第14卷第1期 智能系统学报 Vol.14 No.1 2019年1月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan.2019 D0:10.11992/tis.201804046 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180612.1424.002.html 双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 胡志勇，米据生'，冯涛2，姚爱梦 (1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024,2.河北科技大学理学院，河北石家庄050024) 摘要：针对双论域上集合的多粒度乐观与悲观上下近似不具有包含关系的问题，本文给出了双论域上集合的 多粒度上下近似具有包含关系的一个充分条件，进而采用标准化的方法将不具有包含关系的上下近似转化为 具有包含关系的上下近似。通过实例验证，该方法能有效解决双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似具有包含 关系的问题。 关键词：模糊集；粗糙集；双论域；多粒度；上近似；下近似：标准化：包含关系；充分条件 中图分类号：O236:TP18 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)01-0115-06 中文引用格式：胡志勇，米据生，冯涛，等.双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系川.智能系统学报，2019,14(1)： 115-120. 英文引用格式：HU Zhiyong,MI Jusheng,FENGTao,,etal.Inclusion relation of upper and lower approximations of multigranular- ity fuzzy rough set in two universes J CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(1):115-120. Inclusion relation of upper and lower approximations of multigranularity fuzzy rough set in two universes HU Zhiyong',MI Jusheng',FENG Tao,YAO Aimeng' (1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang 050024,China;2.School of Sciences, Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang 050024,China) Abstract:To solve the problem that the upper and lower approximations of multigranularity rough set in two universe may no longer have an inclusion relation,this paper will present a sufficient condition for the inclusion relation of the upper and lower approximations in two universes.Furthermore,we use the standardized method to transform upper and lower approximations with no inclusion relation into upper and lower approximations with an inclusion relation.It is verified by an example that this method can effectively solve the problem that the upper and lower approximations of the multigranularity fuzzy rough set in two universes have inclusion relation. Keywords:fuzzy set;rough set;dual domain;multi-granularity;upper approximation,lower approximation;standard- ized method;inclusion relation;sufficient condition 模糊集概念四是由Zadeh教授在1965年提出 学家Pawlak提出的粗糙集理论一直被认为是处 的。它解决了对不确定性概念的描述性问题，使 理信息系统和知识发现方面问题的重要工具。 得模糊数学在理论和应用方面的研究迅速发展起 在信息系统或者决策表的研究方面，集合近似的 来，并取得了丰富的研究成果。1982年由波兰数 定义方式作为一个重要的问题，一直受到研究者 的广泛关注。在单个粒度的粗糙集模型下，一个 收稿日期：2018-04-25.网络出版日期：2018-06-13. 基金项目：国家自然科学基金项目(61573127,61502144)：河北 关系产生的一组上下近似常用来刻画一个目标概 省博士后择优资助科研项目(B2016003013):河北省 高等学校自然科学基金项目(QN2016133, 念的特征。然而在实际生活或者应用中，由于用 QN2017095):河北师范大学博土基金项目 L2017B19):河北师范大学顾士研究生创新项目 户需求的不同以及解决问题最终目标的不同，用 (CXZZSS2018062):河北省自然科学基金项目 多个关系来刻画一个目标概念往往更加贴合实 (A2018210120). 通信作者：胡志勇.E-mail:panghuyouxiang@l63.com 际。基于此，钱宇华等提出了多粒度粗糙集模
DOI: 10.11992/tis.201804046 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180612.1424.002.html 双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 胡志勇1，米据生1，冯涛2，姚爱梦1 （1. 河北师范大学 数学与信息科学学院, 河北 石家庄 050024; 2. 河北科技大学 理学院, 河北 石家庄 050024） 摘 要：针对双论域上集合的多粒度乐观与悲观上下近似不具有包含关系的问题，本文给出了双论域上集合的 多粒度上下近似具有包含关系的一个充分条件，进而采用标准化的方法将不具有包含关系的上下近似转化为 具有包含关系的上下近似。通过实例验证，该方法能有效解决双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似具有包含 关系的问题。 关键词：模糊集；粗糙集；双论域；多粒度；上近似；下近似；标准化；包含关系；充分条件 中图分类号：O236；TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)01−0115−06 中文引用格式：胡志勇, 米据生, 冯涛, 等. 双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 [J]. 智能系统学报, 2019, 14(1): 115–120. 