工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 金属层合板板形翘曲变形行为 王春海张清东李豪张立元张勃洋 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai,ZHANG Qing-dong.LI Hao,ZHANG Li-yuan,ZHANG Bo-yang 引用本文： 王春海，张清东，李豪，张立元，张勃洋.金属层合板板形翘曲变形行为.工程科学学报，2021,43(3)：409-421.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2020.01.03.001 WANG Chun-hai,ZHANG Qing-dong,LI Hao,ZHANG Li-yuan,ZHANG Bo-yang.Warpage deformation behavior of metal laminates[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(3):409-421.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 在线阅读View online::htps:/ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2020.01.03.001 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 组合式钢框架内填预制RC墙结构静力性能有限元分析 Finite element analysis of the static behavior of steel frames with combined precast reinforced concrete infill wall structures 工程科学学报.2017,3911：1753htps:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.11.019 一种光敏树脂结构的力学性能 Mechanical properties of a photosensitive resin structure 工程科学学报.2019,41(4)：512htps:/1oi.org10.13374j.issn2095-9389.2019.04.012 轧辊交叉对中间坯镰刀弯生成过程的影响 Influence of crossed roller on generating camber in hot rough rolling 工程科学学报.2018,40(8：954 https::/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.08.009 金属薄板面内压剪变形的损伤断裂行为 Damage and fracture behavior of a metal sheet under in-plane compressionshear deformation 工程科学学报.2021,43(2：263 https:1doi.org10.13374j.issn2095-9389.2020.09.23.002 热轧金属横向流动规律及其对板形的影响 Transverse flow law of metals and its effect on the shape of a steel strip 工程科学学报.2017,39(12：1859htps:/1doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.12.012 打通型双串联与三串联柔性铰链设计与性能比较 Design and performance comparison of double-series and triple-series flexure hinges 工程科学学报.2017,395：762 https:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.05.015
金属层合板板形翘曲变形行为 王春海 张清东 李豪 张立元 张勃洋 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai, ZHANG Qing-dong, LI Hao, ZHANG Li-yuan, ZHANG Bo-yang 引用本文: 王春海, 张清东, 李豪, 张立元, 张勃洋. 金属层合板板形翘曲变形行为[J]. 工程科学学报, 2021, 43(3): 409-421. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 WANG Chun-hai, ZHANG Qing-dong, LI Hao, ZHANG Li-yuan, ZHANG Bo-yang. Warpage deformation behavior of metal laminates[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(3): 409-421. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 组合式钢框架内填预制RC墙结构静力性能有限元分析 Finite element analysis of the static behavior of steel frames with combined precast reinforced concrete infill wall structures 工程科学学报. 2017, 39(11): 1753 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.11.019 一种光敏树脂结构的力学性能 Mechanical properties of a photosensitive resin structure 工程科学学报. 2019, 41(4): 512 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.04.012 轧辊交叉对中间坯镰刀弯生成过程的影响 Influence of crossed roller on generating camber in hot rough rolling 工程科学学报. 