第14卷第1期 智能系统学报 Vol.14 No.I 2019年1月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan.2019 D0:10.11992/tis.201805005 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180920.1120.002.html 结合MPGA-RBFNN的一般机器人逆运动学求解 张毅，刘芳君，胡磊 (重庆邮电大学重庆市信息无障碍与服务机器人工程技术研究中心，重庆400065) 摘要：针对一般机器人逆运动学求解过程中存在的求解速度慢、精度低的问题，将多种群遗传算法(multiple population genetic algorithm,MPGA)引入径向基函数神经网络(radial basis functions neural network,RBFNN),提出 一种适用于一般机器人的高精度MPGA-RBFNN算法。该算法采用3层结构的RBFNN进行一般机器人逆运动 学求解，结合一般机器人的正运动学模型，采用MPGA优化RBFNN的网络结构和连接权值的方法，同时应用 混合编码和演化的方式，实现了从机器人工作空间位姿到关节角度的非线性映射，从而避免了复杂的公式推导 并提高了求解速度。采用6R一般机器人作为实验平台进行实验，实验结果表明：MPGA-RBFNN算法不仅提高 了一般机器人在逆运动学中的求解速度，而且MPGA-RBFNN算法的训练成功率和逆解的计算准确率也得到了 提高。 关键词：多种群遗传算法；径向基函数神经网络；一般机器人：运动学逆解：混合编码：同时演化 中图分类号：TP241.2文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)01-0165-06 中文引用格式：张毅，刘芳君，胡磊.结合MPGA-RBFNN的一般机器人逆运动学求解.智能系统学报，2019,14(1)： 165-170. 英文引用格式：ZHANG Yi,LIUFangjun,HU Lei..A general robot inverse kinematics solution based on MPGA-RBFNN[J].CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(1):165-170. A general robot inverse kinematics solution based on MPGA-RBFNN ZHANG Yi,LIU Fangjun,HU Lei (Chongqing Information Accessibility and Service Robot Technology Research Center,Chongging University of Posts and Telecom- munications,Chongqing 400065,China) Abstract:In order to solve the problem of the inverse kinematics in a general robot,such as slow speed in problem-solv- ing and lower solution accuracy,a high-precision algorithm is proposed for general robots,which introduces Multiple Population Genetic Algorithm into Radial Basis Functions neural network (MPGA-RBFNN).Combined with the posit- ive kinematics model of general robots,a three-layer structure of RBFNN was used to solve the inverse kinematics,and the MPGA was adopted to optimize the network structure and connection weights of the RBFNN.By using hybrid cod- ing and simultaneous evolutionary means,the non-linear mapping of the position of the robot in the working space to the joint angle was realized,avoiding complicated formula derivation and improving the speed of problem-solving.Finally, an experiment was conducted using the general 6R robot.The results showed that the speed of solving the problem of the inverse kinematics of a general robot was improved by the MPGA-RBFNN algorithm,and the training success rate of the MPGA-RBFNN algorithm and the calculation accuracy of the inverse kinematics were enhanced. Keywords:MPGA:RBFNN:general robot:inverse kinematics:hybrid coding:simultaneous evolutionary 机器人逆运动学求解就是已知机器人末端位均不具备通用性且求解精度无法保证21。遗传 姿参数来计算各个关节角度值的过程。其常用 算法是根据生物进化现象演化而来的一种智能算 的方法包括封闭解法和数值解法，但这2种方法 法，搜索能力强，能够实现全局收敛。近年来， 一些研究人员将其应用到机器人的逆运动学求解 收稿日期：2018-05-07.网络出版日期：2018-09-25. 基金项目：国家自然科学基金项目(51775076,51604056) 中，并取得了一定的成果。林明等6提出了一种 通信作者：刘芳君.E-mail:Ifjyxl63@163.com. 改进的遗传算法，采用自适应的交叉和变异算
DOI: 10.11992/tis.201805005 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180920.1120.002.html 结合 MPGA-RBFNN 的一般机器人逆运动学求解 张毅，刘芳君，胡磊 （重庆邮电大学 重庆市信息无障碍与服务机器人工程技术研究中心，重庆 400065） 摘 要：针对一般机器人逆运动学求解过程中存在的求解速度慢、精度低的问题，将多种群遗传算法 (multiple population genetic algorithm，MPGA) 引入径向基函数神经网络 (radial basis functions neural network，RBFNN)，提出 一种适用于一般机器人的高精度 MPGA-RBFNN 算法。该算法采用 3 层结构的 RBFNN 进行一般机器人逆运动 学求解，结合一般机器人的正运动学模型，采用 MPGA 优化 RBFNN 的网络结构和连接权值的方法，同时应用 混合编码和演化的方式，实现了从机器人工作空间位姿到关节角度的非线性映射，从而避免了复杂的公式推导 并提高了求解速度。采用 6R 一般机器人作为实验平台进行实验，实验结果表明：MPGA-RBFNN 算法不仅提高 了一般机器人在逆运动学中的求解速度，而且 MPGA-RBFNN 算法的训练成功率和逆解的计算准确率也得到了 提高。 关键词：多种群遗传算法；径向基函数神经网络；一般机器人；运动学逆解；混合编码；同时演化 中图分类号：TP241.2 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)01−0165−06 中文引用格式：张毅, 刘芳君, 胡磊. 结合 MPGA-RBFNN 的一般机器人逆运动学求解[J]. 智能系统学报, 2019, 14(1): 165–170. 