第78讲微分法在几何上的应用 323 处的切平面方程为 (x-2)+2(y+3)-(z-1)=0 x+2y-z+5=0 法线方程为 x-2y+3z-1 举例 例7设∫的一阶偏导数都连续且不同时为零,证明:曲面f(ax-bz,ay-cz)=0(a2 +b2+c2≠0)上任意一点处的切平面都与直线方==平行 证欲证平面丌∥直线L,只要证明平面x的法向量n⊥直线L的方向向量s,即 s=0即可 设F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-c2),则曲面在其上点(x,y,z)处的切平面的法向量为 n=F,, FI,, F)=Yaf' 直线=2=2的方向向量为s={b,c,a},因为n·s={af1,af2,-b1-cf2} {b,c,a}=abf1+acf2+a(-bf1-cf2)=0,所以曲面f(ax-bx,ay-cz)=0上任 点处的切平面都与直线b=2=a平行 例8(单选题)在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中,与平面x:x+2y+z 平行的切线() (A)只有1条;(B)只有2条;C)至少有3条;(D)不存在 解直线L∥平面π台直线L的方向向量⊥平面丌的法向量 n÷→s·n=0. 由于曲线在参数t=t0所对应的点M0(x(t),y(t0),z(t))处的切线的方向向量为 s={x(),y(),x()}-={1,-2t,32)1-={1,-2,36 平面x+2y+z=4的法向量n=(1,2,1} 解方程n·s=0,即{1,2,1}·{1,-2t0,33}=0,或(3t-1)(to-1)=0,解得 1 1对应M1 1=3,-927)h=1对应M=(,-1,1),可见曲线只在M1与 M2两点处的切线与平面平行,故选B