第14卷第3期 智能系统学报 Vol.14 No.3 2019年5月 CAAI Transactions on Intelligent Systems May 2019 D0:10.11992/tis.201804057 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180611.1214.006.html 基于非凸加权L,范数稀疏误差约束的图像去噪算法 徐久成2，王楠2，王煜尧2，徐战威2 (1.河南师范大学计算机与信息工程学院，河南新乡453007,2.河南省高校计算智能与数据挖抵工程技术研 究中心，河南新乡453007) 摘要：图像去噪过程中由于噪声的影响，无法学习到准确的先验知识，因此难以获取较优的稀疏系数。针对 该问题，本文提出一种基于非凸加权1范数稀疏误差约束的图像去噪算法。该算法将系数求解过程分解为两 个子问题，采用广义软阈值算法求解1，范数中的稀疏系数，再利用代理算法求解稀疏误差约束中的稀疏系数， 根据二者的均值来获取更具鲁棒性的稀疏系数。与当前几种典型的算法进行对比分析，实验结果表明：本文算 法不仅具有更高的峰值信噪比(PSNR),而且在运行时间上具有更高的效率，同时在视觉角度上产生了更好的 视觉感受。 关键词：图像去噪：稀疏表示；稀疏系数；先验知识：山范数：非凸加权，范数：稀疏误差约束：峰值信噪比 中图分类号：TP391文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)03-0500-08 中文引用格式：徐久成，王楠，王煜尧，等.基于非凸加权L范数稀疏误差约束的图像去噪算法J小.智能系统学报，2019， 14(3):500-507. 英文引用格式：XU Jiucheng,.WANG Nan,VANG Yuyao,,et al.Non--convex weighted--Lp-norm sparse--error constraint for image denoising[J.CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(3):500-507. Non-convex weighted-L-norm sparse-error constraint for image denoising XU Jiucheng,WANG Nan,WANG Yuyao2,XU Zhanwei2 (1.College of Computer and Information Engineering,He'nan Normal University,Xinxiang 453007,China;2.Engineering Techno- logy Research Center for Computing Intelligence and Data Mining in Colleges and University of He'nan Province,Xinxiang 453007, China) Abstract:Due to noise during image denoising,it is difficult to learn accurate prior knowledge.Therefore,obtaining a desirable sparse coefficient proves to be difficult.To solve this problem,this paper proposes an image denoising meth- od based on the non-convex weighted-/,-norm sparse-error constraint.This algorithm decomposes the coefficient-solv- ing process into two sub-problems.First,the algorithm solves the sparse coefficient in the norm by the generalized soft threshold value algorithm and then uses the surrogate algorithm to solve the sparse coefficient in the sparse-error constraint.Finally,the algorithm obtains a robust sparse coefficient according to its average value.The experimental res- ults show that the proposed algorithm features a high peak signal-to-noise ratio and high efficiency in terms of the run- ning time.Simultaneously,a desirable visual perception is obtained. Keywords:image denoising;sparse representation;sparse coefficient;prior knowledge;norm;non-convex weighted /norm;sparse error constraint;peak signal-to-noise ratio 图像去噪作为一种经典的低秩矩阵逼近问 题，引起了越来越多学者的关注。图像去噪的目 的是从噪声图像Y中去除噪声1，尽可能准确地 收稿日期：2018-04-26.网络出版日期：2018-06-11. 基金项目：国家自然科学基金项目(61370169,61402153)：河南 估计出清晰图像X,其中常常被假设为标准差 省科技攻关重点项目(142102210056.162102210261)： 河南省高等学校重点科研项目(16A520057). 为σ。的加性白高斯噪声。由于图像去噪本身的 通信作者：王楠.E-mail:190606759@qq.com. 不适定性，因此在增强图像去噪性能上求解图像
DOI: 10.11992/tis.201804057 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180611.1214.006.html 基于非凸加权 Lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法 徐久成1,2，王楠1,2，王煜尧1,2，徐战威1,2 （1. 河南师范大学 计算机与信息工程学院，河南 新乡 453007; 2. 河南省高校计算智能与数据挖掘工程技术研 究中心，河南 新乡 453007） 摘 要：图像去噪过程中由于噪声的影响，无法学习到准确的先验知识，因此难以获取较优的稀疏系数。针对 该问题，本文提出一种基于非凸加权 lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法。该算法将系数求解过程分解为两 个子问题，采用广义软阈值算法求解 lp 范数中的稀疏系数，再利用代理算法求解稀疏误差约束中的稀疏系数， 根据二者的均值来获取更具鲁棒性的稀疏系数。与当前几种典型的算法进行对比分析，实验结果表明：本文算 法不仅具有更高的峰值信噪比 (PSNR)，而且在运行时间上具有更高的效率，同时在视觉角度上产生了更好的 视觉感受。 关键词：图像去噪；稀疏表示；稀疏系数；先验知识；l1 范数；非凸加权 lp 范数；稀疏误差约束；峰值信噪比 中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)03−0500−08 中文引用格式：徐久成, 王楠, 王煜尧, 等. 基于非凸加权 Lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法[J]. 智能系统学报, 2019, 14(3): 500–507. 英文引用格式：XU Jiucheng, WANG Nan, WANG Yuyao, et al. Non-convex weighted-Lp -norm sparse-error constraint for image denoising[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(3): 500–507. Non-convex weighted-Lp-norm sparse-error constraint for image denoising XU Jiucheng1,2 ，WANG Nan1,2 ，WANG Yuyao1,2 ，XU Zhanwei1,2 (1. College of Computer and Information Engineering, He’nan Normal University, Xinxiang 453007, China; 2. Engineering Technology Research Center for Computing Intelligence and Data Mining in Colleges and University of He’nan Province, Xinxiang 453007, China) Abstract: Due to noise during image denoising, it is difficult to learn accurate prior knowledge. Therefore, obtaining a desirable sparse coefficient proves to be difficult. To solve this problem, this paper proposes an image denoising method based on the non-convex weighted-lp -norm sparse-error constraint. This algorithm decomposes the coefficient-solving process into two sub-problems. First, the algorithm solves the sparse coefficient in the lp norm by the generalized soft threshold value algorithm and then uses the surrogate algorithm to solve the sparse coefficient in the sparse-error constraint. Finally, the algorithm obtains a robust sparse coefficient according to its average value. The experimental results show that the proposed algorithm features a high peak signal-to-noise ratio and high efficiency in terms of the running time. Simultaneously, a desirable visual perception is obtained. Keywords: image denoising; sparse representation; sparse coefficient; prior knowledge; l1 norm; non-convex weighted lp norm; sparse error constraint; peak signal-to-noise ratio 图像去噪作为一种经典的低秩矩阵逼近问 题，引起了越来越多学者的关注。