英文引用格式：ZHANG Yi, LIU Fangjun, HU Lei. A general robot inverse kinematics solution based on MPGA-RBFNN[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(1): 165–170. A general robot inverse kinematics solution based on MPGA-RBFNN ZHANG Yi，LIU Fangjun，HU Lei (Chongqing Information Accessibility and Service Robot Technology Research Center, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China) Abstract: In order to solve the problem of the inverse kinematics in a general robot, such as slow speed in problem-solving and lower solution accuracy, a high-precision algorithm is proposed for general robots, which introduces Multiple Population Genetic Algorithm into Radial Basis Functions neural network (MPGA-RBFNN). Combined with the positive kinematics model of general robots, a three-layer structure of RBFNN was used to solve the inverse kinematics, and the MPGA was adopted to optimize the network structure and connection weights of the RBFNN. By using hybrid coding and simultaneous evolutionary means, the non-linear mapping of the position of the robot in the working space to the joint angle was realized, avoiding complicated formula derivation and improving the speed of problem-solving. Finally, an experiment was conducted using the general 6R robot. The results showed that the speed of solving the problem of the inverse kinematics of a general robot was improved by the MPGA-RBFNN algorithm, and the training success rate of the MPGA-RBFNN algorithm and the calculation accuracy of the inverse kinematics were enhanced. Keywords: MPGA; RBFNN; general robot; inverse kinematics; hybrid coding; simultaneous evolutionary 机器人逆运动学求解就是已知机器人末端位 姿参数来计算各个关节角度值的过程[1]。其常用 的方法包括封闭解法和数值解法，但这 2 种方法 均不具备通用性且求解精度无法保证[2-3]。遗传 算法是根据生物进化现象演化而来的一种智能算 法，搜索能力强，能够实现全局收敛[4-5]。近年来， 一些研究人员将其应用到机器人的逆运动学求解 中，并取得了一定的成果。林明等[6]提出了一种 改进的遗传算法，采用自适应的交叉和变异算 收稿日期：2018−05−07. 网络出版日期：2018−09−25. 基金项目：国家自然科学基金项目 (51775076，51604056). 通信作者：刘芳君. E-mail：lfjyx163@163.com. 第 14 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.1 2019 年 1 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan. 2019
·166· 智能系统学报 第14卷 子，改进了排序方法，并在求解过程中使用了罚 一关节5 函数，对多解问题进行了优化，改善了收敛速度 和收敛精度。Ayyildiz等采用遗传算法与其他 4种不同的启发式优化算法在4R机械臂上求逆 运动学解进行对比，并通过2种不同的场景来测 试机器人末端执行器的运动，结果表明遗传算法 可以有效地降低末端执行器的误差。Starke等sl 提出了把遗传算法和粒子群优化算法的优点进行 混合，找到全姿态目标的解，结合共同的约束条 (a)Comau NJ-220型机器人(b)机器人的D-H参数系统 件，设计一个多目标适应度函数，利用局部极值 图1 Comau NJ-220型机器人及其D-H参数 获得精确的解。然而遗传算法对非线性问题的解 Fig.1 The Comau NJ-220 robot and the D-H parameters 决并不理想，求解精度无法得到保证。 表1 Comau NJ-220型机器人的关节参数 RBFNN是一种高效的前馈式神经网络9-o, Table 1 Joint parameters of the Comau NJ-220 robot 具有较好的非线性拟合能力，能够很好地逼近任 连杆i扭角a-/()长度a-mm偏置dmm关节角0rad 意复杂的非线性系统，处理多输入多输出问题。 0 0 830 【-2.9,2.9] 故Zubizarreta等)提出了使用人工神经网络对 2 -90 400 0 [-1.57,1.57J 3PRS机器人实时逆运动学问题进行计算，并实现 其实时性能。Toshani等I采用RBFNN求解机器 3 180 1175 0 [-1.57,1.57] 人逆运动学解，保证了网络权重和约束条件的收 4 -90 250 -1125 [-3.14,3.14] 敛性，并获得了较小的误差值。Koker1通过结合 -90 0 0 [-3.14,3.14] 遗传算法和神经网络的方法求解机器人运动学逆 6 90 0 -230 [-3.14,3.14] 解，并成功地使用遗传算法将神经网络求解结果 的浮点数部分提高了I0位有效数字。尽管RBFNN 根据表1的D-H参数，相邻坐标系间的变换 在求解机器人逆运动学解上取得了一定的成果， 矩阵为 但其仍然存在网络结构不完善、连接权值无法取 T=Screwx(a.a-)Screwz(d.0)= 得最优的缺陷，而且采用遗传算法优化RBFNN cos; -sin0; 0 a-1 存在易陷入局部极值导致输出误差偏大的缺陷。 sin0;cosa;1 cos0:cosa1 -sina1 -d;sinai-1 sin0:sin ai-1 cos;sinai- cosai-1 dicosai- 本文采用RBFNN来求解一般机器人逆运动 0 0 0 学解，结合一般机器人的正运动学模型，采用MPGA (1) 优化RBFNN的网络结构和连接权值的方法，并 依次连乘变换矩阵，即可得到末端执行器坐 应用混合编码和同时演化的方式，实现了从机器 标系到机器人基坐标系的变换关系： 人工作空间位姿到关节角度的非线性映射，从而 n O a n, a, P 避免了复杂的公式推导，提高了求解速度。最 8 a. P (2) 后，通过实验证明了该算法有效解决了机器人的 0 00 逆运动学问题，并提高了求解速度和计算精度。 p0,2,4,04,0s,6) 根据式(2)可以求出机器人运动学正解，即末 1运动学分析 端执行器的姿态R(n,n,n,0,0,0,a,a,a)和位置 本文采用改进的D-H算法s1对Comau N. P(p,P,P)。同时通过运动学正解得到机器人操 220型机器人进行运动学建模，得到如图1所示 作空间数据集。根据坐标变换原理6，可得到末 的机器人D-H模型。在关节5处，该机器人存在 端执行器姿态R的RPY欧拉角B、a、Y: 沿Z方向的轴向偏移d,导致机器人末端3个轴的 B arctan2(n.) (3) 轴线不相交，D-H参数发生变化。此时，该机器 a arctan 2(n,n,) (4) 人为一般机器人，其连杆参数见表1。其中，a-表 y=arctan2(0:,a.) (5) 示第i-1个连杆的长度，a-1是第i-1个连杆的扭 在运动学求逆解过程中，将B、a、y、P、B、 角，第i-1个连杆与第个连杆之间的距离是d、第 p作为输入变量，关节变量(01,2,4,0,0,6)作为模 -1个连杆与第i个连杆之间的夹角为0。 型的输出变量
