416 工程科学学报，第43卷，第3期 表3解析计算与有限元计算L翘翘曲高度结果对比 Table 3 Comparison between analytical calculation and finite element calculation of L warpage height Metal laminate Extension difference Finite element results/ Analytical calculation Laminate structure Relative error/% 10广5 mm results/mm Double layer 50/100 93.73/186.65 94.34/188.68 0.65/1.08 Copper/carbon steel Three layers 50/100 66.57/132.92 68.37136.75 2.63/2.80 Stainless steel carbon Double layer 50/100 111.77/222.35 111.44/222.87 0.30/0.23 steel laminate Three layers 50/100 105.45/210.17 109.36/218.72 3.58/3.91 的不同.因此，本文基于上述推导建立的解析模 增加，金属层合板翘曲高度越大 型，并结合有限元数值求解结果，定量研究金属层 在相同延伸差和相同总厚度下铜碳钢层合板 合板的厚向分层特征对于其板形翘曲变形行为的 翘曲高度小于不锈钢/碳钢层合板.即相同条件 影响及其规律，并与均质板进行比较 下，当覆层材料与基层材料切变模量接近时，翘曲 3.1延伸差（初应变）的影响 高度相对较大.同时可以发现，对于同种材料构成 针对不锈钢碳钢层合板以及铜碳钢层合板 的金属层合板，三层对称结构层合板的翘曲高度 (双层结构和三层结构)，取其上下表面延伸差分 小于双层非对称结构 别为0、50×105、100×10-5、150×1035、200×105、250× 3.2总厚度H的影响 10、300×10时，计算翘曲变形行为.结果如图4 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜碳钢层合 (双层结构和三层结构)，取其总厚度分别为1、2、 板，当发生C翘或L翘时，其翘曲高度均和上下表 4、5、6、8和10mm时，计算翘曲变形行为.结果 面延伸差呈线性关系，并随着上下表面延伸差的 如图5所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳 50 (a) 700(b) -K=78/81 600 ■-K=78/81 40 。K。41/81 K=41/81 ◆-Kc=78/81/78 500 +-K=78/81/78 30 K=41/81/41 400 -K=41/8141 300 200 U 10 100 0 50 100150200 250 300 0 50 100150200250300 4/10s 4W105 图4延伸差对不同翘曲模态变形的影响.(a)C翘：(b)L翘 Fig.4 Effect of extension difference on the warpage height of C warping (a)and L warping(b) 90 1200 (b) 量-K=78/81 75 4-K=78/81 ◆-K=41/81 1000 ◆K=41/81 wwAyiaq ▲-K=78/81/78 K=78/81/78 60 -K=41/81/41 800 K=41/81/41 45 600 30 400 15 200 P 10 0 4 10 H/mm H/mm 图5厚度对不同翘曲模态变形的影响.(a)C翘：(b)L翘 Fig.5 Effect of thickness on warpage height of C warping (a)and L warping (b)的不同. 因此，本文基于上述推导建立的解析模 型，并结合有限元数值求解结果，定量研究金属层 合板的厚向分层特征对于其板形翘曲变形行为的 影响及其规律，并与均质板进行比较. 3.1    延伸差（初应变）的影响 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 （双层结构和三层结构），取其上下表面延伸差分 别为 0、50×10−5、100×10−5、150×10−5、200×10−5、250× 10−5、300×10−5 时，计算翘曲变形行为. 结果如图 4 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳钢层合 板，当发生 C 翘或 L 翘时，其翘曲高度均和上下表 面延伸差呈线性关系，并随着上下表面延伸差的 增加，金属层合板翘曲高度越大. 在相同延伸差和相同总厚度下铜/碳钢层合板 翘曲高度小于不锈钢/碳钢层合板. 即相同条件 下，当覆层材料与基层材料切变模量接近时，翘曲 高度相对较大. 同时可以发现，对于同种材料构成 的金属层合板，三层对称结构层合板的翘曲高度 小于双层非对称结构. 3.2    总厚度 H 的影响 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 （双层结构和三层结构），取其总厚度分别为 1、2、 4、5、6、8 和 10 mm 时，计算翘曲变形行为. 结果 如图 5 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳 表 3 解析计算与有限元计算 L 翘翘曲高度结果对比 Table 3 Comparison between analytical calculation and finite element calculation of L warpage height Metal laminate Laminate structure Extension difference / 10−5 Finite element results / mm Analytical calculation results / mm Relative error / % Copper / carbon steel Double layer 50/100 93.73/186.65 94.34/188.68 0.65/1.08 Three layers 50/100 66.57/132.92 68.37/136.75 2.63/2.80 Stainless steel / carbon steel laminate Double layer 50/100 111.77/222.35 111.44/222.87 0.30/0.23 Three layers 50/100 105.45/210.17 109.36/218.72 3.58/3.91 (a) (b) Δ/10−5 C warpage height/mm 0 250 300 0 50 100 150 200 Δ/10−5 0 50 100 150 200 250 300 10 20 30 40 50 L warpage height/mm 0 100 200 300 400 500 700 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 600 图 4    延伸差对不同翘曲模态变形的影响. （a）C 翘；（b）L 翘 Fig.4    Effect of extension difference on the warpage height of C warping (a) and L warping (b) (a) (b) H/mm C warpage height/mm 0 10 0 2 4 6 8 H/mm 0 6 8 2 4 10 15 45 30 60 75 90 L warpage height/mm 0 200 400 600 800 1200 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 1000 图 5    厚度对不同翘曲模态变形的影响. （a）C 翘；（b）L 翘 Fig.5    Effect of thickness on warpage height of C warping (a) and L warping (b) · 416 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期