图像去噪的目 的是从噪声图像 Y 中去除噪声 η，尽可能准确地 估计出清晰图像 X，其中 η 常常被假设为标准差 为 σn 的加性白高斯噪声。由于图像去噪本身的 不适定性，因此在增强图像去噪性能上求解图像 收稿日期：2018−04−26. 网络出版日期：2018−06−11. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61370169，61402153)；河南 省科技攻关重点项目 (142102210056，162102210261)； 河南省高等学校重点科研项目 (16A520057). 通信作者：王楠. E-mail: 190606759@qq.com. 第 14 卷第 3 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.3 2019 年 5 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems May 2019
第3期 徐久成.等：基于非凸加权L范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·501· 先验知识的算法得到了广泛的研究。目前相关学 X。基于图像块稀疏表示的相似性冈，从每一个相 者已经提出了多种有效的图像先验知识模型，如 似组X中学习对应的字典D,则相似组X可以被 全变分方法山、稀疏表示方法、基于非局部自相 稀疏表示为X=DN,N,表示稀疏系数。利用I,范 似性方法56和深度学习P-等。 数来求解N的最优值N,即 早期的图像去噪模型主要考虑像素级别的先 验知识，比如全变分等正则化方法，但是这些方 .=吧X-D+AM (1) =1 法往往会损坏图像的细节特征，造成图像过于平 式中：Is表示F范数；Il表示，范数；1是正则 滑。近年来，一些基于稀疏表示的正则化方法被 化参数，其目的是使保真项与稀疏项之间取得较 相继提出。稀疏表示的目的是在给定的超完备字 好的平衡。 典D中用尽可能少的原子来表示信号，获得信号 噪声图像中相似组Y的提取方式与清晰图像 更为简洁的表示方式，即稀疏系数α。最具代表 类似，即Y:={yy2,…,yml,其中ym表示第i个相 性的稀疏表示方法是将图像块作为一种稀疏线性 似组Y,的第m个相似块，相似组Y,被稀疏表示 组合进行编码，形成超完备冗余字典，这些字典 为Y=D,d。图像去噪则可转化为利用组稀疏表示 通常是从自然图像中学习得到的，从而得到更好 的形式，从噪声图像Y中恢复出潜在的清晰图像 的稀疏去噪性能。尽管如此，基于图像块的稀疏 X,求解噪声图像中稀疏系数M的最优值M,可 表示模型通常会存在一些问题，比如字典学习具 表示为 有较高的计算复杂度，同时也忽视了图像块之间 的相互关系0切。 M,=argmin Y-+M) (2) 传统的基于图像去噪的稀疏表示方法，常常 式中：=D,M,表示图像中第i个清晰图像块 利用1，范数凸优化来进行稀疏编码21)，但凸优 的估计。 化方法在一些图像逆问题中很难获得准确的稀疏 1.1非凸加权1范数最小化 结果，因此Zha等4.1s提出了非凸l,范数最小化 从噪声中估计稀疏信号，常常使用稀疏凸正 稀疏表示模型，但是该模型只考虑了输人噪声图 则化来进行优化。但在一些图像逆问题中，如图 像的非局部相似性属性，在图像被噪声严重破坏 像去模糊、图像去噪等图像恢复问题，利用凸正 的情况下，从噪声图像中恢复出清晰图像具有很 则化并不能较好地获取准确的稀疏结果。根据文 大的挑战性。为提高去噪算法的性能，本文提出 献[15]中，稀疏表示优化算法的成功应用，为了 种基于非凸加权1。范数稀疏误差约束的图 获得更准确的稀疏表示结果，将非凸加权1,0<pI) 像去噪算法，将图像去噪问题转化为一个求解 惩罚函数扩展到组稀疏表示，采用非凸1。范数代 有效稀疏系数的问题。该方法将求解稀疏系数 替凸1范数。对于图像去噪，基于组稀疏表示的 问题拆分为两个子问题，利用广义软阈值算法6 非凸加权1，范数最小化可表示为 求解1，范数中的稀疏系数，并采用代理算法刃 求解稀疏误差约束中的稀疏系数，最后将两者的 M,=agm5IY-元e+Iw-M) i=1 均值作为最终的稀疏系数。为了验证本文算法的 式中：p表示非凸，范数；·表示向量间的点积 有效性，采用标准的图像数据集进行仿真实验。 运算；W,表示相似组的权重。权重更新公式为 与BM3D、NCSRI8I、WNNM等算法进行比较 w:=c×2V2/σ，c是一个常数，o,表示稀疏系数 分析，本文所提算法不仅具有更高的峰值信噪比 M的标准差。 (PSNR),而且具有更高的运行效率，达到了预期 1.2 稀疏误差 实验结果。 由于噪声的影响，从图像Y中估计出准确的 1基本概念 稀疏系数M较为困难。换言之，从式(1)中求出 的原始清晰图像X的稀疏系数N,从式(2)中求出 本文算法是基于图像非局部自相似性进行研 的估计稀疏系数M,两者存在误差。大部分图像 究的，首先对组稀疏表示模型中相似组的选择过 去噪算法的性能都依赖于稀疏系数的准确性，因 程进行介绍。将清晰图像X划分为n个重叠的图 此降低稀疏误差的大小至关重要，估计稀疏系数 像块xn,对于每一个图像块x,(i=1,2,,m从一个 M与真实稀疏系数N之差R为例 搜索窗口中的所有图像块中，利用kNN方法提取 R=M-N 出与图像块x最相似的m个相似块，构成相似组 为提高图像去噪的性能，需要增强稀疏系数
先验知识的算法得到了广泛的研究。目前相关学 者已经提出了多种有效的图像先验知识模型，如 全变分方法[1] 、稀疏表示方法[2-4] 、基于非局部自相 似性方法[5-6]和深度学习[7-8]等。 早期的图像去噪模型主要考虑像素级别的先 验知识，比如全变分等正则化方法，但是这些方 法往往会损坏图像的细节特征，造成图像过于平 滑。近年来，一些基于稀疏表示的正则化方法被 相继提出。稀疏表示的目的是在给定的超完备字 典 D 中用尽可能少的原子来表示信号，获得信号 更为简洁的表示方式，即稀疏系数 α。最具代表 性的稀疏表示方法是将图像块作为一种稀疏线性 组合进行编码，形成超完备冗余字典[9] ，这些字典 通常是从自然图像中学习得到的，从而得到更好 的稀疏去噪性能。尽管如此，基于图像块的稀疏 表示模型通常会存在一些问题，比如字典学习具 有较高的计算复杂度，同时也忽视了图像块之间 的相互关系[10-11]。 传统的基于图像去噪的稀疏表示方法，常常 利用 l1 范数凸优化来进行稀疏编码[12-13] ，但凸优 化方法在一些图像逆问题中很难获得准确的稀疏 结果，因此 Zha 等 [14-15]提出了非凸 lp 范数最小化 稀疏表示模型，但是该模型只考虑了输入噪声图 像的非局部相似性属性，在图像被噪声严重破坏 的情况下，从噪声图像中恢复出清晰图像具有很 大的挑战性。为提高去噪算法的性能，本文提出 一种基于非凸加权 l p 范数稀疏误差约束的图 像去噪算法，将图像去噪问题转化为一个求解 有效稀疏系数的问题。该方法将求解稀疏系数 问题拆分为两个子问题，利用广义软阈值算法[16] 求解 lp 范数中的稀疏系数，并采用代理算法[17] 求解稀疏误差约束中的稀疏系数，最后将两者的 均值作为最终的稀疏系数。为了验证本文算法的 有效性，采用标准的图像数据集进行仿真实验。 与 BM3D[5] 、NCSR[18] 、WNNM[19]等算法进行比较 分析，本文所提算法不仅具有更高的峰值信噪比 (PSNR)，而且具有更高的运行效率，达到了预期 实验结果。 1 基本概念 xi(i = 1,2,···,n) 本文算法是基于图像非局部自相似性进行研 究的，首先对组稀疏表示模型中相似组的选择过 程进行介绍。将清晰图像 X 划分为 n 个重叠的图 像块 xn，对于每一个图像块 从一个 搜索窗口中的所有图像块中，利用 kNN 方法提取 出与图像块 xi 最相似的 m 个相似块，构成相似组 Xi。基于图像块稀疏表示的相似性[2] ，从每一个相 似组 Xi 中学习对应的字典 Di，则相似组 Xi 可以被 稀疏表示为 Xi=DiNi，Ni 表示稀疏系数。利用 l1 范 数来求解 Ni 的最优值 Nx，即 Nx = argmin Ni ∑n i=1 ( 1 2 ∥ Xi − DiNi ∥ 2 F +λ ∥ Ni∥1) (1) 式中： ∥ · ∥F 表示 F 范数； ∥ · ∥1 表示 l1 范数；λ 是正则 化参数，其目的是使保真项与稀疏项之间取得较 好的平衡。 Yi = { yi1 , yi2 ,··· , yim} 噪声图像中相似组 Yi 的提取方式与清晰图像 类似，即 ，其中 yim 表示第 i 个相 似组 Yi 的第 m 个相似块，相似组 Yi 被稀疏表示 为 Yi=Diδi。图像去噪则可转化为利用组稀疏表示 的形式，从噪声图像 Y 中恢复出潜在的清晰图像 X，求解噪声图像中稀疏系数 Mi 的最优值 My，可 表示为 My = argmin Mi ∑n i=1 ( 1 2 ∥ Yi − Xˆ i ∥ 2 F +λ ∥ Mi∥1) (2) Xˆ i = DiMi Xˆ 式中： ， i 表示图像中第 i 个清晰图像块 的估计。 1.1 非凸加权 lp 范数最小化 从噪声中估计稀疏信号，常常使用稀疏凸正 则化来进行优化。但在一些图像逆问题中，如图 像去模糊、图像去噪等图像恢复问题，利用凸正 则化并不能较好地获取准确的稀疏结果。根据文 献[15]中 lp 稀疏表示优化算法的成功应用，为了 获得更准确的稀疏表示结果，将非凸加权 lp (0<p<1) 惩罚函数扩展到组稀疏表示，采用非凸 lp 范数代 替凸 l1 范数。对于图像去噪，基于组稀疏表示的 非凸加权 lp 范数最小化可表示为 My = argmin Mi ∑n i=1 ( 1 2 ∥ Yi − Xˆ i ∥ 2 F+ ∥ Wi · Mi∥p) ∥ · ∥p wi = c×2 √ 2σ 2 /σi 式中： 表示非凸 lp 范数；·表示向量间的点积 运算；Wi 表示相似组的权重。权重更新公式为 ，c 是一个常数，σi 表示稀疏系数 Mi 的标准差。 1.2 稀疏误差 由于噪声的影响，从图像 Y 中估计出准确的 稀疏系数 M 较为困难。换言之，从式 (1) 中求出 的原始清晰图像 X 的稀疏系数 N，从式 (2) 中求出 的估计稀疏系数 M，两者存在误差。大部分图像 去噪算法的性能都依赖于稀疏系数的准确性，因 此降低稀疏误差的大小至关重要，估计稀疏系数 M 与真实稀疏系数 N 之差 R 为 [18] R = M −N 为提高图像去噪的性能，需要增强稀疏系数 第 3 期 徐久成，等：基于非凸加权 Lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·501·