子，改进了排序方法，并在求解过程中使用了罚 函数，对多解问题进行了优化，改善了收敛速度 和收敛精度。Ayyildiz 等 [7]采用遗传算法与其他 4 种不同的启发式优化算法在 4R 机械臂上求逆 运动学解进行对比，并通过 2 种不同的场景来测 试机器人末端执行器的运动，结果表明遗传算法 可以有效地降低末端执行器的误差。Starke 等 [8] 提出了把遗传算法和粒子群优化算法的优点进行 混合，找到全姿态目标的解，结合共同的约束条 件，设计一个多目标适应度函数，利用局部极值 获得精确的解。然而遗传算法对非线性问题的解 决并不理想，求解精度无法得到保证。 RBFNN 是一种高效的前馈式神经网络[9-10] ， 具有较好的非线性拟合能力，能够很好地逼近任 意复杂的非线性系统，处理多输入多输出问题。 故 Zubizarreta 等 [11]提出了使用人工神经网络对 3PRS 机器人实时逆运动学问题进行计算，并实现 其实时性能。Toshani 等 [12]采用 RBFNN 求解机器 人逆运动学解，保证了网络权重和约束条件的收 敛性，并获得了较小的误差值。Köker[13]通过结合 遗传算法和神经网络的方法求解机器人运动学逆 解，并成功地使用遗传算法将神经网络求解结果 的浮点数部分提高了 10 位有效数字。尽管 RBFNN 在求解机器人逆运动学解上取得了一定的成果， 但其仍然存在网络结构不完善、连接权值无法取 得最优的缺陷，而且采用遗传算法优化 RBFNN 存在易陷入局部极值导致输出误差偏大的缺陷[14]。 本文采用 RBFNN 来求解一般机器人逆运动 学解，结合一般机器人的正运动学模型，采用 MPGA 优化 RBFNN 的网络结构和连接权值的方法，并 应用混合编码和同时演化的方式，实现了从机器 人工作空间位姿到关节角度的非线性映射，从而 避免了复杂的公式推导，提高了求解速度。最 后，通过实验证明了该算法有效解决了机器人的 逆运动学问题，并提高了求解速度和计算精度。 1 运动学分析 Z5 d5 ai−1 i−1 αi−1 i−1 i−1 i di i−1 i θi 本文采用改进的 D-H 算法[15]对 Comau NJ- 220 型机器人[2]进行运动学建模，得到如图 1 所示 的机器人 D-H 模型。在关节 5 处，该机器人存在 沿 方向的轴向偏移 ，导致机器人末端 3 个轴的 轴线不相交，D-H 参数发生变化。此时，该机器 人为一般机器人，其连杆参数见表 1。其中， 表 示第 个连杆的长度， 是第 个连杆的扭 角，第 个连杆与第 个连杆之间的距离是 、第 个连杆与第 个连杆之间的夹角为 。 d4 d6 x5 z5 x6 x4 z4 z6 x3 a4 z3 a3 z1 x1 x2 x2 d1 z0 x0 a2 z y x (a) Comau NJ-220 型机器人 (b) 机器人的 D-H 参数系统 关节5 图 1 Comau NJ-220 型机器人及其 D-H 参数 Fig. 1 The Comau NJ-220 robot and the D-H parameters 表 1 Comau NJ-220 型机器人的关节参数 Table 1 Joint parameters of the Comau NJ-220 robot 连杆 i 扭角 αi−1/(°) 长度 ai−1/mm 偏置 di /mm 关节角 θi /rad 1 0 0 830 [−2.9, 2.9] 2 −90 400 0 [−1.57, 1.57] 3 180 1 175 0 [−1.57, 1.57] 4 −90 250 −1 125 [−3.14, 3.14] 5 −90 0 10 [−3.14, 3.14] 6 90 0 −230 [−3.14, 3.14] 根据表 1 的 D-H 参数，相邻坐标系间的变换 矩阵为 i−1 i T = ScrewX(ai−1,αi−1)ScrewZ(di , θi) = cos θi −sinθi 0 ai−1 sinθi cosαi−1 cos θi cosαi−1 −sinαi−1 −disinαi−1 sinθisinαi−1 cos θisinαi−1 cosαi−1 di cosαi−1 0 0 0 1 (1) 依次连乘变换矩阵，即可得到末端执行器坐 标系到机器人基坐标系的变换关系： 0 6T = ∏6 i=1 i−1 i T = nx ox ax px ny oy ay py nz oz az pz 0 0 0 1 = p(θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) (2) R(nx , ny , nz , ox , oy , oz , ax , ay , az) P(px , py , pz) β α γ 根据式 (2) 可以求出机器人运动学正解，即末 端执行器的姿态 和位置 。同时通过运动学正解得到机器人操 作空间数据集。根据坐标变换原理[16] ，可得到末 端执行器姿态 R 的 RPY 欧拉角 、 、 ： β = arctan 2(−nz , √ n 2 x + n 2 y ) (3) α = arctan 2(ny , nx) (4) γ = arctan 2(oz , az) (5) β α γ px py pz (θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) 在运动学求逆解过程中，将 、 、 、 、 、 作为输入变量，关节变量 作为模 型的输出变量。 ·166· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第1期 张毅，等：结合MPGA-RBFNN的一般机器人逆运动学求解 ·167· 2MPGA-RBFNN算法 在隐含层的选择中，本文采用RBFNN中常 用的高斯函数作为基函数： 为了解决一般机器人逆运动学求解过程中存 在的求解速度慢、求解精度低的问题，本文提出 (x,x)=G(x,x)=G(llx-xill)exp( 26-x) 了采用MPGA来优化RBFNN网络结构和连接权 (6) 值的方法，并应用混合编码和同时演化的方式， 式中：xeR为n维输入向量；xeR是第i个RBFNN 隐含层单元的中心矢量；b,是第i个RBFNN隐含 实现从机器人工作空间位姿到关节角度的非线性 层单元的宽度。则第个RBFNN的输出可以表示 映射，从而避免了复杂的公式推导及计算量大的 问题。MPGA优化RBFNN的过程如图2所示。 为n个基函数的线性加权和： 输入数据 MPGA部分 RBFNN部分 =∑o×= e4×ep-交r-功仞 设置种群 及优化目标 RBFNN初始模型 定义在时刻k网络的误差函数为 数据预处理 计算适应度值 编码隐含层神经 =2的-. (8) 元、权重、阅值 k=1 选择运算 选择运算 式中t(k)是在时刻k网络的期望输出。 RBFNN 最优初始模型 2.2设计编码方案 交叉运算 交叉运算 计算误差 假设RBFNN的隐含层神经元的最大个数为 L,输出神经元为n,则MPGA的染色体编码为 变异运算 变异运算 权值阈值更新 一移民运到： C1Cz…Ci1iw21…ww12w22…wn1md2m…2…b →移民运算 (9) 下一代种群 下一代种群 达到训练 N 式中：c1c2…c1是隐含层神经元的编码方案； 目标 N Y W111…Iω122 pi2m…wm是连接权值的 达到优化 目标 训练结束 编码方案；bb2…bm是输入层与隐含层之间阈值 的编码方式，采用实数编码，b为第个输出层神 图2MPGA-RBFNN算法流程 经元的阈值。 