英文引用格式：HU Zhiyong, MI Jusheng, FENG Tao, et al. Inclusion relation of upper and lower approximations of multigranularity fuzzy rough set in two universes[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(1): 115–120. Inclusion relation of upper and lower approximations of multigranularity fuzzy rough set in two universes HU Zhiyong1 ，MI Jusheng1 ，FENG Tao2 ，YAO Aimeng1 (1. College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024, China; 2. School of Sciences, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang 050024, China) Abstract: To solve the problem that the upper and lower approximations of multigranularity rough set in two universe may no longer have an inclusion relation, this paper will present a sufficient condition for the inclusion relation of the upper and lower approximations in two universes. Furthermore, we use the standardized method to transform upper and lower approximations with no inclusion relation into upper and lower approximations with an inclusion relation. It is verified by an example that this method can effectively solve the problem that the upper and lower approximations of the multigranularity fuzzy rough set in two universes have inclusion relation. Keywords: fuzzy set; rough set; dual domain; multi-granularity; upper approximation; lower approximation; standardized method; inclusion relation; sufficient condition 模糊集概念[1] 是由 Zadeh 教授在 1965 年提出 的。它解决了对不确定性概念的描述性问题，使 得模糊数学在理论和应用方面的研究迅速发展起 来，并取得了丰富的研究成果。1982 年由波兰数 学家 Pawlak 提出的粗糙集理论一直被认为是处 理信息系统和知识发现方面问题的重要工具[2]。 在信息系统或者决策表的研究方面，集合近似的 定义方式作为一个重要的问题，一直受到研究者 的广泛关注。在单个粒度的粗糙集模型下，一个 关系产生的一组上下近似常用来刻画一个目标概 念的特征。然而在实际生活或者应用中，由于用 户需求的不同以及解决问题最终目标的不同，用 多个关系来刻画一个目标概念往往更加贴合实 际。基于此，钱宇华等[3-6] 提出了多粒度粗糙集模 收稿日期：2018−04−25. 网络出版日期：2018−06−13. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61573127，61502144)；河北 省博士后择优资助科研项目 (B2016003013)；河北省 高等学校自然科学基金项 目 (QN2016133 ， QN2017095) ；河北师范大学博士基金项 目 (L2017B19)；河北师范大学硕士研究生创新项目 (CXZZSS2018062)；河北省自然科学基金项 目 (A2018210120). 通信作者：胡志勇. E-mail：panghuyouxiang@163.com. 第 14 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.1 2019 年 1 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan. 2019
·116· 智能系统学报 第14卷 型，使得粗糙集理论在解决实际问题方面的应用 R,为论域U到论域V的二元关系，R,∈F(U×),其 更加广泛9。在多粒度粗糙集模型中，乐观多粒 中t=1,2,…,m。R是从U到V的二元关系簇，火= 度和悲观多粒度是两个不同的基本研究方法。 {R1,R2,…,R}。有序三元组(U,VR)称为双论域上 此外，研究对象很可能来自于不同论域，因 的多粒度近似空间。 而，两个或者多个论域对真实世界的描述更具有 定义4设有序三元组(U,VR)为双论域上 一般性，对进一步研究信息表的规则提取具有积 的多粒度模糊近似空间。对任意A∈F(V),A在 极的作用。因此双论域粗糙集模型0具有很强 (U,VR)中的乐观下近似R,(A)和乐观上近似 的研究价值以及实用价值。 在粗糙集理论31中，上下近似算子是一对 R(A)分别定义为： 基本的概念，从经典的理论意义和直观理解上， 它们之间存在着包含关系。但是，当把它们推广 Re(A)x)=Vg1Nev[I-R,(x,y》VAyl,x∈U,y∈V 到双论域上多粒度粗糙集模型61时，集合的上 下近似并不一定存在着包含关系。本文将就这 Rg(A(x)=gVE[R,(x,)AA)1,Yx∈U,y∈V 三R 问题展开讨论。 A在(U,V,R)中的悲观下近似R2(A)和悲观上 1多粒度模糊粗糙集 近似R(A)分别定义为： R. 实际生活中的数据集大部分都是连续的，然 而粗糙集研究的一般是离散型数据，利用模糊粗 eAo==Ae[【I-R,(x,叨VAO).V∈U,y 糙集理论就可以解决这一矛盾。对对象集的划分 一直是粗糙集研究的重要基础，多粒度粗糙集就 EeA=VV,e[B(,》AA小，VreU,yeV 是在满足多个关系的情况下对对象集的划分，将 当论域U和V为有限域时，运算v表示取大，A表示 这些理论推广到双论域上，使得理论更具有推广 取小。 性。多粒度模糊粗糙集是将模糊粗糙集与多粒度 例1在医疗诊断中，设U={病毒性发热，痢 粗糙集两种理论相结合研究。 疾，伤寒}={x,2,为疾病集，={发烧，头痛，胃 定义1山论域U上的模糊集合x是由U上的 痛}={y,2为症状集，R,t=1,2,3)∈F(U×)是 一个隶属函数X:U→[0,1]来表示的，其中X(x)表 3个专家分别给出的U到V的关系，A为病人对自 示元素x隶属于模糊集合X的程度。 己症状的描述，设 定义2设S=(U,AT)是一个信息系统，其 0.20.50.2 中U为论域，AT是非空属性集合。A1,A2,A3,…,Am 农 0.10.30.7 表示AT的属性子集，对于每个A,都可根据问题的 0.6 0.30.4 需要定义模糊关系R,与之对应。对U上任意的模 [0.2 0.50.31 R2= 0.4 0.40.3 糊集X,X的乐观多粒度下上近似分别为∑X)、 0.3 0.60.2 W定义如下， t=l 0.4 0.30.3 R3= 0.50.50.4 R))=VZAmol(-R(.2VX(.Vx.:eU 0.30.80.4 病人对病情的描述A= 04+06+09 则对于疾病 x,应用定义4可以求得医生通过病人描述判断 病人患疾病x估计为 X的悲观多粒度下上近似分别为2R(X R(4)x)=[0.2A0.4)V(0.5A0.6)V (0.20.9)]V[(0.2Λ0.4)V 2RX),定义如下： (0.5A0.6)V(0.3Λ0.9)v 交rWa=A8iI-0 [(0.4A0.4)V(0.3A0.6)V (0.3∧0.9)]=0.5 1-0.2)V0.4]A[1 [(1-0.2)v0.9)Λ((1-0.2)V0.4]N [(1-0.5)V0.6]A[(1-0.3)V0.9])A ((1-0.4)V0.4]Λ[(1-0.3)V0.6]A 定义320)设U、V是两个非空有限集合 [1-0.3)v0.9J)=0.6