·502· 智能系统学报 第14卷 M的准确性，也就是使稀疏误差R足够小。因 y‖山-是凸1范数，两者无法同时求解，因此 此，式(2)可重写为 将式(4)拆分为两个子问题：一是求解非凸加权 数-学2的tg+1W-同 I,范数最小化问题中的稀疏系数，即Wm;二是求解 稀疏误差约束问题中的稀疏系数，即4。最后使 式中y表示正则化参数。当p=1时，1，范数服从 用均值求解法获得最终的稀疏系数，：=(um+)/2。 拉普拉斯分布；当P=2时，服从高斯分布；当 则式(4)重写为 0<p<1时，服从超拉普拉斯分布。相关研究结果 表明，稀疏误差R的分布更逼近于拉普拉斯分 M,=arg miny:-Du:l匠+，lw:~umille+ 布，因此利用1，范数对稀疏误差R进行正则化， ylur-v)》 在非凸加权1范数最小化问题中，利用广义 式(3)可重写为 软阈值算法求解稀疏系数4，即 4=吗吧兮X-能+yIM-M upi=SST(⑥；w,) 式中SsT表示广义软阈值运算符。若6<T(w, 2基于非凸加权1。范数的稀疏误差 则u=0是全局最小值，阈值T(w,)=[2w,(1-p]安+ 约束算法 P2w:(1-p]号；否则，最小值将在非零点处求 得。在稀疏误差约束问题中，利用代理算法求解 在图像去噪过程中，由于清晰图像X是未知 稀疏系数un: 的，求出真实的稀疏系数N是非常困难的，但可 n=S(D-)+ (5) 求出N的精确估计来近似表示稀疏系数。目前， 式中：S,表示软阈值运算符；表示第i个重构相 用来估计稀疏系数的方法已经有很多相关的研究 似组矩阵的向量。 成果，但是这些相关方法的泛化能力具有一定的 基于非凸加权1，范数稀疏误差约束的图像去 局限性，在选择时要取决于清晰图像的先验知 噪算法如算法1。 识。若有较多类似于清晰图像X的训练图像，则 算法1基于非凸加权1，范数稀疏误差约束 可从训练图像中学习到较多清晰图像的先验知 识，从而求解更优的稀疏系数。但是，实际情况 的图像去噪算法 下，并没有太多类似于清晰图像的训练图像。在 输入噪声图像Y,初始化=Y,Ya,c,d,m,L,J 本文算法中，采用预滤波对图像进行预处理。 0,t,, 基于上述分析，首先利用BM3D方法对噪声 输出去噪图像+。 图像Y进行预滤波处理，得到图像YB,然后再对 1)利用公式Y1=+(Y-对输入的噪声 Ya进行初始化，从图像Ya中获取组稀疏系数N较 图像Y进行归一化； 为准确的估计值，即Y=DNo 2)判断Y1和Ya的结构相似性与Y'和Y的 为提高去噪算法的性能，本文将稀疏误差约 结构相似性的差值是否小于阈值τ： 束融合到非凸加权1，范数去噪算法中。图像去噪 3)若SSMY,YB)-SSMY,YB)<T,在图像 问题便转化为最小化1，范数和稀疏误差，进而求 Y1中进行相似块选取；否则，在图像Ya中进行 得最优稀疏系数问题。基于非凸加权范数稀疏 相似块选取； 误差约束最小化可表示为 4)通过kNN方法对每一个图像块y,和Y,进 M =argmin 5I业-匠+ 行筛选，构建相似组Y1和Y+; i=l S)对相似组Y,进行PCA操作，构建字典D,; IlW:·Mp+yIM-NIl)= (4) 6)由Y=DN,和Y=Dδ，分别求解第+1次稀 arg min(ll y:-Du;+lwllp+ 疏系数N+1和6； yllui-vil) 7)根据w,=c×2V2σ2/o:求解第1+1次权重 式中：y、山、w:和分别表示Y、M、W和N的向 W; 量；权重更新公式为w,=c×2V2r2/o,c是一个常 8)利用广义软阈值算法求解1。范数中的稀疏 数；G,表示稀疏系数M,的标准差；字典D= 系数pw [dd2…dx],K表示字典原子的数量；y表示正则 9)利用代理算法来求解误差约束中的稀疏系 化参数。 数un 由于式(4)中Iw,。是非凸1。范数， l0)通过求解4m和4n的均值来计算第什1次
M 的准确性，也就是使稀疏误差 R 足够小。因 此，式 (2) 可重写为 My = argmin Mi ∑n i=1 ( 1 2 ∥ Yi − Xˆ ∥ 2 F +γ ∥ Mi −Ni∥p) (3) 式中 γ 表示正则化参数。当 p=1 时，lp 范数服从 拉普拉斯分布； 当 p=2 时，服从高斯分布； 当 0<p<1 时，服从超拉普拉斯分布。相关研究结果 表明，稀疏误差 R 的分布更逼近于拉普拉斯分 布，因此利用 l1 范数对稀疏误差 R 进行正则化， 式 (3) 可重写为 My = argmin Mi ∑n i=1 ( 1 2 ∥ Yi − Xˆ ∥ 2 F +γ ∥ Mi −Ni∥1) 2 基于非凸加权 lp 范数的稀疏误差 约束算法 在图像去噪过程中，由于清晰图像 X 是未知 的，求出真实的稀疏系数 N 是非常困难的，但可 求出 N 的精确估计来近似表示稀疏系数。目前， 用来估计稀疏系数的方法已经有很多相关的研究 成果，但是这些相关方法的泛化能力具有一定的 局限性，在选择时要取决于清晰图像的先验知 识。若有较多类似于清晰图像 X 的训练图像，则 可从训练图像中学习到较多清晰图像的先验知 识，从而求解更优的稀疏系数。但是，实际情况 下，并没有太多类似于清晰图像的训练图像。在 本文算法中，采用预滤波对图像进行预处理。 基于上述分析，首先利用 BM3D 方法对噪声 图像 Y 进行预滤波处理，得到图像 YB，然后再对 YB 进行初始化，从图像 YB 中获取组稀疏系数 N 较 为准确的估计值，即 YBi=DiNi。 为提高去噪算法的性能，本文将稀疏误差约 束融合到非凸加权 lp 范数去噪算法中。图像去噪 问题便转化为最小化 lp 范数和稀疏误差，进而求 得最优稀疏系数问题。基于非凸加权 lp 范数稀疏 误差约束最小化可表示为 My = argmin Mi ∑n i=1 ( 1 2 ∥ Yi − Xˆ ∥ 2 F+ ∥ Wi · Mi∥p +γ ∥ Mi −Ni∥1) = argmin ui (∥ yi − Diui ∥ 2 2 + ∥ wi ·ui∥p+ γ ∥ ui −vi∥1) (4) yi ui wi vi wi = c×2 √ 2σ 2 /σi Di = [d1 d2 ··· dK] 式中： 、 、 和 分别表示 Yi、Mi、Wi 和 Ni 的向 量；权重更新公式为 ，c 是一个常 数 ； σ i 表示稀疏系 数 M i 的标准差；字典 ，K 表示字典原子的数量；γ 表示正则 化参数。 ∥ wi 由 于 式 ( 4 ) 中 · vi∥p 是 非 凸 l p 范数， γ ∥ ui −vi∥1 ui = (upi +uri)/2 是凸 l1 范数，两者无法同时求解，因此 将式 (4) 拆分为两个子问题：一是求解非凸加权 lp 范数最小化问题中的稀疏系数，即 upi；二是求解 稀疏误差约束问题中的稀疏系数，即 uri。最后使 用均值求解法获得最终的稀疏系数， 。 则式 (4) 重写为 My = argmin ui {∥ yi − Diui ∥ 2 2 + 1 2 (∥ wi ·upi∥p+ γ ∥ uri −vi∥1)} 在非凸加权 lp 范数最小化问题中，利用广义 软阈值算法求解稀疏系数 upi，即 upi = S GST p (δi ;wi) S GST p δi < τGST p (wi) upi =0 τ GST p (wi)=[2wi(1− p)] 1 2−p + wip[2wi(1− p)] p−1 2−p 式中 表示广义软阈值运算符。若 ， 则 是全局最小值，阈值 ；否则，最小值将在非零点处求 得。在稀疏误差约束问题中，利用代理算法求解 稀疏系数 uri： uri = S γ(D −1 i xˆi −vi)+vi (5) xˆi Xˆ i 式中：Sγ 表示软阈值运算符； 表示第 i 个重构相 似组 矩阵的向量。 基于非凸加权 lp 范数稀疏误差约束的图像去 噪算法如算法 1。 算法 1 基于非凸加权 lp 范数稀疏误差约束 的图像去噪算法 Xˆ = Y,YB, c, d,m,L, J, σ,τ, ζ, λ 输入 噪声图像 Y，初始化 ； 输出 去噪图像 Xˆt+1。 Y t+1 = Xˆt +λ(Y − Xˆt 1) 利用公式 ) 对输入的噪声 图像 Y 进行归一化； 2) 判断 Y t+1 和 YB 的结构相似性与 Y t 和 YB 的 结构相似性的差值是否小于阈值 τ； SSIM(Y t+1 ,YB)−SSIM(Y t 3) 若 ,YB) < τ ，在图像 Y t+1 中进行相似块选取；否则，在图像 YB 中进行 相似块选取； Yi t+1 YBi t+1 4) 通过 kNN 方法对每一个图像块 yi 和 YBi 进 行筛选，构建相似组 和 ； Di t+1 5) 对相似组 Yi 进行 PCA 操作，构建字典 ； Ni t+1 δi t+1 6) 由 YBi=DiNi 和 Yi=Diδi 分别求解第 t+1 次稀 疏系数 和 ； wi = c×2 √ 2σ 2 /σi Wi t+1 7) 根据 求解第 t+1 次权重 ； 8) 利用广义软阈值算法求解 lp 范数中的稀疏 系数 upi； 9) 利用代理算法来求解误差约束中的稀疏系 数 uri； 10) 通过求解 upi 和 uri 的均值来计算第 t+1 次 ·502· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第3期 徐久成，等：基于非凸加权L,范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·503· 稀疏系数M; 像中求解的稀疏系数与真实的稀疏系数具有一定 11)根据X1=D,M1求得估计图像块X+1; 的误差，因此本文算法引人了稀疏误差约束，提 12)根据加权平均合并图像块X+!