Fig.2 Algorithm flow chart of MPGA-RBFNN 2.3适应度函数 在图2中，为了达到搜索要求，MPGA根据种 适应度函数是评价算法的重要指标，而在神 群的差异，设置不同的控制参数，并将多个种群进 经网络中包括实际输出误差和期望输出误差，因 行同时优化搜索；为了实现多个种群之间的协同进 此本文引入适应度函数为 1 化，MPGA在不同的种群之间通过移民算子进行联系。 F= e(k) (10) 2.1 RBFNN结构 含-y. RBFNN具有较好的非线性拟合能力，能够很 式中e(k)为神经网络实际输出与期望输出的误差 好地逼近任意复杂的非线性系统，处理多输入多输 平方和。一般认为，误差越小，适应度越高，反之 出问题。在本文的网络结构中，将末端执行器的 亦然。 空间位姿P={p,P,P,B,a,y作为RBFNN的6个 2.4构建遗传算子 输入；输出量为各个关节角度(0,2,0,0，s,06),即所 选择算子采用基于轮盘赌法的非线性排名策 求的逆解。故RBFNN求逆解网络结构如图3所示。 略，即每个个体进入下一代的概率等于其适应度 值与整个种群个体适应度值的总和，并且适应度 值大的个体，进入下一代的可能性就越大。交叉 算子采用多点交叉与均匀交叉相结合的方式，促 进解空间进行稳定、高效的搜索，避免早熟现象 发生。交叉概率为 Pe(i)=Pemin(i)x(1-rand(N,1))+Pemax(i)xrand(N,1) (11) 输入层 隐含层 输出层 式中：Pmm()是第i个种群交叉概率最小值；Pcm(① 图3 RBFNN求逆解网络结构 是第i个种群交叉概率最大值。 Fig.3 RBFNN structure in solving inverse kinematics 变异算子采用基于动态变异率的变异算子
2 MPGA-RBFNN 算法 为了解决一般机器人逆运动学求解过程中存 在的求解速度慢、求解精度低的问题，本文提出 了采用 MPGA 来优化 RBFNN 网络结构和连接权 值的方法，并应用混合编码和同时演化的方式， 实现从机器人工作空间位姿到关节角度的非线性 映射，从而避免了复杂的公式推导及计算量大的 问题。MPGA 优化 RBFNN 的过程如图 2 所示。 Y Y N N 输入数据 数据预处理 MPGA 部分 设置种群 及优化目标 计算适应度值 选择运算 选择运算 交叉运算 交叉运算 变异运算 变异运算 移民运算 移民运算 下一代种群 下一代种群 达到优化 目标 RBFNN 部分 RBFNN 初始模型 编码隐含层神经 元、权重、阈值 RBFNN 最优初始模型 计算误差 权值阈值更新 达到训练 目标 训练结束 图 2 MPGA-RBFNN 算法流程 Fig. 2 Algorithm flow chart of MPGA-RBFNN 在图 2 中，为了达到搜索要求，MPGA 根据种 群的差异，设置不同的控制参数，并将多个种群进 行同时优化搜索；为了实现多个种群之间的协同进 化，MPGA在不同的种群之间通过移民算子进行联系。 2.1 RBFNN 结构 P = {px , py , pz , β,α, γ} (θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) RBFNN 具有较好的非线性拟合能力，能够很 好地逼近任意复杂的非线性系统，处理多输入多输 出问题[17]。在本文的网络结构中，将末端执行器的 空间位姿 作为 RBFNN 的 6 个 输入；输出量为各个关节角度 ，即所 求的逆解。故 RBFNN 求逆解网络结构如图 3 所示。 px Φ0 ωjk ωij py pz β α γ 输入层 隐含层 输出层 θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 … 图 3 RBFNN 求逆解网络结构 Fig. 3 RBFNN structure in solving inverse kinematics 在隐含层的选择中，本文采用 RBFNN 中常 用的高斯函数作为基函数： ϕ(x, xi) = G(x, xi) = G(∥x− xi∥) = exp(− 1 2bi 2 ∥x− xi∥) (6) x ∈ R n xi ∈ R i bi i i n 式中： 为 维输入向量； 是第 个 RBFNN 隐含层单元的中心矢量； 是第 个 RBFNN 隐含 层单元的宽度。则第 个 RBFNN 的输出可以表示 为 个基函数的线性加权和： yn(k) = ∑n i=1 ωi ×ϕ(x, xi) = ∑n i=1 ωi ×exp(− 1 2b 2 i ∥x− xi∥) (7) 定义在时刻 k 网络的误差函数为 e(k) = ∑n k=1 [ t(k)− yn(k) ] (8) 式中 t(k) 是在时刻 k 网络的期望输出。 2.2 设计编码方案 l n 假设 RBFNN 的隐含层神经元的最大个数为 ，输出神经元为 ，则 MPGA 的染色体编码为 c1 c2 ··· clω11ω21 ···ωl1ω12ω22 ···ωl2ω1mω2m ···ωlm b1 b2 ··· bm (9) c1 c2 ··· cl ω11ω21 ···ωl1ω12ω22 ···ωl2ω1mω2m ···ωlm b1 b2 ··· bm bj j 式中： 是隐含层神经元的编码方案； 是连接权值的 编码方案； 是输入层与隐含层之间阈值 的编码方式，采用实数编码， 为第 个输出层神 经元的阈值。 2.3 适应度函数 适应度函数是评价算法的重要指标，而在神 经网络中包括实际输出误差和期望输出误差，因 此本文引入适应度函数为 F = 1 e(k) = 1 ∑n k=1 [ t(k)− yn(k) ] (10) 式中 e(k) 为神经网络实际输出与期望输出的误差 平方和。一般认为，误差越小，适应度越高，反之 亦然。 2.4 构建遗传算子 选择算子采用基于轮盘赌法的非线性排名策 略，即每个个体进入下一代的概率等于其适应度 值与整个种群个体适应度值的总和，并且适应度 值大的个体，进入下一代的可能性就越大。交叉 算子采用多点交叉与均匀交叉相结合的方式，促 进解空间进行稳定、高效的搜索，避免早熟现象 发生。交叉概率为 Pc(i) = Pcmin(i)×(1−rand(N,1))+ Pcmax(i)×rand(N,1) (11) 式中： Pcmin(i) 是第 i 个种群交叉概率最小值； Pcmax(i) 是第 i 个种群交叉概率最大值。 变异算子采用基于动态变异率的变异算子。 第 1 期 张毅，等：结合 MPGA-RBFNN 的一般机器人逆运动学求解 ·167·
·168· 智能系统学报 第14卷 常用的变异概率值为 10- P(i)=Pomin(i)x(1-rand(N,1))+Pomax(i)x rand(N,1) (12) 式中：Pbmm(①是第i个种群变异概率最小值， 2 Pomax((①是第i个种群变异概率最大值。 引入动态变异率后，在每代算法运行后调整 概率值为 -3 P6(i+1)= P() GEN-gen 3 GEN -P.)(13) 0 102030405060708090100 式中：P(①是第i个种群的交叉概率；P(i+1)是第 样本数 i+1个种群的变异概率；gen是当前算法的运行代 (C)MPGA-RBFNN输出误差 数；GEN是算法运行总代数。 图43种算法输出误差图 Fig.4 The output error of three kinds of algorithm 3实验论证 由图4可得，3种算法都完成了求解过程， 为了验证MPGA-RBFNN在逆运动学求解上 MPGA求解时的输出误差数量级维持在103上， 的有效性，分别采用MPGA、RBFNN和MPGA- 而RBFNN求解时的输出误差数量级维持在1O4 RBFNN对Comau NJ-.220型一般机器人进行逆运 上，但MPGA-RBFNN计算运动学逆解时的输出 动学求解。 误差数量级维持在1O-上，相比于MPGA和RBFNN, 3.1算法的求解精度分析 在数量级上提高了一个数量级，说明MPGA-RBFNN 采用不重复的随机抽样法从训练样本 取得的解最优，即最接近目标值。 {P,P,PB,,y}中选择100组关节角对应的100个 为了进一步对比3种算法的差异，根据机器 空间位姿作为网络的输入样本，将训练样本规范 人各关节角的变化范围以及机器人实际工作的要 化后作为RBFNN的输入，网络的输出则是关节 求，确定各关节角的取值范围为：-2.9≤01≤2.9， 角O,对RBFNN进行训练，将误差指标设为10-5，以 A为例，进行实验。MPGA、RBFNN和所述MPGA -1.57≤02,4≤1.57，-3.14≤04,04,0%≤3.14。