型，使得粗糙集理论在解决实际问题方面的应用 更加广泛[7-9]。在多粒度粗糙集模型中，乐观多粒 度和悲观多粒度是两个不同的基本研究方法。 此外，研究对象很可能来自于不同论域，因 而，两个或者多个论域对真实世界的描述更具有 一般性，对进一步研究信息表的规则提取具有积 极的作用。因此双论域粗糙集模型[10-12] 具有很强 的研究价值以及实用价值。 在粗糙集理论[13-15] 中，上下近似算子是一对 基本的概念，从经典的理论意义和直观理解上， 它们之间存在着包含关系。但是，当把它们推广 到双论域上多粒度粗糙集模型[16-18] 时，集合的上 下近似并不一定存在着包含关系。本文将就这一 问题展开讨论。 1 多粒度模糊粗糙集 实际生活中的数据集大部分都是连续的，然 而粗糙集研究的一般是离散型数据，利用模糊粗 糙集理论就可以解决这一矛盾。对对象集的划分 一直是粗糙集研究的重要基础，多粒度粗糙集就 是在满足多个关系的情况下对对象集的划分，将 这些理论推广到双论域上，使得理论更具有推广 性。多粒度模糊粗糙集是将模糊粗糙集与多粒度 粗糙集两种理论相结合研究。 U X U X : U → [0,1] X(x) x X 定义 1 [1] 论域 上的模糊集合 是由 上的 一个隶属函数 来表示的，其中 表 示元素 隶属于模糊集合 的程度。 S = (U,AT) U AT A1,A2,A3,··· ,Am AT Ai Ri U X X ∑m t=1 R O t (X) ∑m t=1 R O t (X) 定义 2 [19] 设 是一个信息系统，其 中 为论域， 是非空属性集合。 表示 的属性子集，对于每个 都可根据问题的 需要定义模糊关系 与之对应。对 上任意的模 糊集 ， 的乐观多粒度下上近似分别为 、 ，定义如下： ∑m t=1 R O t (X)(x) = ∨ m t=1∧z∈U [(1−Rt(x,z))∨ X(z)],∀x,z ∈ U ∑m t=1 R O t (X) = ∼ ∑m t=1 R O t (∼X) X ∑m t=1 R P t (X) ∑m t=1 R P t (X) 的悲观多粒度下上近似分别为 、 ，定义如下： ∑m t=1 R P t (X)(x) = ∧ m t=1∧z∈U [(1−Rt(x,z))∨ X(z)],∀x,z ∈ U ∑m t=1 R P t (X) =∼ ∑m t=1 R P t (∼ X) 定义 3 [ 2 0 ] 设 U、V 是两个非空有限集合， Rt U V Rt ∈ F(U ×V) t = 1,2,··· ,m ℜ U V ℜ = {R1,R2,··· ,Rm} (U,V,ℜ) 为论域 到论域 的二元关系， ，其 中 。 是从 到 的二元关系簇， 。有序三元组 称为双论域上 的多粒度近似空间。 (U,V,ℜ) A ∈ F(V) A (U,V,ℜ) ℜO ∑m t=1 Rt (A) ℜO ∑m t=1 Rt (A) 定义 4 [21] 设有序三元组 为双论域上 的多粒度模糊近似空间。对任意 ， 在 中的乐观下近似 和乐观上近似 分别定义为： ℜO ∑m t=1 Ri (A)(x) = ∨ m t=1∧y∈V [(1−Rt(x, y))∨ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V ℜO ∑m t=1 Rt (A)(x) = ∧ m t=1∨y∈V [Rt(x, y)∧ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V A (U,V,ℜ) ℜP ∑m t=1 Rt (A) ℜP ∑m t=1 Rt (A) 在 中的悲观下近似 和悲观上 近似 分别定义为： ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x) = ∧ m t=1∧y∈V [(1−Rt(x, y))∨ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x) = ∨ m t=1∨y∈V [Rt(x, y)∧ A(y)],∀x ∈ U, y ∈ V 当论域 U 和 V 为有限域时，运算 ∨ 表示取大， ∧ 表示 取小。 {x1, x2, x3} {y1, y2, y3} Rt(t = 1,2,3) ∈ F(U ×V) U V A 例 1 在医疗诊断中，设 U={病毒性发热，痢 疾，伤寒}= 为疾病集，V={发烧，头痛，胃 痛 } = 为症状集， 是 3 个专家分别给出的 到 的关系， 为病人对自 己症状的描述，设 R1 = 0.2 0.5 0.2 0.1 0.3 0.7 0.6 0.3 0.4 R2 = 0.2 0.5 0.3 0.4 0.4 0.3 0.3 0.6 0.2 R3 = 0.4 0.3 0.3 0.5 0.5 0.4 0.3 0.8 0.4 A = 0.4 y1 + 0.6 y2 + 0.9 y3 x1 x1 病人对病情的描述 ，则对于疾病 ，应用定义 4 可以求得医生通过病人描述判断 病人患疾病 估计为 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(0.2∧0.4)∨(0.5∧0.6)∨ (0.2∧0.9)]∨[(0.2∧0.4)∨ (0.5∧0.6)∨(0.3∧0.9)]∨ [(0.4∧0.4)∨(0.3∧0.6)∨ (0.3∧0.9)] = 0.5 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−0.2)∨0.4]∧[(1−0.5)∨0.6]∧ [(1−0.2)∨0.9])∧([(1−0.2)∨0.4]∧ [(1−0.5)∨0.6]∧[(1−0.3)∨0.9])∧ ([(1−0.4)∨0.4]∧[(1−0.3)∨0.6]∧ [(1−0.3)∨0.9]) = 0.6 ·116· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第1期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·117· 同理，可以计算A的悲观上下近似分别为 多粒度粗糙集上下近似具有包含关系。 R94=05+0.70.6 十 证明不妨设： Γx1 、0.6,0.5,0.4 a 3 R1= a a R(A)表示悲观情况下病人患上述几种病 2 的乐观估计，火：(4)表示悲观情况下病人患几种 R2= 病的保守估计。 a 另外，可以经过计算得到： R3= A)x)=[0.20.4V(0.5A0.6V (0.2A0.9)][(0.2Λ0.4)V (0.5A0.6)V(0.3A0.9)]n 式中：0≤，≤1；A-4++:0≤d,≤1：1=12 [0.4A0.4)V(0.3A0.6)V yi y2 y3 (0.3Λ0.9)]=0.4 3;i=1,2,3:j=1,2,3;o=1,2,3。 4w=l-02v0m-006 首先证明悲观近似算子的情况。 [(1-0.2)V0.9DV([(1-0.2)V0.41N [(1-0.5)V0.6][(1-0.3)V0.91)v (A)=((1-an)vdl[(1-ai2)vd ([(1-0.4)V0.4n[(1-0.3)V0.6]A [(1-ais)vd3])([(1-aj)vdi] [(1-0.3)V0.9)=0.6 [(1-ai2)vd2][(1-a)v d3DA ([(1-ai)vdi][(1-ai)v d] 同样，可以计算A的乐观上下近似分别为 [1-ai3)vd]) R94-04+04+04 X1 X2 X3 (A)(x1)=[(ajAdi)v(ajzdz)v(aisAds)v 2894=0.6+070.6 [(ajdi)v(diz dz)v(dis Ads)v X1 X2 X3 [(ad)v(ai2Ad2)v (aisds] 其中，R?