形成去噪 出了基于非凸加权，范数稀疏误差约束的图像去 图像+1； 噪算法。该算法利用稀疏误差约束，获取更精确 13)结束。 的稀疏系数，提高了算法的去噪性能。 由算法1可知，对于一个大小为×m的矩 阵，其中d表示算法1中图像块y,的宽度和高度， 3实验分析 m是一个相似组中相似块的数量，在每次迭代中 为验证本文提出的基于非凸加权1，范数稀疏 构建字典（算法1中5）)是主计算，时间复杂度为 误差约束图像去噪算法的有效性，采用如图1所 O(minldm2,dm)。广义软阈值算法（算法1中8）) 仅需要O(Km),其中K表示广义软阈值算法中的 示的测试图像进行仿真实验，将本文算法与几种 迭代次数。因此，本文所提出的基于非凸加权 相关的经典算法BM3D9、EPLL2O、NCSRI图、WN, 1范数稀疏误差约束的图像去噪算法的时间复杂 NM、AST-NLs2、MSEPLL22进行实验对比分 度为J×S×O(mindm2,dm+Km),J表示算法1的 析。为保证实验的可行性和有效性，本文采用与 迭代次数，S表示一个滑动窗口中图像块的总数。 文献[15]中相同的参数设置进行实验。本次实验 本文所提算法采用非凸加权1，范数作为正则 环境为：CPU为AMD Athlon(tm)ⅡX4645Pro- 项来保证图像中关键信息的稀疏性，降低了算法 cessor,内存4GB,系统为Windows7,实验软件 的时间消耗。由于图像中噪声的影响，从噪声图 为MATLAB-R2016。 图1去噪实验的所有测试图像 Fig.1 All test images for the denoising experiments 为获取噪声图像，对测试图像加入了高斯白 相关算法的PSNR平均值。本文算法与相关算法 噪声，噪声标准差分别为20、30、40、50，对图像 的PSNR值进行比较，表1中PSNR值提升最高 加入不同的噪声，会选择不同尺寸的重叠块。当 的是NCSR算法，提高了4.34dB;表2中PSNR值 噪声标准差σ≤20时，重叠块的大小为6×6：当噪 提升最高的是EPLL算法，提高了3.69dB;表3和 声标准差20<0≤50时，重叠块的大小为7×7，选择 表4中PSNR值提升最高的是BM3D算法，分别 相似块的搜索窗口大小为30×30，每个窗口选择 提高了3.48dB和3.66dB。本文算法与相关算法 的相似块个数为60，=0.0001。当≤30时，(c,G, 的PSNR平均值进行比较，其中提升最高的是表3 1)为(02,0.18,0.67)；否则，(c,,)为(0.3,0.22 中的EPLL算法，平均提升了1.9dB,提高最低的 0.67)。为评估本文算法的去噪性能，本文使用图 像的峰值信噪比(PSNR)作为实验结果的评价标 是表4中的WNNM算法，平均提升了0.30dB。 准，本文算法与所有对比算法的PSNR值如表 本文算法在非凸加权1，范数的基础上增加了稀疏 14所示。 误差约束，在获取有效估计稀疏系数的基础上， 从表1~4可知，PSNR值随着标准差的增加逐 降低估计稀疏系数与真实稀疏系数之差，学习更 渐降低，本文算法的大部分PSNR值都高于其他 精确的先验知识，取得了更好的去噪性能，验证 算法的PSNR值，且PSNR的平均值均高于其他 了本文算法的可行性和有效性
Mi 稀疏系数 t+1 ； Xi t+1 = Di t+1Mi t+1 Xi t+1 11) 根据 求得估计图像块 ； Xi t+1 Xˆt+1 12) 根据加权平均合并图像块 形成去噪 图像 ； 13) 结束。 O(min{d 2m 2 ,d 4m}) J ×S ×O(min{d 2m 2 ,d 4m}+Km) 由算法 1 可知，对于一个大小为 d 2 ×m 的矩 阵，其中 d 表示算法 1 中图像块 yi 的宽度和高度， m 是一个相似组中相似块的数量，在每次迭代中 构建字典 (算法 1 中 5)) 是主计算，时间复杂度为 。广义软阈值算法 (算法 1 中 8)) 仅需要 O(Km)，其中 K 表示广义软阈值算法中的 迭代次数。因此，本文所提出的基于非凸加权 lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法的时间复杂 度为 ，J 表示算法 1 的 迭代次数，S 表示一个滑动窗口中图像块的总数。 本文所提算法采用非凸加权 lp 范数作为正则 项来保证图像中关键信息的稀疏性，降低了算法 的时间消耗。由于图像中噪声的影响，从噪声图 像中求解的稀疏系数与真实的稀疏系数具有一定 的误差，因此本文算法引入了稀疏误差约束，提 出了基于非凸加权 lp 范数稀疏误差约束的图像去 噪算法。该算法利用稀疏误差约束，获取更精确 的稀疏系数，提高了算法的去噪性能。 3 实验分析 为验证本文提出的基于非凸加权 lp 范数稀疏 误差约束图像去噪算法的有效性，采用如图 1 所 示的测试图像进行仿真实验，将本文算法与几种 相关的经典算法 BM3D[9] 、EPLL[20] 、NCSR[18] 、WNNM[19] 、AST-NLS[21] 、MSEPLL[22]进行实验对比分 析。为保证实验的可行性和有效性，本文采用与 文献[15]中相同的参数设置进行实验。本次实验 环境为：CPU 为 AMD Athlon(tm) II X4 645 Processor，内存 4 GB，系统为 Windows 7，实验软件 为 MATLAB-R2016。 图 1 去噪实验的所有测试图像 Fig. 1 All test images for the denoising experiments 为获取噪声图像，对测试图像加入了高斯白 噪声，噪声标准差分别为 20、30、40、50，对图像 加入不同的噪声，会选择不同尺寸的重叠块。当 噪声标准差 σ≤20 时，重叠块的大小为 6×6；当噪 声标准差 20<σ≤50 时，重叠块的大小为 7×7，选择 相似块的搜索窗口大小为 30×30，每个窗口选择 的相似块个数为 60，τ=0.000 1。当 σ≤30 时，(c, ζ, λ) 为 (0.2, 0.18, 0.67)；否则，(c, ζ, λ) 为 (0.3, 0.22, 0.67)。为评估本文算法的去噪性能，本文使用图 像的峰值信噪比 (PSNR) 作为实验结果的评价标 准，本文算法与所有对比算法的 PSNR 值如表 1~4 所示。 从表 1~4 可知，PSNR 值随着标准差的增加逐 渐降低，本文算法的大部分 PSNR 值都高于其他 算法的 PSNR 值，且 PSNR 的平均值均高于其他 相关算法的 PSNR 平均值。本文算法与相关算法 的 PSNR 值进行比较，表 1 中 PSNR 值提升最高 的是 NCSR 算法，提高了 4.34 dB；表 2 中 PSNR 值 提升最高的是 EPLL 算法，提高了 3.69 dB；表 3 和 表 4 中 PSNR 值提升最高的是 BM3D 算法，分别 提高了 3.48 dB 和 3.66 dB。本文算法与相关算法 的 PSNR 平均值进行比较，其中提升最高的是表 3 中的 EPLL 算法，平均提升了 1.9 dB，提高最低的 是表 4 中的 WNNM 算法，平均提升了 0.30 dB。 本文算法在非凸加权 lp 范数的基础上增加了稀疏 误差约束，在获取有效估计稀疏系数的基础上， 降低估计稀疏系数与真实稀疏系数之差，学习更 精确的先验知识，取得了更好的去噪性能，验证 了本文算法的可行性和有效性。 第 3 期 徐久成，等：基于非凸加权 Lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·503·
·504· 智能系统学报 第14卷 表1不同去噪算法在标准差=20下的PSNR结果 Table 1 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations o=20 dB 算法 图像 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 31.77 29.76 31.72 32.19 31.43 30.36 31.93 Monarch 30.35 30.48 30.69 31.10 30.89 30.32 31.17 Foreman 34.54 34.05 30.52 34.72 34.55 34.09 34.86 Couple 30.76 30.54 30.56 30.82 30.68 31.06 32.55 House 33.77 32.98 33.97 34.01 33.87 33.27 34.08 Lin 32.83 32.56 32.42 33.01 33.81 32.80 34.08 Parrot 29.96 29.97 32.16 30.19 32.42 31.52 33.03 Goldhill 30.72 30.49 30.61 30.81 30.06 30.58 30.36 C.man 30.28 30.34 30.48 30.75 30.48 30.59 31.47 Boat 29.69 30.66 30.74 31.00 30.76 30.92 31.26 Leaves 29.08 30.76 30.59 30.74 30.14 30.63 31.12 Lena 31.60 32.61 32.92 33.12 31.59 32.85 32.86 Peppers 31.14 31.17 31.26 31.53 31.36 31.23 31.86 Airplane 30.44 32.41 32.58 32.82 32.71 32.49 33.06 平均值 31.21 31.34 31.52 31.92 31.77 31.60 32.41 表2不同去噪算法在标准差广30下的PSNR结果 Table 2 The PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations o=30 dB 算法 图像 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 29.18 27.56 28.90 29.56 29.31 27.72 29.60 Monarch 28.36 28.35 28.46 28.91 28.73 28.49 28.96 Foreman 32.69 29.66 32.78 33.01 32.79 32.34 