2018, 40(8): 954 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.009 金属薄板面内压剪变形的损伤断裂行为 Damage and fracture behavior of a metal sheet under in-plane compressionshear deformation 工程科学学报. 2021, 43(2): 263 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.23.002 热轧金属横向流动规律及其对板形的影响 Transverse flow law of metals and its effect on the shape of a steel strip 工程科学学报. 2017, 39(12): 1859 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.012 打通型双串联与三串联柔性铰链设计与性能比较 Design and performance comparison of double-series and triple-series flexure hinges 工程科学学报. 2017, 39(5): 762 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.05.015
工程科学学报.第43卷，第3期：409-421.2021年3月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.3:409-421,March 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001;http://cje.ustb.edu.cn 金属层合板板形翘曲变形行为 王春海区，张清东2，李豪2)，张立元2，张勃洋2) 1)首钢集团有限公司技术研究院，北京1000432)北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:wangch93l4@shougang.com.cn 摘要采用经典弹性力学方法建立了金属层合板翘曲解析计算力学模型，获得了厚度方向不均匀延伸与板形翘曲之间的 定量关系：并分别建立了在线和离线两种状态下金属层合板翘曲变形的有限元数值模拟模型，对解析计算力学模型进行了验 证：在此基础上，揭示了金属层合板产生板形翘曲缺陷的力学根源以及各因素对金属层合板板形翘曲缺陷演变的影响规律， 司时对比分析了双层和三层结构层合板与均质板的翘曲变形差异以及铜/碳钢层合板与不锈钢/碳钢层合板二者之间的翘曲 变形差异.研究表明.金属层合板翘曲高度与延伸差、厚度比呈正比关系，与厚度呈反比关系，且基层与覆层的切变模量相差 越大，厚度比对金属层合板翘曲变形的影响越大.基于数值模型，模拟研究了层合板在理想均匀分布的初始温度下，历经去 应力退火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均质板进行比较.最后，在工业生产现场取样已翘曲层合板，通过测量 其弯曲变形量进而反求其初始延伸差，验证了解析计算力学模型的准确性 关键词金属层合板：翘曲：纵向延伸：解析法：有限元 分类号TG335.56 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai,ZHANG Qing-dong?,LI Hao2,ZHANG Li-yuan,ZHANG Bo-yang? 1)Research Institute of Technology,Shougang Group Corporation,Beijing 100043,China 2)School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:wangch9314@shougang.com.cn ABSTRACT The layered characteristics of the material in the thickness direction of the metal laminate make it more prone to uneven plastic extension during the thinning.rolling,flattening,and straightening process,resulting in plate-shaped warpage defects and cause the plate-shaped warpage of the metal laminate.The behavior is significantly different from that of a homogeneous metal plate.In this paper,the classical elastic mechanics method was used to establish an analytical computational mechanical model for the warpage of the metal laminate,and the quantitative relationship between the uneven extension in the thickness direction and the warpage of the plate shape was obtained;the online and offline states of the metal laminate were established,respectively.The finite element numerical simulation model of warpage deformation validated the analytical computational mechanics model;based on this,it revealed the mechanical roots of the shape warping defects of metal laminates and the effect of various factors on the shape warpage defects of