(A)表示乐观情况下病人患上述几种病 并且对于任意两个数p、9,有 的乐观信计，A表示乐观情况下病人患几种 pvg=P+9+p-到 2 病的保守估计。 PAg=P+g_lp-ql 由计算结果可知，双论域上集合A的乐观与 22 悲观上下近似并不存在包含关系，例如A(x)> 那么，(1-a)vd= 1-di,+d lai-dil di 2 2 ④但是A)<4。但是在 di=aitd lai -dil 2 2 已经具有某种症状的情况下，在直觉上认为医生 对病人疾病诊断的保守估计应该不小于乐观估计 由定义4可以看到，双论域上的多粒度近似 的患病的概率，即上下近似之间应具有包含关 算子同R,中的元素与模糊隶属度d有关。要使双 系。所以计算结果同直观理解是不匹配的。 论域上的多粒度近似算子具有包含关系，在悲观 2双论域多粒度模糊粗糙集上下近 近似算子的情况下，只需悲观上近似中的元素全 似包含关系的充分条件 都不大于或者不小于下近似中的元素。而关系矩 由上一章可以看到，将单论域上集合的上下 阵R,中的元素是任意给出的，所以只需论证R,中 近似定义推广到双论域时，其上下近似不一定具 某一元素的性质，其他元素同理可证。以下具体 有包含关系。下面给出双论域上给定集合A的多 论证元素4，的性质。于是问题转化为讨论悲观下 粒度近似算子具有包含关系的充分条件。 命题1当U1==3,+d≤1时，其中 近似中同，有关的部分全都不大于或者不小于上 t=1,2,3;σ=1,2,3；1,2,3；j=1,2,3,则双论域上的 近似中的元素。具体论证下面的情况：
同理，可以计算 A 的悲观上下近似分别为 ℜP ∑m t=1 Rt (A)= 0.5 x1 + 0.7 x2 + 0.6 x3 ℜP ∑m t=1 Rt (A)= 0.6 x1 + 0.5 x2 + 0.4 x3 ℜP ∑m t=1 Rt (A) ℜP ∑m t=1 Rt (A) 表示悲观情况下病人患上述几种病 的乐观估计， 表示悲观情况下病人患几种 病的保守估计。 另外，可以经过计算得到： ℜO ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(0.2∧0.4)∨(0.5∧0.6)∨ (0.2∧0.9)]∧[(0.2∧0.4)∨ (0.5∧0.6)∨(0.3∧0.9)]∧ [(0.4∧0.4)∨(0.3∧0.6)∨ (0.3∧0.9)] = 0.4 ℜO ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−0.2)∨0.4]∧[(1−0.5)∨0.6]∧ [(1−0.2)∨0.9])∨([(1−0.2)∨0.4]∧ [(1−0.5)∨0.6]∧[(1−0.3)∨0.9])∨ ([(1−0.4)∨0.4]∧[(1−0.3)∨0.6]∧ [(1−0.3)∨0.9]) = 0.6 同样，可以计算 A 的乐观上下近似分别为 ℜO ∑m t=1 Rt (A)= 0.4 x1 + 0.4 x2 + 0.4 x3 ℜO ∑m t=1 Rt (A)= 0.6 x1 + 0.7 x2 + 0.6 x3 ℜO ∑m t=1 Rt (A) ℜO ∑m t=1 Rt (A) 其中， 表示乐观情况下病人患上述几种病 的乐观估计， 表示乐观情况下病人患几种 病的保守估计。 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) > ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x2) <ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x2) 由计算结果可知，双论域上集合 A 的乐观与 悲观上下近似并不存在包含关系，例如 ，但是 。但是在 已经具有某种症状的情况下，在直觉上认为医生 对病人疾病诊断的保守估计应该不小于乐观估计 的患病的概率，即上下近似之间应具有包含关 系。所以计算结果同直观理解是不匹配的。 2 双论域多粒度模糊粗糙集上下近 似包含关系的充分条件 A 由上一章可以看到，将单论域上集合的上下 近似定义推广到双论域时，其上下近似不一定具 有包含关系。下面给出双论域上给定集合 的多 粒度近似算子具有包含关系的充分条件。 |U| = |V| = 3 a t i j +dσ ⩽ 1 t = 1,2,3 σ=1,2,3 i=1,2,3 j=1,2,3 命 题 1 当 ， 时，其中 ； ； ； ，则双论域上的 多粒度粗糙集上下近似具有包含关系。 证明 不妨设： R1 = a 1 11 a 1 12 a 1 13 a 1 21 a 1 22 a 1 23 a 1 31 a 1 32 a 1 33 R2 = a 2 11 a 2 12 a 2 13 a 2 21 a 2 22 a 2 23 a 2 31 a 2 32 a 2 33 R3 = a 3 11 a 3 12 a 3 13 a 3 21 a 3 22 a 3 23 a 3 31 a 3 32 a 3 33 0 ⩽ a t i j ⩽ 1 A = d1 y1 + d2 y2 + d3 y3 0 ⩽ dσ ⩽ 1 t = 1,2, 3;i = 1,2,3; j = 1,2,3;σ = 1,2,3 式中： ； ； ； 。 首先证明悲观近似算子的情况。 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−a 1 11)∨d1]∧[(1−a 1 12)∨d2]∧ [(1−a 1 13)∨d3])∧([(1−a 2 11)∨d1]∧ [(1−a 2 12)∨d2]∧[(1−a 2 13)∨d3])∧ ([(1−a 3 11)∨d1]∧[(1−a 3 12)∨d2]∧ [(1−a 3 13)∨d3]) ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(a 1 11 ∧d1)∨(a 1 12 ∧d2)∨(a 1 13 ∧d3)]∨ [(a 2 11 ∧d1)∨(a 2 12 ∧d2)∨(a 2 13 ∧d3)]∨ [(a 3 11 ∧d1)∨(a 3 12 ∧d2)∨(a 3 13 ∧d3)] 并且对于任意两个数 p、q ，有 p∨q = p+q 2 + |p−q| 2 p∧q = p+q 2 − |p−q| 2 ( 1−a 1 11 ) ∨d1 = 1−a 1 11 +d1 2 + |1−a 1 11 −d1 | 2 a 1 11∧ d1 = a 1 11 +d1 2 − |a 1 11 −d1 | 2 那么， ， 。 Rt dσ Rt Rt a t i j a t i j 由定义 4 可以看到，双论域上的多粒度近似 算子同 中的元素与模糊隶属度 有关。要使双 论域上的多粒度近似算子具有包含关系，在悲观 近似算子的情况下，只需悲观上近似中的元素全 都不大于或者不小于下近似中的元素。而关系矩 阵 中的元素是任意给出的，所以只需论证 中 某一元素的性质，其他元素同理可证。以下具体 论证元素 的性质。于是问题转化为讨论悲观下 近似中同 有关的部分全都不大于或者不小于上 近似中的元素。具体论证下面的情况： 第 1 期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·117·