33.35 Couple 30.08 28.61 28.57 28.98 30.30 30.42 30.68 House 32.08 31.22 32.07 32.52 32.26 31.71 32.69 Lin 30.95 30.72 30.84 30.96 30.83 30.96 31.05 Parrot 29.13 28.07 30.38 28.33 30.52 30.29 30.61 Goldhill 28.44 28.40 28.25 28.58 28.37 28.41 28.61 C.man 28.63 28.36 28.58 28.80 28.72 28.37 2931 Boat 29.11 28.89 28.94 29.24 28.92 28.74 28.92 Leaves 27.82 27.38 28.14 28.62 28.46 27.26 28.64 Lena 29.55 31.61 29.43 29.83 29.52 29.46 30.08 Peppers 29.28 28.35 31.11 29.48 29.35 29.67 30.56 Airplane 27.56 30.41 30.70 30.87 31.02 30.96 3121 平均值 29.49 29.11 29.80 29.84 29.94 29.63 30.31 表3 不同去噪算法在标准差40下的PSNR结果 Table 3 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations o=40 dB 算法 图像 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 27.33 25.63 27.36 27.79 27.51 26.04 27.89 Monarch 26.74 26.35 26.85 26.18 27.30 27.06 27.58 Foreman 31.11 28.32 31.59 31.54 31.27 31.05 31.75 Couple 29.13 27.16 27.24 26.65 28.89 29.15 29.44 House 30.65 29.94 30.80 30.23 30.91 30.47 31.42
表 1 不同去噪算法在标准差 σ=20 下的 PSNR 结果 Table 1 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=20 dB 图像 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 31.77 29.76 31.72 32.19 31.43 30.36 31.93 Monarch 30.35 30.48 30.69 31.10 30.89 30.32 31.17 Foreman 34.54 34.05 30.52 34.72 34.55 34.09 34.86 Couple 30.76 30.54 30.56 30.82 30.68 31.06 32.55 House 33.77 32.98 33.97 34.01 33.87 33.27 34.08 Lin 32.83 32.56 32.42 33.01 33.81 32.80 34.08 Parrot 29.96 29.97 32.16 30.19 32.42 31.52 33.03 Goldhill 30.72 30.49 30.61 30.81 30.06 30.58 30.36 C.man 30.28 30.34 30.48 30.75 30.48 30.59 31.47 Boat 29.69 30.66 30.74 31.00 30.76 30.92 31.26 Leaves 29.08 30.76 30.59 30.74 30.14 30.63 31.12 Lena 31.60 32.61 32.92 33.12 31.59 32.85 32.86 Peppers 31.14 31.17 31.26 31.53 31.36 31.23 31.86 Airplane 30.44 32.41 32.58 32.82 32.71 32.49 33.06 平均值 31.21 31.34 31.52 31.92 31.77 31.60 32.41 表 2 不同去噪算法在标准差 σ=30 下的 PSNR 结果 Table 2 The PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=30 dB 图像 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 29.18 27.56 28.90 29.56 29.31 27.72 29.60 Monarch 28.36 28.35 28.46 28.91 28.73 28.49 28.96 Foreman 32.69 29.66 32.78 33.01 32.79 32.34 33.35 Couple 30.08 28.61 28.57 28.98 30.30 30.42 30.68 House 32.08 31.22 32.07 32.52 32.26 31.71 32.69 Lin 30.95 30.72 30.84 30.96 30.83 30.96 31.05 Parrot 29.13 28.07 30.38 28.33 30.52 30.29 30.61 Goldhill 28.44 28.40 28.25 28.58 28.37 28.41 28.61 C.man 28.63 28.36 28.58 28.80 28.72 28.37 29.31 Boat 29.11 28.89 28.94 29.24 28.92 28.74 28.92 Leaves 27.82 27.38 28.14 28.62 28.46 27.26 28.64 Lena 29.55 31.61 29.43 29.83 29.52 29.46 30.08 Peppers 29.28 28.35 31.11 29.48 29.35 29.67 30.56 Airplane 27.56 30.41 30.70 30.87 31.02 30.96 31.21 平均值 29.49 29.11 29.80 29.84 29.94 29.63 30.31 表 3 不同去噪算法在标准差 σ=40 下的 PSNR 结果 Table 3 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=40 dB 图像 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 27.33 25.63 27.36 27.79 27.51 26.04 27.89 Monarch 26.74 26.35 26.85 26.18 27.30 27.06 27.58 Foreman 31.11 28.32 31.59 31.54 31.27 31.05 31.75 Couple 29.13 27.16 27.24 26.65 28.89 29.15 29.44 House 30.65 29.94 30.80 30.23 30.91 30.47 31.42 ·504· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第3期 徐久成，等：基于非凸加权L范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·505· 续表3 图像 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Lin 29.52 27.83 29.45 29.80 29.39 29.68 29.88 Parrot 28.59 27.42 28.96 27.89 29.03 28.94 29.32 Goldhill 27.21 25.64 27.02 27.25 27.08 27.18 27.35 C.man 26.78 26.96 27.12 27.58 27.41 27.08 27.54 Boat 26.09 26.46 27.65 27.97 27.31 27.42 28.32 Leaves 25.69 24.79 26.24 27.01 26.86 25.72 27.14 Lena 27.83 27.98 28.01 28.38 28.12 28.05 28.38 Peppers 27.42 27.71 30.07 27.21 27.44 28.62 29.86 Airplane 26.45 27.03 29.28 26.80 28.96 28.84 29.93 平均值 27.90 27.09 28.40 28.02 28.39 28.24 28.99 表4不同去噪算法在标准差=50下的PSNR结果 Table 4 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations o=50 dB 算法 图像 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 26.45 24.82 26.25 26.69 26.41 25.06 26.72 Monarch 28.51 25.77 25.76 26.18 26.10 25.93 26.20 Foreman 30.24 29.26 30.56 30.85 30.60 30.04 31.01 Couple 26.46 26.23 26.19 27.45 27.90 28.23 28.30 House 29.69 28.76 29.62 30.23 30.13 29.47 30.33 Lin 28.71 28.28 28.40 28.83 28.50 28.69 28.90 Parrot 26.89 25.83 27.88 27.80 28.06 27.90 28.23 Goldhill 26.27 26.36 26.06 26.45 26.22 26.28 26.32 C.man 26.13 26.03 26.15 26.42 26.34 26.12 26.62 Boat 26.78 26.65 26.67 26.97 26.62 26.94 26.73 Leaves 24.75 24.36 24.96 25.49 25.51 24.42 25.69 Lena 28.07 28.42 27.02 27.16 27.08 26.97 27.40 Peppers 26.68 26.62 28.07 26.81 26.84 26.82 28.77 Airplane 25.10 27.88 28.18 28.44 28.89 27.32 28.76 平均值 27.20 26.81 27.27 27.56 27.51 27.16 27.86 通过各算法PSNR的实验对比，表明了本文 适应的相似块选取方法，依据图像的结构自相似 方法性能的优势。