重新在 RBFNN在相同训练次数时的输出误差如图4所示。 Comau NJ-.220机器人运动范围内随机抽取与之 前100组不重复的50组关节角0，数据，用来作为 10 测试数据进行验证，其中3组的结果如表2所示。 对比表2中的数据，MPGA的输出误差范围 为[-0.004031,0.003115]，RBFNN的输出误差范 围为[-0.001094,0.000918]，而MPGA-RBFNN算 法的输出误差范围为[-0.000001,0.000292]。通 3 过第1组数据中关节角2求解结果可知，MPGA 求解运动学逆解时的误差值为0.003086，RBFNN 0102030405060708090100 样本数 求解运动学逆解时的误差值为0.000273，而MPGA- (a)MPGA输出误差 RBFNN的误差值为0.000009，相比于MPGA 与RBFNN同比提高99.7%和96.7%。综上所述， 10 虽然MPGA与RBFNN都能近似求出机器人运动 学逆解，但MPGA-RBFNN算法的计算精度 更好。 3.2算法的求解速度分析 得到训练样本后，应用MATLAB中神经网络 工具箱的网络训练newrb函数进行RBFNN的创 建与训练，其调用格式为net=newrb(P,T,goal, 0102030405060708090100 样本数 spread,MN,DF),P为网络输人，T为网络输出， (b)RBFNN输出误差 goal为网络输出目标值，spread为RBFNN的扩展
常用的变异概率值为 Pb(i) = Pbmin(i)×(1−rand(N,1))+ Pbmax(i)×rand(N,1) (12) Pbmin(i) i Pbmax(i) 式中： 是 第 个种群变异概率最小值， 是第 i 个种群变异概率最大值。 引入动态变异率后，在每代算法运行后调整 概率值为 Pb(i+1) = Pc(i) 3 − ( GEN−gen GEN ) ×( Pc(i) 3 − Pb(i)) (13) Pc(i) i Pb(i+1) i+1 gen GEN 式中： 是第 个种群的交叉概率； 是第 个种群的变异概率； 是当前算法的运行代 数； 是算法运行总代数。 3 实验论证 为了验证 MPGA-RBFNN 在逆运动学求解上 的有效性，分别采用 MPGA、RBFNN 和 MPGARBFNN 对 Comau NJ-220 型一般机器人进行逆运 动学求解。 3.1 算法的求解精度分析 { Px , Py , Pz , β,α, γ} θi 10−5 θ2 采用不重复的随机抽样法从训练样本 中选择 100 组关节角对应的 100 个 空间位姿作为网络的输入样本，将训练样本规范 化后作为 RBFNN 的输入，网络的输出则是关节 角 ，对 RBFNN 进行训练，将误差指标设为 ，以 为例，进行实验。MPGA、RBFNN 和所述 MPGARBFNN 在相同训练次数时的输出误差如图 4 所示。 10−5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 输出误差/(°) MPGA 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 样本数 (c) MPGA-RBFNN 输出误差 图 4 3 种算法输出误差图 Fig. 4 The output error of three kinds of algorithm 10−3 10−4 10−5 由图 4 可得， 3 种算法都完成了求解过程， MPGA 求解时的输出误差数量级维持在 上 ， 而 RBFNN 求解时的输出误差数量级维持在 上，但 MPGA-RBFNN 计算运动学逆解时的输出 误差数量级维持在 上，相比于 MPGA 和 RBFNN， 在数量级上提高了一个数量级，说明 MPGA-RBFNN 取得的解最优，即最接近目标值。 −2.9 ⩽ θ1 ⩽ 2.9 −1.57 ⩽ θ2, θ3 ⩽ 1.57 −3.14 ⩽ θ4, θ5, θ6 ⩽ 3.14 θi 为了进一步对比 3 种算法的差异，根据机器 人各关节角的变化范围以及机器人实际工作的要 求，确定各关节角的取值范围为： ， ， 。重新在 Comau NJ-220 机器人运动范围内随机抽取与之 前 100 组不重复的 50 组关节角 数据，用来作为 测试数据进行验证，其中 3 组的结果如表 2 所示。 θ2 对比表 2 中的数据，MPGA 的输出误差范围 为[−0.004 031，0.003 115]，RBFNN 的输出误差范 围为[−0.001 094，0.000 918]，而 MPGA-RBFNN 算 法的输出误差范围为[−0.000 001，0.000 292]。通 过第 1 组数据中关节角 求解结果可知，MPGA 求解运动学逆解时的误差值为 0.003 086，RBFNN 求解运动学逆解时的误差值为 0.000 273，而 MPGARBFNN 的误差值为 0.000 009，相比于 MPGA 与 RBFNN 同比提高 99.7% 和 96.7%。综上所述， 虽然 MPGA 与 RBFNN 都能近似求出机器人运动 学逆解， 但 MPGA-RBFNN 算法的计算精度 更好。 3.2 算法的求解速度分析 得到训练样本后，应用 MATLAB 中神经网络 工具箱的网络训练 newrb 函数进行 RBFNN 的创 建与训练，其调用格式为 net=newrb(P，T，goal， spread，MN，DF)，P 为网络输入，T 为网络输出， goal 为网络输出目标值，spread 为 RBFNN 的扩展 (a) MPGA 输出误差 10−3 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 输出误差/(°) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10−4 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 输出误差/(°) MPGA 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 样本数 样本数 (b) RBFNN 输出误差 ·168· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第1期 张毅，等：结合MPGA-RBFNN的一般机器人逆运动学求解 ·169· 速度，MN为训练次数，DF为两次显示之间所添 设置为：goal=10-5,spread-=l,MN=200,DF=5,其网 加的神经元数目。根据多次实验，得到其参数的 络训练如图5所示。 表2逆解结果 Table 2 Inverse kinematics solution results 序号 类型 a/) 02/) /) 04/) 0s/) 061/) 目标值 -90.000000 -45.000000 90.000000 90.000000 90.000000 45.000000 MPGA -90.002193 -45.003086 90.003115 90.002009 90.001961 45.001583 RBFNN -89.999823 -45.000273 90.000419 90.000173 89.999798 45.000215 MPGA-RBFNN -90.000014 -45.000009 89.999986 90.000010 90.000004 45.000008 目标值 45.000000 -45.000000 45.000000 60.000000 -90.000000 0.000000 MPGA 44.998493 -45.001625 45.000118 60.001894 -89.998255 0.001706 RBFNN 45.000159 -44.999092 45.000510 60.000918 -90.001094 -0.001006 MPGA-RBFNN 44.999972 -45.000019 45.000017 60.000010 -89.999708 0.000021 目标值 15.000000 -35.000000 45.000000 -90.000000 -45.000000 90.000000 MPGA 15.002159 -35.001357 45.001268 90.001158 -45.004031 90.002420 RBFNN 15.000208 -35.000237 44.999959 90.000108 -44.999391 90.000216 MPGA-RBFNN 15.000010 -34.999990 44.999869 90.000003 -45.000021 89.999903 -一性能趋势 4结束语 10 一目标 10o 本文结合MPGA和RBFNN的思想，提出了 适用于一般机器人逆运动学求解的MPGA-RBFNN 算法。