·118· 智能系统学报 第14卷 [(1-a)vdj]-[aijAd ] d di2… 1-4+d,1-4-d_+4_国 a d2… R,= 2 2 2 2 1-4,+dl-4-d_a+d）l-d ae 2 2 其中1=1,2，…，m。 根据定义4，对A中的对象x有 1-24i+i--d+4-d 2 (A)(x)=([(1-a)vdi][(1-ai2)vd]... 1-24+1-4-d+4-d_1-24+1-2 e [(1-ai)vd)...([(1-a)vdi] 2 2 2 2 [1-a)vd]…A[(1-a)vd) 1-(d+d) [(1-a)vdj]-[aidj]= -av (aAdl…V[(aAdi)n 1-4+d+1-4,-d_[+d_l-d (a nd2)...v(adi] 2 2 2 2 类比命题1的证明过程并改变索引集的取值 1-4+4+l-4-d_4+d,l-d」 范围后，可得结论：当a+d≤l,,+d≤1，…，+ 2 2 2 1-④+2+1-4-d明+ld≥ d≤1,0=12山，j=1,2,1时，有84)> 2 2 。 1-(+2l--d+a听-4。 同理，对A中的对象x,i=1,2,3…,n,也有类 2 -d-4+1-g-d≥0 似的结论，即当a吲+d≤l,a+d,≤l,,写+d。≤l, 十 2 2 12,…j=1,2人0=1,2，…时，有A2 [(1-a)vdj]-[aiAdi]= (A)(x)o >R 1-d+d+1-4-d_[g+4_la&-d则 对于乐观的情况，根据命题1同理可证其上 2 2 2 2 1-4+dl-4-d_a4+d+la-4- 下近在满足上述条件时仍具有包含关系。由此可 以得到结论：当+d。≤I时，双论域上的多粒度 1--+d-41-Fd明+le-d4≥ 粗糙集A的上下近似具有包含关系。其中： 1-4,-k+d-d1--d+l-dle i=1,2,…,n;j=1,2,…,1;σ=1,2，…，1t=1,2,…,mo 在本章研究基础上，对于双论域上的多粒度 1-听-ck-d41-+la-d4 粗糙集上下近似不具备包含关系的，将给出标准 1-d,-dk-d4l-+t-4 化的方法，使之转化为具有包含关系。 2 2 1-d,-4l-明d=1-d,+d 3标准化方法 2 2 由第2章的证明可知，要使双论域上的多粒 由上面3个证明过程可以推出，在悲观的情 度粗糙集A的上下近似具有包含关系，需满足条件： 况下，当d+d。≤1时，其中t=1,2,3;σ=1,2,3；i= +dw≤1；i=1,2,…,n;j=1,2,…,l;0=1,2,…,1; 1,2,3;j=1,2,3,双论域上的多粒度粗糙集上下近似 具有包含关系。 1=1,2m,则只需所有6≤兮及d,≤分 同理可证：乐观的情况下，上下近似算子中的 定义5在多粒度空间(U,VR)中，R是一簇 从U到V的二元关系，R∈R,其中，t=1,2,…,m。 基本元素并没有发生改变，所以仍满足下近似中 用lm=∑R,(x,)y.∈V来表示关系R下U中全部对 的任意元素都大于上近似中的任意元素，故最终 象与yn∈V的关系的总和。定义Im=R(xm,yn),xm∈U, 求得的包含度仍具有相同的大小关系。 yn∈V,表示U中对象xm和V中对象ya在关系R下对 一般情况，当论域基数变大且给定粒度的个 应的值。称陆为um相对其他U中的对象对v的相 数推广至m时，上述结论仍成立，其结果如下。 命题2当d,+d≤1时，双论域上的多粒度 对表现度，：完。斯心=心为R进行标准 粗糙集A的上、下近似具有包含关系，其中：=1,2， 化后的矩阵。称上面的方法为标准化方法。类似 3,,n;j=1,2,3,…,l0=1,2,3.…1t=1,2,3,…,mo 的，可以对集合A进行标准化。 证明设 由上述定义可知L≤。故任意的s即
[(1−a t i j)∨dj]−[a t i j ∧dj] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − [ a t i j +dj 2 − |a t i j −dj | 2 ] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − (a t i j +dj) 2 + |a t i j −dj | 2 = 1−2a t i j 2 + |1−a t i j −dj |+|a t i j −dj | 2 ⩾ 1−2a t i j 2 + |1−a t i j −dj +a t i j −dj | 2 = 1−2a t i j 2 + |1−2dj | 2 ⩾ 1−(a t i j +dj) [(1−a t i j)∨dj]−[a t ′ i j ∧dj] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − a t ′ i j +dj 2 − |a t ′ i j −dj | 2 = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − (a t ′ i j +dj) 2 + |a t ′ i j −dj | 2 = 1−(a t i j +a t ′ i j) 2 + |1−a t i j −dj |+|a t ′ i j −dj | 2 ⩾ 1−(a t i j +a t ′ i j) 2 + |1−a t i j −dj |+a t ′ i j −dj 2 = 1−a t i j −dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 ⩾ 0 [(1−a t i j)∨dj]−[a t hk ∧dk] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − [ a t hk +dk 2 − |a t hk −dk | 2 ] = 1−a t i j +dj 2 + |1−a t i j −dj | 2 − (a t hk +dk) 2 + |a t hk −dk | 2 = 1−a t i j −a t hk +dj −dk 2 + |1−a t i j −dj |+|a t hk −dk | 2 ⩾ 1−a t i j −a t hk +dj −dk 2 + |1−a t i j| −dj +|a t hk −dk | 2 = 1−a t i j −a t hk −dk 2 + |1−a t i j|+|a t hk −dk | 2 ⩾ 1−a t i j −a t hk −dk 2 + |1−a t i j|+a t hk −dk 2 = 1−a t i j −dk 2 + |1−a t i j| −dk 2 = 1−(a t i j +dk) a t i j +dσ ⩽ 1 t = 1,2,3 σ = 1,2,3 1,2,3 j=1,2,3 由上面 3 个证明过程可以推出，在悲观的情 况下，当 时，其中 ； ； i= ； ，双论域上的多粒度粗糙集上下近似 具有包含关系。 同理可证：乐观的情况下，上下近似算子中的 基本元素并没有发生改变，所以仍满足下近似中 的任意元素都大于上近似中的任意元素，故最终 求得的包含度仍具有相同的大小关系。 m 一般情况，当论域基数变大且给定粒度的个 数推广至 时，上述结论仍成立，其结果如下。 a t i j +dσ ⩽ 1 A 3,···,n j = 1,2,3,···,l σ = 1,2,3,···,l t = 1,2,3,···,m 命题 2 当 时，双论域上的多粒度 粗糙集 的上、下近似具有包含关系，其中：i=1, 2, ； ； ； 。 证明 设 Rt = a t 11 a t 12 ··· a t 1l a t 21 a t 22 ··· a t 2l . . . . . . . . . a t n1 a t n2 a t nl 其中 t = 1,2,··· ,m。