metal laminates.The influence law of evolution and the difference in warpage deformation between double-layer and three-layer structure laminates and homogeneous plates,as well as the difference in warpage deformation between copper/carbon steel laminates and stainless steel/carbon steel laminates,were compared.Studies have shown that the warpage height of the metal laminate is proportional to the elongation difference and thickness ratio,and it is inversely proportional to the thickness.The greater the difference between the shear modulus of the base layer and the cladding layer is,the larger the effect of the thickness ratio on the warpage deformation of the metal laminate will be.Based on the numerical model,simulation studies were conducted on the deformation behavior and regularity of the 收稿日期：2020-01-03 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51575040)
金属层合板板形翘曲变形行为 王春海1) 苣，张清东2)，李 豪2)，张立元2)，张勃洋2) 1) 首钢集团有限公司技术研究院，北京 100043 2) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 苣通信作者，E-mail：wangch9314@shougang.com.cn 摘 要 采用经典弹性力学方法建立了金属层合板翘曲解析计算力学模型，获得了厚度方向不均匀延伸与板形翘曲之间的 定量关系；并分别建立了在线和离线两种状态下金属层合板翘曲变形的有限元数值模拟模型，对解析计算力学模型进行了验 证；在此基础上，揭示了金属层合板产生板形翘曲缺陷的力学根源以及各因素对金属层合板板形翘曲缺陷演变的影响规律， 同时对比分析了双层和三层结构层合板与均质板的翘曲变形差异以及铜/碳钢层合板与不锈钢/碳钢层合板二者之间的翘曲 变形差异. 研究表明，金属层合板翘曲高度与延伸差、厚度比呈正比关系，与厚度呈反比关系，且基层与覆层的切变模量相差 越大，厚度比对金属层合板翘曲变形的影响越大. 基于数值模型，模拟研究了层合板在理想均匀分布的初始温度下，历经去 应力退火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均质板进行比较. 最后，在工业生产现场取样已翘曲层合板，通过测量 其弯曲变形量进而反求其初始延伸差，验证了解析计算力学模型的准确性. 关键词 金属层合板；翘曲；纵向延伸；解析法；有限元 分类号 TG335.56 Warpage deformation behavior of metal laminates WANG Chun-hai1) 苣 ，ZHANG Qing-dong2) ，LI Hao2) ，ZHANG Li-yuan2) ，ZHANG Bo-yang2) 1) Research Institute of Technology, Shougang Group Corporation, Beijing 100043, China 2) School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E-mail: wangch9314@shougang.com.cn ABSTRACT The layered characteristics of the material in the thickness direction of the metal laminate make it more prone to uneven plastic extension during the thinning, rolling, flattening, and straightening process, resulting in plate-shaped warpage defects and cause the plate-shaped warpage of the metal laminate. The behavior is significantly different from that of a homogeneous metal plate. In this paper, the classical elastic mechanics method was used to establish an analytical computational mechanical model for the warpage of the metal laminate, and the quantitative relationship between the uneven extension in the thickness direction and the warpage of the plate shape was obtained; the online and offline states of the metal laminate were established, respectively. The finite element numerical simulation model of warpage deformation validated the analytical computational mechanics model; based on this, it revealed the mechanical