同时，为更好地体现本文算法 性，排除非相似块的干扰，快速准确地构建相似 的优越性，实验对比分析了几种相关算法在相同 组，因此在与算法EPLL、NCSR、WNNM、AST-NLS 运行环境下的运行时间。各算法的平均运行时间 和MSEPLL比较时，本文算法运行效率较高，节 如表5所示。 省更多的运行时间。虽然本文算法在运行时间上 从表5可以看出，本文算法的运行时间在 逊于BM3D算法，但在PSNR值上远高于BM3D算 89.64s左右，由于本文算法在去噪过程中采用自 法。通过上述分析，本文算法具有更好的有效性。 表5相关算法在14个测试图像下的平均运行时间 Table 5 Average run time with related methods for the 14 test images 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文算法 时间s 2.67±0.04 103.78±2.56 374.01±9.47 169.32±1.43 327.16±2.94 185.74±2.34 89.64±7.62 为显示去噪算法的视觉效果，本文采用噪声 验，实验结果如图2所示。从图2测试图像的右 标准差为o=40的House测试图像进行了仿真实 下角窗口可以清晰地看出，其他的去噪算法包含
通过各算法 PSNR 的实验对比，表明了本文 方法性能的优势。同时，为更好地体现本文算法 的优越性，实验对比分析了几种相关算法在相同 运行环境下的运行时间。各算法的平均运行时间 如表 5 所示。 从表 5 可以看出，本文算法的运行时间在 89.64 s 左右，由于本文算法在去噪过程中采用自 适应的相似块选取方法，依据图像的结构自相似 性，排除非相似块的干扰，快速准确地构建相似 组，因此在与算法 EPLL、NCSR、WNNM、AST-NLS 和 MSEPLL 比较时，本文算法运行效率较高，节 省更多的运行时间。虽然本文算法在运行时间上 逊于 BM3D 算法，但在 PSNR 值上远高于 BM3D 算 法。通过上述分析，本文算法具有更好的有效性。 表 5 相关算法在 14 个测试图像下的平均运行时间 Table 5 Average run time with related methods for the 14 test images 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文算法 时间/s 2.67±0.04 103.78±2.56 374.01±9.47 169.32±1.43 327.16±2.94 185.74±2.34 89.64±7.62 为显示去噪算法的视觉效果，本文采用噪声 标准差为 σ=40 的 House 测试图像进行了仿真实 验，实验结果如图 2 所示。从图 2 测试图像的右 下角窗口可以清晰地看出，其他的去噪算法包含 表 4 不同去噪算法在标准差 σ=50 下的 PSNR 结果 Table 4 Denoising PSNR results of different denoising algorithms under standard deviations σ=50 dB 图像 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Barbara 26.45 24.82 26.25 26.69 26.41 25.06 26.72 Monarch 28.51 25.77 25.76 26.18 26.10 25.93 26.20 Foreman 30.24 29.26 30.56 30.85 30.60 30.04 31.01 Couple 26.46 26.23 26.19 27.45 27.90 28.23 28.30 House 29.69 28.76 29.62 30.23 30.13 29.47 30.33 Lin 28.71 28.28 28.40 28.83 28.50 28.69 28.90 Parrot 26.89 25.83 27.88 27.80 28.06 27.90 28.23 Goldhill 26.27 26.36 26.06 26.45 26.22 26.28 26.32 C.man 26.13 26.03 26.15 26.42 26.34 26.12 26.62 Boat 26.78 26.65 26.67 26.97 26.62 26.94 26.73 Leaves 24.75 24.36 24.96 25.49 25.51 24.42 25.69 Lena 28.07 28.42 27.02 27.16 27.08 26.97 27.40 Peppers 26.68 26.62 28.07 26.81 26.84 26.82 28.77 Airplane 25.10 27.88 28.18 28.44 28.89 27.32 28.76 平均值 27.20 26.81 27.27 27.56 27.51 27.16 27.86 续表 3 图像 算法 BM3D EPLL NCSR WNNM AST-NLS MSEPLL 本文方法 Lin 29.52 27.83 29.45 29.80 29.39 29.68 29.88 Parrot 28.59 27.42 28.96 27.89 29.03 28.94 29.32 Goldhill 27.21 25.64 27.02 27.25 27.08 27.18 27.35 C.man 26.78 26.96 27.12 27.58 27.41 27.08 27.54 Boat 26.09 26.46 27.65 27.97 27.31 27.42 28.32 Leaves 25.69 24.79 26.24 27.01 26.86 25.72 27.14 Lena 27.83 27.98 28.01 28.38 28.12 28.05 28.38 Peppers 27.42 27.71 30.07 27.21 27.44 28.62 29.86 Airplane 26.45 27.03 29.28 26.80 28.96 28.84 29.93 平均值 27.90 27.09 28.40 28.02 28.39 28.24 28.99 第 3 期 徐久成，等：基于非凸加权 Lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·505·
·506· 智能系统学报 第14卷 了更多的噪声，同时产生了很多的伪影。如图2（©） 中科技大学.2008. 所示，由于EPLL算法忽略了图像的非局部自相 DENG Chengzhi.Research on image sparse representa- 似性，其纹理和结构边缘处的细节信息存在严重 tion theory and its applications[D].Wuhan:Huazhong Uni- 丢失，影响了直观视觉感受。本文所提算法是基 versity of Science and Technology,2008. 于非凸加权。范数进行研究的，利用图像的非局 [3]练秋生，张伟.基于图像块分类稀疏表示的超分辨率重 部自相似性，在有效去除图像噪声的同时更好地 构算法U.电子学报，2012,40(5)：920-925. 保留了图像的纹理特征，如图2（①）所示。通过上 LIAN Qiusheng,ZHANG Wei.Image super-resolution al- 述分析可知，本文所提出的算法具有较好的去噪 gorithms based on sparse representation of classified im- 性能，不仅可以获得较高的PSNR值，同时还产生 age patches[J].Acta electronica sinica,2012.40(5):920- 925. 了更好的视觉感受。 [4]DAI Tao,XU Zhiya,LIANG Haoyi,et al.A generic de- noising framework via guided principal component analys- is[J].Journal of visual communication and image repres- entation,2017,48:340-352. [5]郝红侠，刘芳，焦李成，等.采用结构自适应窗的非局部 (a)原始图像(b)噪声图像 (c)EPLL 均值图像去噪算法).西安交通大学学报，2013,47(12)： 71-76 HAO Hongxia,LIU Fang,JIAO Licheng,et al.A non-loc- al means algorithm for image denoising using structure ad- aptive window[J].Journal of Xi'an jiaotong university. (d)WNNM (e)MSEPLL (f)BM3D 2013.47(12:71-76 [6]ZUO Chenglin,JOVANOV L,GOOSSENS B,et al.Im- age denoising using quadtree-based nonlocal means with locally adaptive principal component analysis[J].IEEE sig- nal processing letters,2016,23(4):434-438. (g)NCSR [7]ZHANG Kai,ZUO Wangmeng,CHEN Yunjin,et al.Bey- (h)AST-NLS(i)本文算法 ond a gaussian denoiser:residual learning of deep cnn for 图2 House测试图像的去噪结果 image denoising[J].IEEE transactions on image pro- Fig.2 Denoising results of House test images cessing,.2017,26(7):3142-3155. [8]陈轶鸣，夏景明，陈轶才，等.