实际问题方面的应用 R,为论域U到论域V的二元关系，R,∈F(U×),其 更加广泛9。在多粒度粗糙集模型中，乐观多粒 中t=1,2,…,m。R是从U到V的二元关系簇，火= 度和悲观多粒度是两个不同的基本研究方法。 {R1,R2,…,R}。有序三元组(U,VR)称为双论域上 此外，研究对象很可能来自于不同论域，因 的多粒度近似空间。 而，两个或者多个论域对真实世界的描述更具有 定义4设有序三元组(U,VR)为双论域上 一般性，对进一步研究信息表的规则提取具有积 的多粒度模糊近似空间。对任意A∈F(V),A在 极的作用。因此双论域粗糙集模型0具有很强 (U,VR)中的乐观下近似R,(A)和乐观上近似 的研究价值以及实用价值。 在粗糙集理论31中，上下近似算子是一对 R(A)分别定义为： 基本的概念，从经典的理论意义和直观理解上， 它们之间存在着包含关系。但是，当把它们推广 Re(A)x)=Vg1Nev[I-R,(x,y》VAyl,x∈U,y∈V 到双论域上多粒度粗糙集模型61时，集合的上 下近似并不一定存在着包含关系。本文将就这 Rg(A(x)=gVE[R,(x,)AA)1,Yx∈U,y∈V 三R 问题展开讨论。 A在(U,V,R)中的悲观下近似R2(A)和悲观上 1多粒度模糊粗糙集 近似R(A)分别定义为： R. 实际生活中的数据集大部分都是连续的，然 而粗糙集研究的一般是离散型数据，利用模糊粗 eAo==Ae[【I-R,(x,叨VAO).V∈U,y 糙集理论就可以解决这一矛盾。对对象集的划分 一直是粗糙集研究的重要基础，多粒度粗糙集就 EeA=VV,e[B(,》AA小，VreU,yeV 是在满足多个关系的情况下对对象集的划分，将 当论域U和V为有限域时，运算v表示取大，A表示 这些理论推广到双论域上，使得理论更具有推广 取小。 性。多粒度模糊粗糙集是将模糊粗糙集与多粒度 例1在医疗诊断中，设U={病毒性发热，痢 粗糙集两种理论相结合研究。 疾，伤寒}={x,2,为疾病集，={发烧，头痛，胃 定义1山论域U上的模糊集合x是由U上的 痛}={y,2为症状集，R,t=1,2,3)∈F(U×)是 一个隶属函数X:U→[0,1]来表示的，其中X(x)表 3个专家分别给出的U到V的关系，A为病人对自 示元素x隶属于模糊集合X的程度。 己症状的描述，设 定义2设S=(U,AT)是一个信息系统，其 0.20.50.2 中U为论域，AT是非空属性集合。A1,A2,A3,…,Am 农 0.10.30.7 表示AT的属性子集，对于每个A,都可根据问题的 0.6 0.30.4 需要定义模糊关系R,与之对应。对U上任意的模 [0.2 0.50.31 R2= 0.4 0.40.3 糊集X,X的乐观多粒度下上近似分别为∑X)、 0.3 0.60.2 W定义如下， t=l 0.4 0.30.3 R3= 0.50.50.4 R))=VZAmol(-R(.2VX(.Vx.:eU 0.30.80.4 病人对病情的描述A= 04+06+09 则对于疾病 x,应用定义4可以求得医生通过病人描述判断 病人患疾病x估计为 X的悲观多粒度下上近似分别为2R(X R(4)x)=[0.2A0.4)V(0.5A0.6)V (0.20.9)]V[(0.2Λ0.4)V 2RX),定义如下： (0.5A0.6)V(0.3Λ0.9)v 交rWa=A8iI-0 [(0.4A0.4)V(0.3A0.6)V (0.3∧0.9)]=0.5 1-0.2)V0.4]A[1 [(1-0.2)v0.9)Λ((1-0.2)V0.4]N [(1-0.5)V0.6]A[(1-0.3)V0.9])A ((1-0.4)V0.4]Λ[(1-0.3)V0.6]A 定义320)设U、V是两个非空有限集合 [1-0.3)v0.9J)=0.6型，使得粗糙集理论在解决实际问题方面的应用 更加广泛[7-9]。在多粒度粗糙集模型中，乐观多粒 度和悲观多粒度是两个不同的基本研究方法。 此外，研究对象很可能来自于不同论域，因 而，两个或者多个论域对真实世界的描述更具有 一般性，对进一步研究信息表的规则提取具有积 极的作用。因此双论域粗糙集模型[10-12] 具有很强 的研究价值以及实用价值。 在粗糙集理论[13-15] 中，上下近似算子是一对 基本的概念，从经典的理论意义和直观理解上， 它们之间存在着包含关系。但是，当把它们推广 到双论域上多粒度粗糙集模型[16-18] 时，集合的上 下近似并不一定存在着包含关系。本文将就这一 问题展开讨论。 1 多粒度模糊粗糙集 实际生活中的数据集大部分都是连续的，然 而粗糙集研究的一般是离散型数据，利用模糊粗 糙集理论就可以解决这一矛盾。对对象集的划分 一直是粗糙集研究的重要基础，多粒度粗糙集就 是在满足多个关系的情况下对对象集的划分，将 这些理论推广到双论域上，使得理论更具有推广 性。多粒度模糊粗糙集是将模糊粗糙集与多粒度 粗糙集两种理论相结合研究。 