roots of the shape warping defects of metal laminates and the effect of various factors on the shape warpage defects of metal laminates. The influence law of evolution and the difference in warpage deformation between double-layer and three-layer structure laminates and homogeneous plates, as well as the difference in warpage deformation between copper/carbon steel laminates and stainless steel/carbon steel laminates, were compared. Studies have shown that the warpage height of the metal laminate is proportional to the elongation difference and thickness ratio, and it is inversely proportional to the thickness. The greater the difference between the shear modulus of the base layer and the cladding layer is, the larger the effect of the thickness ratio on the warpage deformation of the metal laminate will be. Based on the numerical model, simulation studies were conducted on the deformation behavior and regularity of the 收稿日期: 2020−01−03 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51575040） 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期：409−421，2021 年 3 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 3: 409−421, March 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.01.03.001; http://cje.ustb.edu.cn
410 工程科学学报，第43卷，第3期 plate shape warping of the laminated plate under the ideal uniform distribution of the initial temperature and the stress relief annealing process,and it was compared with that of the homogeneous plate.Finally,a sample of the warped laminate was taken at an industrial production site,and the initial extension difference was reversed by measuring its bending deformation.The result verifies the accuracy of the analytical computational mechanical model. KEY WORDS metal laminate;warpage;longitudinal extension;analytical method;finite element 金属层合板是利用复合技术使2种或2种以 卢兴福2，张清东等23-2湖，余伟和王乙法2通过建 上物理、化学性能不同的金属层牢固结合在一起 立力学模型对一种复杂板形翘曲（反向C翘）缺陷 而获得的新型板带材-).因其同时具备结构和功 的变形规律进行了相关研究，同时对钢板带裁切 能性特点，被广泛应用于石油化工、海洋工程、油 加工过程因结构改变导致板形变化的规律进行了 气输送、航空航天及机械冶金等领域[匀轧制生 研究，提出表观平直但有“潜”板形缺陷钢板裁切 产金属层合板是一种十分高效且高质量的生产方 后翘曲变形的力学机理，并建立在线C翘切分后 式.近年来，如为了轻量化环保等，金属层合板需 转化为离线L翘的力学模型，而金属层合板由于 进行减薄轧制.由于金属层合板层间材料物理性 其在板厚方向材料力学性能不同，使得金属层合 能及力学性能存在差异，在后续加工过程中极易 板相较于单一金属的翘曲变形行为更为复杂，需 产生沿厚度方向不均匀的塑性延伸，导致翘曲缺 单独展开研究2 陷的产生，主要表现为沿金属层合板宽度方向翘 因此，本文针对双层结构的不锈钢-碳钢和铜- 曲(C翘)和沿轧制方向翘曲(L翘)，严重影响产品 碳钢层合板以及三层结构的不锈钢-碳钢-不锈钢 质量 和铜-碳钢-铜层合板的板形翘曲(C翘和L翘)生 而目前金属层合板板形翘曲变形的研究相对 成过程，在不考虑复合界面两侧变形不协调对界 甚少，其中王丹利用有限元软件分析了厚度配 面结合质量影响的假设下，取定相同的层合板结 比对金属层合板轧制过程中翘曲变形行为的影 构及尺寸，分别在理想的线性连续初应变分布假 响.与此同时，马江泽等7和何冰冷等图对不锈钢/ 设下推导建立4类层合板板形翘曲变形的解析模 碳钢层合板非对称异步轧制过程进行了仿真模 型，以及在假设的初始温度分布与温降历程下，建 拟，研究了压下率和异速比等对金属层合板轧后 立金属层合板板形翘曲变形的有限元数值模拟模 平直度的影响.对于板形翘曲行为的研究，大多针 型.然后，基于解析模型，分别研究4类金属层合板 对单一金属板带材翘曲缺陷进行研究，昝现亮等) 以厚度比、切变模量比等参数描述的厚向材料分 认为平整机单辊传动造成上下表面应力差，进而 层特征，对于其C翘和L翘的变形行为的影响，并 导致了C翘板形缺陷的产生.Masui等o和Li等山 与均质板进行比较：基于数值模型，模拟研究层合 对退火炉内带钢C翘板形缺陷的产生机理进行了 板在理想均匀分布的初始温度下，历经去应力退 研究，认为板带材经过转向辊时，沿轧制方向外部 火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均 受拉内部受压，当板带材出转向辊后残余应力释 质板进行比较.