322 高等数学重点难点100讲 方向所成的角v为锐角),则法向量的方向余弦为 cosa cosB= cosy=-1 √1+f2+2 √1+f2+乃 1十+f 其中∫与∫分别表示f(x0,y,z)和f,(x0,y,z0) 解题提示曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线问题,关键是要抓住确定平面 与直线的两个要素:点与方向,对曲线来说就是要求出所讨论的点与曲线的切线方向;对于 曲面来说所涉及的点必须满足曲面方程,并用偏导求出切平面的法向量 例5求曲面ax2+by2+cz2=1在点(x0,y,z)处的切平面及法线方程 解法1令F(x,y,z)=ax2+by2+cx2-1,则 n=(FI, F, Fr3=(2aI, 2by, 2cz)=2(ax, by, cz 1 在点(x0,y,x0)处,曲面的法向量为{axo,by,czo},故曲面在点(x0,y,2)处的切平面方程 为 aIo(x-xo)+ byo(y-yo)+ cao(z-20)=0, 即 atoI boy coz =ax2+ byo+ C2o=1 法线方程为 a.e b 解法2方程ax2+by2+cz2=1确定了隐函数z=z(x,y),曲面的法向量 azaz ar ay ,现求与 方程两边分别对x,y求偏导得x+2k-0,2by+:=0, ar az 由此解得 r a by 在点(x,y,z。)处,曲面的法向量n= axo,-y°,-1},故切平面方程为 C2o b (y-y)-( )=0 即 aror+boy +coz =ax0+ byo t czo=1 法线方程为 y一y 即 e=y-y=2=2o b 例6在曲面x2-xy-8x+z+5=0上求切平面平行于平面x+2y-z+10= 0的点,并写出该点处的切平面和法线方程 解设F(x,y,z)=x2-xy-8x+z+5,并设M(x0,y0,z)是所求的点,则 F(x,yz0)=2x-y-8, F,(To, yo, zo) F"(x0,yo,z0)=1 点M处的法向量n={2x0-y-8,-x0,1},又平面x+2y-z+10=0的法向 量n1={1,2,-1},由于过M点的切平面与该平面平行,得n∥m1,即有 2ax 8 由此解得x。=2,y=-3,代入曲面方程,得x=1,故所求的点为(2,-3,1)曲面在该点