U X U X : U → [0,1] X(x) x X 定义 1 [1] 论域 上的模糊集合 是由 上的 一个隶属函数 来表示的，其中 表 示元素 隶属于模糊集合 的程度。 S = (U,AT) U AT A1,A2,A3,··· ,Am AT Ai Ri U X X ∑m t=1 R O t (X) ∑m t=1 R O t (X) 定义 2 [19] 设 是一个信息系统，其 中 为论域， 是非空属性集合。 表示 的属性子集，对于每个 都可根据问题的 需要定义模糊关系 与之对应。对 上任意的模 糊集 ， 的乐观多粒度下上近似分别为 、 ，定义如下： ∑m t=1 R O t (X)(x) = ∨ m t=1∧z∈U [(1−Rt(x,z))∨ X(z)],∀x,z ∈ U ∑m t=1 R O t (X) = ∼ ∑m t=1 R O t (∼X) X ∑m t=1 R P t (X) ∑m t=1 R P t (X) 的悲观多粒度下上近似分别为 、 ，定义如下： ∑m t=1 R P t (X)(x) = ∧ m t=1∧z∈U [(1−Rt(x,z))∨ X(z)],∀x,z ∈ U ∑m t=1 R P t (X) =∼ ∑m t=1 R P t (∼ X) 定义 3 [ 2 0 ] 设 U、V 是两个非空有限集合， Rt U V Rt ∈ F(U ×V) t = 1,2,··· ,m ℜ U V ℜ = {R1,R2,··· ,Rm} (U,V,ℜ) 为论域 到论域 的二元关系， ，其 中 。 是从 到 的二元关系簇， 。有序三元组 称为双论域上 的多粒度近似空间。 (U,V,ℜ) A ∈ F(V) A (U,V,ℜ) ℜO ∑m t=1 Rt (A) ℜO ∑m t=1 Rt (A) 定义 4 [21] 设有序三元组 为双论域上 的多粒度模糊近似空间。对任意 ， 在 中的乐观下近似 和乐观上近似 分别定义为： ℜO ∑m t=1 Ri (A)(x) = ∨ m t=1∧y∈V [(1−Rt(x, y))∨ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V ℜO ∑m t=1 Rt (A)(x) = ∧ m t=1∨y∈V [Rt(x, y)∧ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V A (U,V,ℜ) ℜP ∑m t=1 Rt (A) ℜP ∑m t=1 Rt (A) 在 中的悲观下近似 和悲观上 近似 分别定义为： ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x) = ∧ m t=1∧y∈V [(1−Rt(x, y))∨ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x) = ∨ m t=1∨y∈V [Rt(x, y)∧ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V 当论域 U 和 V 为有限域时，运算 ∨ 表示取大， ∧ 表示 取小。 {x1, x2, x3} {y1, y2, y3} Rt(t = 1,2,3) ∈ F(U ×V) U V A 例 1 在医疗诊断中，设 U={病毒性发热，痢 疾，伤寒}= 为疾病集，V={发烧，头痛，胃 痛 } = 为症状集， 是 3 个专家分别给出的 到 的关系， 为病人对自 己症状的描述，设 R1 =   0.2 0.5 0.2 0.1 0.3 0.7 0.6 0.3 0.4   R2 =   0.2 0.5 0.3 0.4 0.4 0.3 0.3 0.6 0.2   R3 =   0.4 0.3 0.3 0.5 0.5 0.4 0.3 0.8 0.4   A = 0.4 y1 + 0.6 y2 + 0.9 y3 x1 x1 病人对病情的描述 ，则对于疾病 ，应用定义 4 可以求得医生通过病人描述判断 病人患疾病 估计为 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(0.2∧0.4)∨(0.5∧0.6)∨ (0.2∧0.9)]∨[(0.2∧0.4)∨ (0.5∧0.6)∨(0.3∧0.9)]∨ [(0.4∧0.4)∨(0.3∧0.6)∨ (0.3∧0.9)] = 0.5 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−0.2)∨0.4]∧[(1−0.5)∨0.6]∧ [(1−0.2)∨0.9])∧([(1−0.2)∨0.4]∧ [(1−0.5)∨0.6]∧[(1−0.3)∨0.9])∧ ([(1−0.4)∨0.4]∧[(1−0.3)∨0.6]∧ [(1−0.3)∨0.9]) = 0.6 ·116· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