根据定义 4，对 A 中的对象x1有 ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =([(1−a 1 11)∨d1]∧[(1−a 1 12)∨d2]···∧ [(1−a 1 1l )∨dl])··· ∧([(1−a m 11)∨d1]∧ [(1−a m 12)∨d2]··· ∧[(1−a m 1l )∨dl]) ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) =[(a 1 11 ∧d1)∨(a 1 12 ∧d2)···∨ (a 1 1l ∧dl)]··· ∨[(a m 11 ∧d1)∨ (a m 12 ∧d2)··· ∨(a m 1l ∧dl)] a 1 1 j +dσ ⩽ 1 a 2 1 j +dσ ⩽ 1, ··· ,a m 1 j+ dσ ⩽ 1 σ=1,2,··· ,l j = 1,2,··· ,l ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) ⩾ ℜP ∑m t=1 Rt (A)(x1) 类比命题 1 的证明过程并改变索引集的取值 范围后，可得结论：当 ， ， ， 时，有 。 xi i = 1,2,3,··· ,n a 1 i j +dσ ⩽ 1 a 2 i j +dσ ⩽1, ··· a m i j+dσ ⩽1 i=1,2,···,n j=1,2,···,l σ=1,2,···,l ℜP ∑m t=1 Rt (A)(xi)⩾ ℜP ∑m t=1 Rt (A)(xi) 同理，对 A 中的对象 ， ，也有类 似的结论，即当 ， ， ， ， ， 时，有 。 a t i j +dσ ⩽ 1 A i = 1,2,··· ,n j=1,2,··· ,l σ=1,2,··· ,l t=1,2,··· ,m 对于乐观的情况，根据命题 1 同理可证其上 下近在满足上述条件时仍具有包含关系。由此可 以得到结论：当 时，双论域上的多粒度 粗糙集 的上下近似具有包含关系。其中： ； ； ； 。 在本章研究基础上，对于双论域上的多粒度 粗糙集上下近似不具备包含关系的，将给出标准 化的方法，使之转化为具有包含关系。 3 标准化方法 A a t i j +dσ ⩽ 1 i = 1,2,··· ,n j = 1,2,··· ,l σ = 1,2,··· ,l t = 1,2,··· ,m a t i j ⩽ 1 2 dσ ⩽ 1 2 由第 2 章的证明可知，要使双论域上的多粒 度粗糙集 的上下近似具有包含关系，需满足条件： ； ； ； ； ，则只需所有 及 。 (U,V,ℜ) ℜ U V Rt ∈ ℜ t = 1,2,··· ,m ltn = ∑ x∈U Rt(x, yn),yn ∈ V Rt U yn ∈ V I t mn=Rt(xm, yn), xm ∈ U, yn ∈ V U xm V yn Rt I t+ mn um U vn I t+ mn= I t mn 2ltn R + t = (I t+ mn)|U|×|V| Rt A 定义 5 在多粒度空间 中， 是一簇 从 到 的二元关系， ，其中， 。 用 来表示关系 下 中全部对 象与 的关系的总和。定义 ，表示 中对象 和 中对象 在关系 下对 应的值。称 为 相对其他 中的对象对 的相 对表现度， 。称 为 进行标准 化后的矩阵。称上面的方法为标准化方法。类似 的，可以对集合 进行标准化。 I t mn ⩽ ltn I t+ mn ⩽ 1 2 由上述定义可知 。故任意的 ，即 ·118· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第1期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·119 任意的4，≤0同理可知任意的d≤0此时，多4结束语 个模糊关系和集合都满足第2章已证明的使双论 域上的多粒度粗糙集A的上下近似具有包含关系 本文证明了双论域下多粒度模糊粗糙集上下 的充分条件，因而上述标准化方法可以使不具有 近似具有包含关系的一个充分条件为d,+d,≤1， 包含关系的双论域上的多粒度粗糙集A的上下近 i=1,2,…,n;j=1,2,…,l;σ=1,2，…，l;t=1,2,…mo 并对该模型下，上下近似不具备包含关系的粗糙 似转化为具有包含关系的上下近似。 集给出了一种名为标准化的方法，使之在标准化 例2续例1： 之后，集合的上下近似之间具有包含关系。 11=0.2+0.1+0.6=0.9 为了表述和计算的方便，在进行标准化的时 片=出=2x09号 0.21 候限定所有4，≤2d,≤0接下来，我们可以进一 对R1、R2、R进行标准化，结果如下： 步引入阈值a,a∈(0,1)，使得所有d,≤a,d≤1-a。 1 这样标准化的方法可以进一步在α水平下进行。 9 22 13 3 > 参考文献： Ri= 18 26 3-22 2 [1]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965, 3 8(3:338-353. 3 [2]PAWLAK Z.Rough sets[J].International journal of com- 9 6 puter and information sciences,1982,11(5):341-356. R= 2-9 3 [3]QIAN Yuhua,LIANG Jiye,DANG Chuangyin.Incom- 5 plete multigranulation rough set[J].IEEE transactions on 1-5 systems,man,and cybernetics-part a:systems and humans, 8 2010,40(2):420-431. 1-6 3 3 22 [4]QIAN Yuhua,LI Shunyong,LIANG Jiye,et al.Pessimist- R= 5 ic rough set based decisions:a multigranulation fusion 2 24 32 strate-gy[J].Information sciences,2014,264:196-210. 1 2 [5]QIAN Yuhua,ZHANG Hu,SANG Yanli,et al.Multi- P granu-lation decision-theoretic rough sets[J].International A进行标准化后为A,则 journal of approximate reasoning,2014,55(1):225-237. 2 3 9 [6]QIAN Yuhua,LIANG Jiye,YAO Yiyu,et al.MGRS:a A*= 9+9+8 multigranulation rough set[J].Information sciences,2010, 180(6:949-970. 则由双论域上多粒度粗糙集（乐观、悲观）上下近 [7]XU Weihua,LI Wentao,ZHANG Xiantao.Generalized 似的定义，可以求得 multigranulation rough sets and optimal granularity selec- 1719 2 tion[J].Granular computing,2017,2(4):271-288. 22+26+3 [8]TAN Anhui,WU Weizhi,TAO Yuzhi.On the belief struc- 3 tures and reductions of multigranulation spaces with deci- 3 sions[J].International journal of approximate reasoning, 9 2 R34=16+38+五 2017,88:39-52. X1 X2 X3 [9]QIAN Yuhua,LIANG Xinyan,LIN Guoping,et al.Local 5 19 4 multigranulation decision-theoretic rough sets[J].Interna- R9.4*)=6+ 5 24+ tional journal of approximate reasoning,2017,82: 119-137. [10]邱雅竹，付蓉.两个论域上的粗糙集模型及其应用) 32 y Rg4)=22+互+ 四川师范大学学报（自然科学版），2005,28(1)：15-18. QIU Yazhu,FU Rong.Rough set model over two uni- x1X23 verses and application[J].Journal of Sichuan normal uni- 由计算结果可知：双论域上的多粒度粗糙集 versity (natural science),2005,28(1):15-18. A同与之对应的二元关系进行标准化后，所得到 [11]SUN Bingzhen,MA Weimin.Fuzzy rough set model on 的上下近似已具有包含关系。 two different universes and its application[J].Applied