该算法结合一般机器人的正运动学模型， 采用MPGA优化RBFNN的网络结构和连接权值 10 的方法，并应用混合编码和同时演化的方式，实 10 现从机器人工作空间位姿到关节变量的非线性映 0 20406080100120140160180200 训练次数 射，从而避免了复杂的公式推导及计算量大的问 图5MPGA-RBFNN网络性能训练 题。最后，在Comau NJ-.220型机器人上展开对比 Fig.5 Performance training of MPGA-RBFNN 实验，实验结果表明：MPGA-RBFNN2算法不仅提 从图5可以看出，经过183次训练后，网络的 高了一般机器人在逆运动学求解时的稳定性，而 训练精度为105，达到最初的目标要求。为了验 且该算法的训练成功率和逆解的计算准确率也得 证MPGA-RBFNN的训练成功率，采用了3OO0个 到了提高。 样本得到3种算法的性能对比结果如表3所示， 参考文献： 在同样的样本数量下，MPGA-RBFNN的训练成 功率为95%，对比其他2种算法，分别增长了23% [1]FARIA C,FERREIRA F,ERLHAGEN W,et al.Position- 和11%，虽然与MPGA和RBFNN相比MPGA- based kinematics for 7-DoF serial manipulators with glob- RBFNN的收敛步数有所增加，但MPGA-RBFNN al configuration control,joint limit and singularity avoid- ance[J].Mechanism and machine theory,2018,121: 的运行时间和训练成功率更具优势。未来的工作 317-334 将针对收敛步数做进一步的研究。 [2]林阳，赵欢.丁汉.基于多种群遗传算法的一般机器人逆 表3算法性能对比 运动学求解[J.机械工程学报，2017,53(3)：1-8 Table 3 Contrasts in algorithm performance LIN Yang,ZHAO Huan,DING Han.Solution of inverse 样本 训练成 收敛 运行 算法 kinematics for general robot manipulators based on mul- 数量 功率% 步数 时间s tiple population genetic algorithm[J].Journal of mechanic- MPGA 3000 72 131 10.44 al engineering,2017,53(3):1-8. RBFNN 3000 84 117 9.36 [3]LIU Yuan,WANG Daqing,SUN Jian,et al.Geometric MPGA-RBFNN 3 000 95 183 approach for inverse kinematics analysis of 6-Dof serial ro- 9.58 bot[Cl//IEEE International Conference on Information and
速度，MN 为训练次数，DF 为两次显示之间所添 加的神经元数目。根据多次实验，得到其参数的 10 设置为： −5 goal= ，spread=1，MN=200，DF=5，其网 络训练如图 5 所示。 表 2 逆解结果 Table 2 Inverse kinematics solution results 序号 类型 θ1/( ◦ ) θ2/( ◦ ) θ3/( ◦ ) θ4/( ◦ ) θ5/( ◦ ) θ6/( ◦ ) 1 目标值 −90.000 000 −45.000 000 90.000 000 90.000 000 90.000 000 45.000 000 MPGA −90.002 193 −45.003 086 90.003 115 90.002 009 90.001 961 45.001 583 RBFNN −89.999 823 −45.000 273 90.000 419 90.000 173 89.999 798 45.000 215 MPGA-RBFNN −90.000 014 −45.000 009 89.999 986 90.000 010 90.000 004 45.000 008 2 目标值 45.000 000 −45.000 000 45.000 000 60.000 000 −90.000 000 0.000 000 MPGA 44.998 493 −45.001 625 45.000 118 60.001 894 −89.998 255 0.001 706 RBFNN 45.000 159 −44.999 092 45.000 510 60.000 918 −90.001 094 −0.001 006 MPGA-RBFNN 44.999 972 −45.000 019 45.000 017 60.000 010 −89.999 708 0.000 021 3 目标值 15.000 000 −35.000 000 45.000 000 −90.000 000 −45.000 000 90.000 000 MPGA 15.002 159 −35.001 357 45.001 268 90.001 158 −45.004 031 90.002 420 RBFNN 15.000 208 −35.000 237 44.999 959 90.000 108 −44.999 391 90.000 216 MPGA-RBFNN 15.000 010 −34.999 990 44.999 869 90.000 003 −45.000 021 89.999 903 102 100 10−2 10−4 10−6 精度 性能趋势 目标 训练次数 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 图 5 MPGA-RBFNN 网络性能训练 Fig. 5 Performance training of MPGA-RBFNN 10−5 从图 5 可以看出，经过 183 次训练后，网络的 训练精度为 ，达到最初的目标要求。为了验 证 MPGA-RBFNN 的训练成功率，采用了 3 000 个 样本得到 3 种算法的性能对比结果如表 3 所示， 在同样的样本数量下，MPGA-RBFNN 的训练成 功率为 95%，对比其他 2 种算法，分别增长了 23% 和 11%，虽然与 MPGA 和 RBFNN 相比 MPGARBFNN 的收敛步数有所增加，但 MPGA-RBFNN 的运行时间和训练成功率更具优势。未来的工作 将针对收敛步数做进一步的研究。 表 3 算法性能对比 Table 3 Contrasts in algorithm performance 算法 样本 数量 训练成 功率/% 收敛 步数 运行 时间/s MPGA 3 000 72 131 10.44 RBFNN 3 000 84 117 9.36 MPGA-RBFNN 3 000 95 183 9.58 4 结束语 本文结合 MPGA 和 RBFNN 的思想，提出了 适用于一般机器人逆运动学求解的 MPGA-RBFNN 算法。该算法结合一般机器人的正运动学模型， 采用 MPGA 优化 RBFNN 的网络结构和连接权值 的方法，并应用混合编码和同时演化的方式，实 现从机器人工作空间位姿到关节变量的非线性映 射，从而避免了复杂的公式推导及计算量大的问 题。最后，在 Comau NJ-220 型机器人上展开对比 实验，实验结果表明：MPGA-RBFNN算法不仅提 高了一般机器人在逆运动学求解时的稳定性，而 且该算法的训练成功率和逆解的计算准确率也得 到了提高。 