结合稀疏表示与神经网络 4结束语 的医学图像融合[.河南科技大学学报（自然科学版）， 本文基于非凸加权。范数算法的研究，将稀 2018.39(2):40-47. 疏误差约束融入到非凸加权1，范数优化算法中， CHEN Yiming,XIA Jingming,CHEN Yicai,et al.Medic- 提出了一种基于非凸加权1，范数稀疏误差约束的 al image fusion combining sparse representation and neur- 图像去噪算法，将图像去噪问题转化为降低误差 al network[J].Journal of Henan University of Science and Technology (natural science),2018,39(2):40-47. 约束，寻找最优稀疏系数问题。为了更好地求解 [9]解凯，张芬.基于过完备表示的图像去噪算法)，电子学 最优稀疏系数，本文分别使用广义软阈值算法和 报，2013,41(10：1911-1916 代理算法来求解非凸1范数中的稀疏系数和误差 XIE Kai,ZHANG Fen.Overcomplete representation base 约束中的稀疏系数。实验结果表明，本文所提出 image denoising algorithm[J].Acta electronica sinica, 的算法可以鲁棒地求解稀疏系数，求得更高的峰 2013,41(10):1911-1916 值信噪比，以及更高的运行效率，并产生了较好 [10]BUDIANTO,LUN D P.Robust fringe projection profilo- 的视觉效果，具有较大的实用性和有效性。 metry via sparse representation[J].IEEE transactions on 参考文献： image processing,2016,25(4):1726-1739. [11]ZHANG Jian.ZHAO Debin,GAO Wen.Group-based [1]CHAMBOLLE A.An algorithm for total variation minim- sparse representation for image restoration[J].IEEE trans- ization and applications[J].Journal of mathematical ima- actions on image processing,2014,23(8):3336-3351. ging and vision,2004,20:89-97. [12]占美全，邓志良.基于L,范数的总变分正则化超分辨率 [2]邓承志.图像稀疏表示理论及其应用研究D].武汉：华 图像重建J].科学技术与工程，2010,10(28)：6903
了更多的噪声，同时产生了很多的伪影。如图 2(c) 所示，由于 EPLL 算法忽略了图像的非局部自相 似性，其纹理和结构边缘处的细节信息存在严重 丢失，影响了直观视觉感受。本文所提算法是基 于非凸加权 lp 范数进行研究的，利用图像的非局 部自相似性，在有效去除图像噪声的同时更好地 保留了图像的纹理特征，如图 2(i) 所示。通过上 述分析可知，本文所提出的算法具有较好的去噪 性能，不仅可以获得较高的 PSNR 值，同时还产生 了更好的视觉感受。 (a) 原始图像 (b) 噪声图像 (c) EPLL (d) WNNM (e) MSEPLL (f) BM3D (g) NCSR (h) AST-NLS (i) 本文算法 图 2 House 测试图像的去噪结果 Fig. 2 Denoising results of House test images 4 结束语 本文基于非凸加权 lp 范数算法的研究，将稀 疏误差约束融入到非凸加权 lp 范数优化算法中， 提出了一种基于非凸加权 lp 范数稀疏误差约束的 图像去噪算法，将图像去噪问题转化为降低误差 约束，寻找最优稀疏系数问题。为了更好地求解 最优稀疏系数，本文分别使用广义软阈值算法和 代理算法来求解非凸 lp 范数中的稀疏系数和误差 约束中的稀疏系数。实验结果表明，本文所提出 的算法可以鲁棒地求解稀疏系数，求得更高的峰 值信噪比，以及更高的运行效率，并产生了较好 的视觉效果，具有较大的实用性和有效性。 参考文献： CHAMBOLLE A. An algorithm for total variation minimization and applications[J]. Journal of mathematical imaging and vision, 2004, 20: 89–97. [1] [2] 邓承志. 图像稀疏表示理论及其应用研究[D]. 武汉: 华 中科技大学, 2008. DENG Chengzhi. Research on image sparse representation theory and its applications[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology, 2008. 练秋生, 张伟. 基于图像块分类稀疏表示的超分辨率重 构算法[J]. 电子学报, 2012, 40(5): 920–925. LIAN Qiusheng, ZHANG Wei. Image super-resolution algorithms based on sparse representation of classified image patches[J]. Acta electronica sinica, 2012, 40(5): 920– 925. [3] DAI Tao, XU Zhiya, LIANG Haoyi, et al. A generic denoising framework via guided principal component analysis[J]. Journal of visual communication and image representation, 2017, 48: 340–352. [4] 郝红侠, 刘芳, 焦李成, 等. 采用结构自适应窗的非局部 均值图像去噪算法[J]. 西安交通大学学报, 2013, 47(12): 71–76. HAO Hongxia, LIU Fang, JIAO Licheng, et al. A non-local means algorithm for image denoising using structure adaptive window[J]. Journal of Xi'an jiaotong university, 2013, 47(12): 71–76. [5] ZUO Chenglin, JOVANOV L, GOOSSENS B, et al. Image denoising using quadtree-based nonlocal means with locally adaptive principal component analysis[J]. IEEE signal processing letters, 2016, 23(4): 434–438. [6] ZHANG Kai, ZUO Wangmeng, CHEN Yunjin, et al. Beyond a gaussian denoiser: residual learning of deep cnn for image denoising[J]. IEEE transactions on image processing, 2017, 26(7): 3142–3155. [7] 陈轶鸣, 夏景明, 陈轶才, 等. 结合稀疏表示与神经网络 的医学图像融合[J]. 河南科技大学学报(自然科学版), 2018, 39(2): 40–47. CHEN Yiming, XIA Jingming, CHEN Yicai, et al. Medical image fusion combining sparse representation and neural network[J]. Journal of Henan University of Science and Technology (natural science), 2018, 39(2): 40–47. [8] 解凯, 张芬. 基于过完备表示的图像去噪算法[J]. 电子学 报, 2013, 41(10): 1911–1916. XIE Kai, ZHANG Fen. Overcomplete representation base image denoising algorithm[J]. Acta electronica sinica, 2013, 41(10): 1911–1916. [9] BUDIANTO, LUN D P. Robust fringe projection profilometry via sparse representation[J]. IEEE transactions on image processing, 2016, 25(4): 1726–1739. [10] ZHANG Jian, ZHAO Debin, GAO Wen. Group-based sparse representation for image restoration[J]. IEEE transactions on image processing, 2014, 23(8): 3336–3351. [11] 占美全, 邓志良. 基于 L1 范数的总变分正则化超分辨率 图像重建[J]. 科学技术与工程, 2010, 10(28): 6903– [12] ·506· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第3期 徐久成，等：基于非凸加权L,范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·507· 6906 [19]GU Shuhang,XIE Qi,MENG Deyu,et al.Weighted nuc- ZHAN Meiquan,DENG Zhiliang.L norm of total vari- lear norm minimization and its applications to low level ation regularization based super resolution reconstruction vision[J].International journal of computer vision,2017, for images[J].Science technology and engineering,2010, 121(2):183-208. 