a t i j ⩽ 1 2 dσ ⩽ 1 2 任意的 。同理可知任意的 。此时，多 个模糊关系和集合都满足第 2 章已证明的使双论 域上的多粒度粗糙集 A 的上下近似具有包含关系 的充分条件，因而上述标准化方法可以使不具有 包含关系的双论域上的多粒度粗糙集 A 的上下近 似转化为具有包含关系的上下近似。 例 2 续例 1： l11 = 0.2+0.1+0.6 = 0.9 I 1+ 11 = I 1 11 l11 = 0.2 2×0.9 = 1 9 对 R1、R2、R3进行标准化，结果如下： R + 1 = 1 9 5 22 1 13 1 18 3 22 7 26 1 3 3 22 2 13 R + 2 = 1 9 1 6 3 16 2 9 2 15 3 16 1 6 1 5 1 8 R + 3 = 1 6 3 32 3 22 5 24 5 32 2 11 1 8 1 4 2 11 A A 进行标准化后为 +，则 A + = 2 19 x1 + 3 19 x2 + 9 38 x3 则由双论域上多粒度粗糙集 (乐观、悲观) 上下近 似的定义，可以求得 ℜP ∑m t=1 R + t (A + )= 17 22 x1 + 19 26 x2 + 2 3 x3 ℜP ∑m t=1 R + t (A + )= 3 16 x1 + 9 38 x2 + 2 11 x3 ℜO ∑m t=1 R + t (A + )= 5 6 x1 + 19 24 x2 + 4 5 x3 ℜO ∑m t=1 R + t (A + )= 3 22 x1 + 2 11 x2 + 2 13 x3 A 由计算结果可知：双论域上的多粒度粗糙集 同与之对应的二元关系进行标准化后，所得到 的上下近似已具有包含关系。 4 结束语 a t i j +dσ ⩽ 1 i = 1,2,··· ,n j = 1,2,··· ,l σ = 1,2,···,l t = 1,2,···,m 本文证明了双论域下多粒度模糊粗糙集上下 近似具有包含关系的一个充分条件为 ， ； ； ； 。 并对该模型下，上下近似不具备包含关系的粗糙 集给出了一种名为标准化的方法，使之在标准化 之后，集合的上下近似之间具有包含关系。 a t i j ⩽ 1 2 dσ ⩽ 1 2 α α ∈ (0,1) a t i j ⩽ α dσ ⩽ 1−α α 为了表述和计算的方便，在进行标准化的时 候限定所有 ， 。接下来，我们可以进一 步引入阈值 ， ，使得所有 ， 。 这样标准化的方法可以进一步在 水平下进行。 参考文献： ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and control, 1965, 8(3): 338–353. [1] PAWLAK Z. Rough sets[J]. International journal of computer and information sciences, 1982, 11(5): 341–356. [2] QIAN Yuhua, LIANG Jiye, DANG Chuangyin. Incomplete multigranulation rough set[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics-part a: systems and humans, 2010, 40(2): 420–431. [3] QIAN Yuhua, LI Shunyong, LIANG Jiye, et al. Pessimistic rough set based decisions: a multigranulation fusion strate-gy[J]. Information sciences, 2014, 264: 196–210. [4] QIAN Yuhua, ZHANG Hu, SANG Yanli, et al. Multigranu-lation decision-theoretic rough sets[J]. International journal of approximate reasoning, 2014, 55(1): 225–237. [5] QIAN Yuhua, LIANG Jiye, YAO Yiyu, et al. MGRS: a multigranulation rough set[J]. Information sciences, 2010, 180(6): 949–970. [6] XU Weihua, LI Wentao, ZHANG Xiantao. Generalized multigranulation rough sets and optimal granularity selection[J]. Granular computing, 2017, 2(4): 271–288. [7] TAN Anhui, WU Weizhi, TAO Yuzhi. On the belief structures and reductions of multigranulation spaces with decisions[J]. International journal of approximate reasoning, 2017, 88: 39–52. [8] QIAN Yuhua, LIANG Xinyan, LIN Guoping, et al. Local multigranulation decision-theoretic rough sets[J]. International journal of approximate reasoning, 2017, 82: 119–137. [9] 邱雅竹, 付蓉. 两个论域上的粗糙集模型及其应用 [J]. 四川师范大学学报 (自然科学版), 2005, 28(1): 15–18. QIU Yazhu, FU Rong. Rough set model over two universes and application[J]. Journal of Sichuan normal university (natural science), 2005, 28(1): 15–18. [10] SUN Bingzhen, MA Weimin. Fuzzy rough set model on two different universes and its application[J]. Applied [11] 第 1 期 胡志勇，等：双论域下多粒度模糊粗糙集上下近似的包含关系 ·119·