参考文献： FARIA C, FERREIRA F, ERLHAGEN W, et al. Positionbased kinematics for 7-DoF serial manipulators with global configuration control, joint limit and singularity avoidance[J]. Mechanism and machine theory, 2018, 121: 317–334. [1] 林阳, 赵欢, 丁汉. 基于多种群遗传算法的一般机器人逆 运动学求解[J]. 机械工程学报, 2017, 53(3): 1–8. LIN Yang, ZHAO Huan, DING Han. Solution of inverse kinematics for general robot manipulators based on multiple population genetic algorithm[J]. Journal of mechanical engineering, 2017, 53(3): 1–8. [2] LIU Yuan , WANG Daqing , SUN Jian , et al. Geometric approach for inverse kinematics analysis of 6-Dof serial robot[C]// IEEE International Conference on Information and [3] 第 1 期 张毅，等：结合 MPGA-RBFNN 的一般机器人逆运动学求解 ·169·
·170· 智能系统学报 第14卷 Automation.Lijiang,China:IEEE,2015:852-855 ulators based on error minimization[J].Information sci- [4]ZANG Wenke,REN Liyan,ZHANG Wenqian,et al.A ences..2013,222:528-543 cloud model based DNA genetic algorithm for numerical [14]JIA Weikuan,ZHAO Dean,DING Ling.An optimized optimization problems[J].Future generation computer sys- RBF neural network algorithm based on partial least tems,2018,81:465-477. squares and genetic algorithm for classification of small [5]ALSHRAIDEH M A.Multiple-population genetic al- sample[J].Applied soft computing,2016,48:373-384. gorithm for solving min-max optimization problems[J].In- [15]ZAPLANA I,BASANEZ L.A novel closed-form solu- ternational review on computers and software,2015,10(1): tion for the inverse kinematics of redundant manipulators 9-19. through workspace analysis[J].Mechanism and machine [6]林明，王冠，林永才.改进的遗传算法在机器人逆解中的 theory,2018,121:829-843. 应用.江苏科技大学学报（自然科学版），2012,26(4)： [16]赵建强，刘满禄，王姮.基于PSO优化BP神经网络的 370-375. 逆运动学求解研究[J].自动化与仪表，2016,31(11)： LIN Ming,WANG Guan,LIN Yongcai.Robot inverse kin- 1-6. ematics based on improved genetic algorithm[J.Journal of ZHAO Jiangiang,LIU Manlu,WANG Heng.Research on Jiangsu university of science and technology (natural sci- inverse kinematics solution of BP neural network based ence edition),2012,26(4):370-375. on PSO optimization[J].Automation and instrumentation, [7]AYYILDIZ M,CETINKAYA K.Comparison of four dif- 2016,31(11):1-6. ferent heuristic optimization algorithms for the inverse kin- [17刀乔俊飞，安茹，韩红桂.基于相对贡献指标的自组织 ematics solution of a real 4-DOF serial robot mani- RBF神经网络的设计.智能系统学报，2018,13(2)： pulator[J].Neural computing and applications,2016,27(4): 159-167. 825-836 [8]STARKE S,HENDRICH N,MAGG S,et al.An efficient QIAO Junfei,AN Ru,HAN Honggui.Design of self-or- ganizing RBF neural network based on relative contribu- hybridization of Genetic Algorithms and Particle Swarm tion index[J.CAAl transactions on intelligent systems, Optimization for inverse kinematics[Cl//Proceedings of the 2018,13(2:159-167 2016 IEEE International Conference on Robotics and Bio- mimetics.Qingdao,China:IEEE,2017:1782-1789. 作者简介： [9]HALALI M A,AZARI V,ARABLOO M,et al.Applica- 张毅，男，1966年生，教授，主要 tion of a radial basis function neural network to estimate 研究方向为智能机器人、数据融合、信 pressure gradient in water-oil pipelines[J].Journal of the 息无障碍技术。主持国家、省部级以 Taiwan institute of chemical engineers,2016,58:189-202. 及产学研等各种项目10余项。发表 学术论文100余篇，被SCI、EI和ISTP [10]CHIDDARWAR S S,BABU N R.Comparison of RBF 收录30余篇。出版著作5部。 and MLP neural networks to solve inverse kinematic problem for 6R serial robot by a fusion approach[J].En- gineering applications of artificial intelligence,2010, 刘芳君，女，1990年生，硕士研究 23(7):1083-1092. 生，主要研究方向为工业机器人轨迹 [11]ZUBIZARRETA A.LARREA M.IRIGOYEN E,et al. 规划。 Real time direct kinematic problem computation of the 3PRS robot using neural networks[J].Neurocomputing, 2017,271:104-114 [12]TOSHANI H,FARROKHI M.Real-time inverse kin- 胡磊.男，1994年生，硕士研究 ematics of redundant manipulators using neural networks 生，主要研究方向为工业机器人运动 and quadratic programming:a Lyapunov-based 学控制。 approach[J].Robotics and autonomous systems,2014, 62(6:766-781 [13]KOKER R.A genetic algorithm approach to a neural-net- work-based inverse kinematics solution of robotic manip-