10(28):6903-6906. [20]LUO Enming,CHAN S H.NGUYEN T Q.Adaptive im- [13]杨平先，陈明举.一种基于L1范数的非局部变分图像复 age denoising by mixture adaptation[J].IEEE transac- 原模型.液晶与显示，2017,32(8)：635-641。 tions on image processing,2016,25(10):4489-4503. YANG Pingxian,CHEN Mingju.A nonlocal total vari- [21]LIU Hangfan,XIONG Ruiqin,ZHANG Jian,et al.Image ation based on L norm for image recovery[J].Chinese denoising via adaptive soft-thresholding based on non- journal of liquid crystals and displays,2017,32(8): local samples[C]//Proceedings of IEEE Conference on 635-641. Computer Vision and Pattern Recognition.Boston,MA, [14]张艳艳，陈苏婷，葛俊祥，等.自适应非凸稀疏正则化下 USA.2015:484-492 自适应光学系统加性噪声的去除J几.物理学报，2017， [22]PAPYAN V,ELAD M.Multi-scale patch-based image 66(12):368-375 restoration[J].IEEE transactions on image processing, ZHANG Yanyan,CHEN Suting,GE Junxiang,et al.Re- 2016,25(1):249-261 moval of additive noise in adaptive optics system based 作者简介： on adaptive nonconvex sparse regularization[J].Acta 徐久成，男，1963年生，教授，中 physica sinica,2017,66(12:368-375. 国计算机学会副理事长，主要研究方 [15]ZHA Zhiyuan,LIU Xin,HUANG Xiaohua,et al.Analyz- 向为粒计算、粗糙集、数据挖掘和生物 ing the group sparsity based on the rank minimization 信息学。先后主持和参加国家级及省 部级项目10余项，其中主持国家自然 methods[C]//Proceedings of IEEE International Confer- 科学基金项目3项。发表学术论文 ence on Multimedia and Expo.Hong Kong,China,2017: 120余篇。 883-888 [16]ZUO Wangmeng,MENG Deyu,ZHANG Lei,et al.A 王楠.女，1993年生，硕士研究 generalized iterated shrinkage algorithm for non-convex 生，主要研究方向为机器学习、计算机 视觉。 sparse coding[Cl/Proceedings of IEEE International Con- ference on Computer Vision.Sydney,NSW,Australia, 2013:217-224. [17]ZHANG Xiaoqun,BURGER M,BRESSON X,et al. Bregmanized nonlocal regularization for deconvolution and sparse reconstruction[J].SIAM journal on imaging 王煜尧，男.1994年生，硕土研究 生，主要研究方向为机器学习、计算机 sciences,.2010,3(3:253-276. 视觉。 [18]DONG Weisheng,ZHANG Lei,SHI Guangming,et al. Nonlocally centralized sparse representation for image restoration[J].IEEE transactions on image processing, 2013.22(41620-1630
6906. ZHAN Meiquan, DENG Zhiliang. L1 norm of total variation regularization based super resolution reconstruction for images[J]. Science technology and engineering, 2010, 10(28): 6903–6906. 杨平先, 陈明举. 一种基于 L1 范数的非局部变分图像复 原模型[J]. 液晶与显示, 2017, 32(8): 635–641. YANG Pingxian, CHEN Mingju. A nonlocal total variation based on L1 norm for image recovery[J]. Chinese journal of liquid crystals and displays, 2017, 32(8): 635–641. [13] 张艳艳, 陈苏婷, 葛俊祥, 等. 自适应非凸稀疏正则化下 自适应光学系统加性噪声的去除[J]. 物理学报, 2017, 66(12): 368–375. ZHANG Yanyan, CHEN Suting, GE Junxiang, et al. Removal of additive noise in adaptive optics system based on adaptive nonconvex sparse regularization[J]. Acta physica sinica, 2017, 66(12): 368–375. [14] ZHA Zhiyuan, LIU Xin, HUANG Xiaohua, et al. Analyzing the group sparsity based on the rank minimization methods[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Multimedia and Expo. Hong Kong, China, 2017: 883–888. [15] ZUO Wangmeng, MENG Deyu, ZHANG Lei, et al. A generalized iterated shrinkage algorithm for non-convex sparse coding[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision. Sydney, NSW, Australia, 2013: 217–224. [16] ZHANG Xiaoqun, BURGER M, BRESSON X, et al. Bregmanized nonlocal regularization for deconvolution and sparse reconstruction[J]. SIAM journal on imaging sciences, 2010, 3(3): 253–276. [17] DONG Weisheng, ZHANG Lei, SHI Guangming, et al. Nonlocally centralized sparse representation for image restoration[J]. IEEE transactions on image processing, 2013, 22(4): 1620–1630. [18] GU Shuhang, XIE Qi, MENG Deyu, et al. Weighted nuclear norm minimization and its applications to low level vision[J]. International journal of computer vision, 2017, 121(2): 183–208. [19] LUO Enming, CHAN S H, NGUYEN T Q. Adaptive image denoising by mixture adaptation[J]. IEEE transactions on image processing, 2016, 25(10): 4489–4503. [20] LIU Hangfan, XIONG Ruiqin, ZHANG Jian, et al. Image denoising via adaptive soft-thresholding based on nonlocal samples[C]//Proceedings of IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Boston, MA, USA, 2015: 484–492. [21] PAPYAN V, ELAD M. Multi-scale patch-based image restoration[J]. IEEE transactions on image processing, 2016, 25(1): 249–261. [22] 作者简介： 徐久成，男，1963 年生，教授，中 国计算机学会副理事长，主要研究方 向为粒计算、粗糙集、数据挖掘和生物 信息学。先后主持和参加国家级及省 部级项目 10 余项，其中主持国家自然 科学基金项目 3 项。发表学术论文 120 余篇。 王楠，女，1993 年生，硕士研究 生，主要研究方向为机器学习、计算机 视觉。 王煜尧，男，1994 年生，硕士研究 生，主要研究方向为机器学习、计算机 视觉。 第 3 期 徐久成，等：基于非凸加权 Lp 范数稀疏误差约束的图像去噪算法 ·507·