·120· 智能系统学报 第14卷 mathematical modelling,2011,35(4):1798-1809 [0]SUN Bingzhen,MA Weimin.Multigranulation rough set [12]ZHANG Chao,LI Deyu,LIANG Jiye.Hesitant fuzzy lin- theory over two universes[J].Journal of intelligent and guistic rough set over two universes model and its ap- plications[J].International journal of machine learning fuzzy systems,.2015,28(3):1251-1269 and cybernetics,2018,9(4):577-588. [21]SUN Bingzhen,MA Weimin,QIAN Yuhua.Multigran- [13]HUANG Bing,GUO Chunxiang,LI Huaxiong,et al.An ula-tion fuzzy rough set over two universes and its applic- intuitionistic fuzzy graded covering rough set[J].Know- ation to decision making[J].Knowledge-based systems, ledge-based systems,2016,107:155-178. [14]张文修，梁怡，吴伟志.信息系统与知识发现M.北京 2017,123:61-74 科学出版社，2003：1-259. 作者简介： [15]张文修，梁怡，徐萍.基于包含度的不确定推理M.北 胡志勇，男，1992年生，硕士研究 京：清华大学出版社，2007：1-310. 生，主要研究方向为粗糙集、证据理论。 [16]梁美社，米据生，赵天娜.广义优势多粒度直觉模糊粗 糙集及规则获取[J】.智能系统学报，2017,12(6)： 883-888. LIANG Meishe,MI Jusheng,ZHAO Tianna.Generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set and acquisition of decision rules[J].CAAI trans- 米据生，男，1966年生，教授，博 actions on intelligent systems,2017,12(6):883-888. 士生导师，博士，主要研究方向为粗糙 [17]ZHANG Chao,Li Deyu,SANGAIAH A K,et al.Merger 集、概念格、近似推理。 and acquisition target selection based on interval neutro- sophic multigranulation rough sets over two universes[]. Symmetry,2017,9(7):126. [18]ZHANG Chao,LI Deyu,YAN Yan.A dual hesitant fuzzy multigranulation rough set over two-universe model for 冯涛，女，1980年生，副教授，主 medical diagnoses[J].Computational and mathematical 要研究方向为粗糙集、证据理论、人工 methods in medicine,2015,5:1-12. 智能。 [19]XU Weihua,WANG Qiaorong,ZHANG Xiantao.Mul-ti- granulation fuzzy rough sets in a fuzzy tolerance ap-prox- imation space[J].International journal of fuzzy systems, 2011,13(4:246-259
mathematical modelling, 2011, 35(4): 1798–1809. ZHANG Chao, LI Deyu, LIANG Jiye. Hesitant fuzzy linguistic rough set over two universes model and its applications[J]. International journal of machine learning and cybernetics, 2018, 9(4): 577–588. [12] HUANG Bing, GUO Chunxiang, LI Huaxiong, et al. An intuitionistic fuzzy graded covering rough set[J]. Knowledge-based systems, 2016, 107: 155–178. [13] 张文修, 梁怡, 吴伟志. 信息系统与知识发现 [M]. 北京: 科学出版社, 2003: 1–259. [14] 张文修, 梁怡, 徐萍. 基于包含度的不确定推理 [M]. 北 京: 清华大学出版社, 2007: 1–310. [15] 梁美社, 米据生, 赵天娜. 广义优势多粒度直觉模糊粗 糙集及规则获取 [J]. 智能系统学报, 2017, 12(6): 883–888. LIANG Meishe, MI Jusheng, ZHAO Tianna. Generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set and acquisition of decision rules[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(6): 883–888. [16] ZHANG Chao, Li Deyu, SANGAIAH A K, et al. Merger and acquisition target selection based on interval neutrosophic multigranulation rough sets over two universes[J]. Symmetry, 2017, 9(7): 126. [17] ZHANG Chao, LI Deyu, YAN Yan. A dual hesitant fuzzy multigranulation rough set over two-universe model for medical diagnoses[J]. Computational and mathematical methods in medicine, 2015, 5: 1–12. [18] XU Weihua, WANG Qiaorong, ZHANG Xiantao. Mul-tigranulation fuzzy rough sets in a fuzzy tolerance ap-proximation space[J]. International journal of fuzzy systems, 2011, 13(4): 246–259. [19] SUN Bingzhen, MA Weimin. Multigranulation rough set theory over two universes[J]. Journal of intelligent and fuzzy systems, 2015, 28(3): 1251–1269. [20] SUN Bingzhen, MA Weimin, QIAN Yuhua. Multigranula-tion fuzzy rough set over two universes and its application to decision making[J]. Knowledge-based systems, 2017, 123: 61–74. [21] 作者简介： 胡志勇，男，1992 年生，硕士研究 生，主要研究方向为粗糙集、证据理论。 米据生，男，1966 年生，教授，博 士生导师，博士，主要研究方向为粗糙 集、概念格、近似推理。 冯涛，女，1980 年生，副教授，主 要研究方向为粗糙集、证据理论、人工 智能。 ·120· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