Automation. Lijiang, China: IEEE, 2015: 852–855. ZANG Wenke, REN Liyan, ZHANG Wenqian, et al. A cloud model based DNA genetic algorithm for numerical optimization problems[J]. Future generation computer systems, 2018, 81: 465–477. [4] ALSHRAIDEH M A. Multiple-population genetic algorithm for solving min-max optimization problems[J]. International review on computers and software, 2015, 10(1): 9–19. [5] 林明, 王冠, 林永才. 改进的遗传算法在机器人逆解中的 应用[J]. 江苏科技大学学报(自然科学版), 2012, 26(4): 370–375. LIN Ming, WANG Guan, LIN Yongcai. Robot inverse kinematics based on improved genetic algorithm[J]. Journal of Jiangsu university of science and technology (natural science edition), 2012, 26(4): 370–375. [6] AYYILDIZ M, ÇETINKAYA K. Comparison of four different heuristic optimization algorithms for the inverse kinematics solution of a real 4-DOF serial robot manipulator[J]. Neural computing and applications, 2016, 27(4): 825–836. [7] STARKE S, HENDRICH N, MAGG S, et al. An efficient hybridization of Genetic Algorithms and Particle Swarm Optimization for inverse kinematics[C]//Proceedings of the 2016 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics. Qingdao, China: IEEE, 2017: 1782–1789. [8] HALALI M A, AZARI V, ARABLOO M, et al. Application of a radial basis function neural network to estimate pressure gradient in water-oil pipelines[J]. Journal of the Taiwan institute of chemical engineers, 2016, 58: 189–202. [9] CHIDDARWAR S S, BABU N R. Comparison of RBF and MLP neural networks to solve inverse kinematic problem for 6R serial robot by a fusion approach[J]. Engineering applications of artificial intelligence, 2010, 23(7): 1083–1092. [10] ZUBIZARRETA A, LARREA M, IRIGOYEN E, et al. Real time direct kinematic problem computation of the 3PRS robot using neural networks[J]. Neurocomputing, 2017, 271: 104–114. [11] TOSHANI H, FARROKHI M. Real-time inverse kinematics of redundant manipulators using neural networks and quadratic programming: a Lyapunov-based approach[J]. Robotics and autonomous systems, 2014, 62(6): 766–781. [12] KÖKER R. A genetic algorithm approach to a neural-network-based inverse kinematics solution of robotic manip- [13] ulators based on error minimization[J]. Information sciences, 2013, 222: 528–543. JIA Weikuan, ZHAO Dean, DING Ling. An optimized RBF neural network algorithm based on partial least squares and genetic algorithm for classification of small sample[J]. Applied soft computing, 2016, 48: 373–384. [14] ZAPLANA I, BASANEZ L. A novel closed-form solution for the inverse kinematics of redundant manipulators through workspace analysis[J]. Mechanism and machine theory, 2018, 121: 829–843. [15] 赵建强, 刘满禄, 王姮. 基于 PSO 优化 BP 神经网络的 逆运动学求解研究[J]. 自动化与仪表, 2016, 31(11): 1–6. ZHAO Jianqiang, LIU Manlu, WANG Heng. Research on inverse kinematics solution of BP neural network based on PSO optimization[J]. Automation and instrumentation, 2016, 31(11): 1–6. [16] 乔俊飞, 安茹, 韩红桂. 基于相对贡献指标的自组织 RBF 神经网络的设计[J]. 智能系统学报, 2018, 13(2): 159–167. QIAO Junfei, AN Ru, HAN Honggui. Design of self-organizing RBF neural network based on relative contribution index[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(2): 159–167. [17] 作者简介： 张毅，男，1966 年生，教授，主要 研究方向为智能机器人、数据融合、信 息无障碍技术。主持国家、省部级以 及产学研等各种项目 10 余项。发表 学术论文 100 余篇，被 SCI、EI 和 ISTP 收录 30 余篇。出版著作 5 部。 刘芳君，女，1990 年生，硕士研究 生，主要研究方向为工业机器人轨迹 规划。 胡磊，男，1994 年生，硕士研究 生，主要研究方向为工业机器人运动 学控制。 ·170· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