本文的研究拟通过揭示金属层合 放，导致板带材中部向外侧凸出进而产生C翘.部 板的板形翘曲变形规律，为金属层合板减薄轧制 分学者针对现场实际生产中可能导致板形翘曲缺 等压力加工过程的板形翘曲控制提供理论依据. 陷的原因开展了相关研究.其中何建峰！和唐伟 1层合板板形翘曲的解析模型 等]对生产现场中具有翘曲缺陷的钢板进行了分 析，利用小孔释放法测量向下弯曲钢板宽度方向 建立如图1所示坐标系，图1(a)为双层结构 的残余应力，通过分析测量结果可知，钢板上、下 层合板，图1(b)为三层结构层合板.其中x、y、 表面残余应力的大小及分布情况决定了翘曲的程 :轴分别与金属层合板的长度、宽度和厚度方向重 度和方向.张清东等4-对平整轧制过程中的板 合，图中h,为中性层与层合板下表面距离，h2为中 形翘曲问题进行了深入研究，提出了C翘翘曲量 性层与层合板复合界面距离 的多项式计算方法，并对四角翘板形缺陷进行了 取定层合板的结构及尺寸，长度为L宽度为 有限元模拟.戴杰涛等9-20指出了带钢翘曲板形 B,总厚度为H,其中基层材料的厚度为h、覆层材 缺陷的力学根源，并应用辛弹性力学方法对带钢 料的厚度为h,覆层与基层的厚度比KhJh,对 翘曲行为进行了解析研究.在此基础上，张勃洋等2， 于双层结构，=h+hs;对于三层结构，H=he1+h+h2
plate shape warping of the laminated plate under the ideal uniform distribution of the initial temperature and the stress relief annealing process, and it was compared with that of the homogeneous plate. Finally, a sample of the warped laminate was taken at an industrial production site, and the initial extension difference was reversed by measuring its bending deformation. The result verifies the accuracy of the analytical computational mechanical model. KEY WORDS metal laminate；warpage；longitudinal extension；analytical method；finite element 金属层合板是利用复合技术使 2 种或 2 种以 上物理、化学性能不同的金属层牢固结合在一起 而获得的新型板带材[1−3] . 因其同时具备结构和功 能性特点，被广泛应用于石油化工、海洋工程、油 气输送、航空航天及机械冶金等领域[4−5] . 轧制生 产金属层合板是一种十分高效且高质量的生产方 式. 近年来，如为了轻量化环保等，金属层合板需 进行减薄轧制. 由于金属层合板层间材料物理性 能及力学性能存在差异，在后续加工过程中极易 产生沿厚度方向不均匀的塑性延伸，导致翘曲缺 陷的产生，主要表现为沿金属层合板宽度方向翘 曲（C 翘）和沿轧制方向翘曲（L 翘），严重影响产品 质量. 而目前金属层合板板形翘曲变形的研究相对 甚少，其中王丹[6] 利用有限元软件分析了厚度配 比对金属层合板轧制过程中翘曲变形行为的影 响. 与此同时，马江泽等[7] 和何冰冷等[8] 对不锈钢/ 碳钢层合板非对称异步轧制过程进行了仿真模 拟，研究了压下率和异速比等对金属层合板轧后 平直度的影响. 对于板形翘曲行为的研究，大多针 对单一金属板带材翘曲缺陷进行研究，昝现亮等[9] 认为平整机单辊传动造成上下表面应力差，进而 导致了 C 翘板形缺陷的产生. Masui 等[10] 和 Li 等[11] 对退火炉内带钢 C 翘板形缺陷的产生机理进行了 研究，认为板带材经过转向辊时，沿轧制方向外部 受拉内部受压，当板带材出转向辊后残余应力释 放，导致板带材中部向外侧凸出进而产生 C 翘. 部 分学者针对现场实际生产中可能导致板形翘曲缺 陷的原因开展了相关研究. 其中何建峰[12] 和唐伟 等[13] 对生产现场中具有翘曲缺陷的钢板进行了分 析，利用小孔释放法测量向下弯曲钢板宽度方向 的残余应力，通过分析测量结果可知，钢板上、下 表面残余应力的大小及分布情况决定了翘曲的程 度和方向. 张清东等[14−18] 对平整轧制过程中的板 形翘曲问题进行了深入研究，提出了 C 翘翘曲量 的多项式计算方法，并对四角翘板形缺陷进行了 有限元模拟. 戴杰涛等[19−20] 指出了带钢翘曲板形 缺陷的力学根源，并应用辛弹性力学方法对带钢 翘曲行为进行了解析研究. 在此基础上，张勃洋等[21] ， 卢兴福[22] ，张清东等[23−24] ，余伟和王乙法[25] 通过建 立力学模型对一种复杂板形翘曲（反向 C 翘）缺陷 的变形规律进行了相关研究，同时对钢板带裁切 加工过程因结构改变导致板形变化的规律进行了 研究，提出表观平直但有“潜”板形缺陷钢板裁切 后翘曲变形的力学机理，并建立在线 C 翘切分后 转化为离线 L 翘的力学模型. 而金属层合板由于 其在板厚方向材料力学性能不同，使得金属层合 板相较于单一金属的翘曲变形行为更为复杂，需 单独展开研究[26] . 因此，本文针对双层结构的不锈钢‒碳钢和铜‒ 碳钢层合板以及三层结构的不锈钢‒碳钢‒不锈钢 和铜‒碳钢‒铜层合板的板形翘曲（C 翘和 L 翘）生 成过程，在不考虑复合界面两侧变形不协调对界 面结合质量影响的假设下，取定相同的层合板结 构及尺寸，分别在理想的线性连续初应变分布假 设下推导建立 4 类层合板板形翘曲变形的解析模 型，以及在假设的初始温度分布与温降历程下，建 立金属层合板板形翘曲变形的有限元数值模拟模 型. 然后，基于解析模型，分别研究 4 类金属层合板 以厚度比、切变模量比等参数描述的厚向材料分 层特征，对于其 C 翘和 L 翘的变形行为的影响，并 与均质板进行比较；基于数值模型，模拟研究层合 板在理想均匀分布的初始温度下，历经去应力退 火过程时，其板形翘曲的变形行为及规律，并与均 质板进行比较. 本文的研究拟通过揭示金属层合 板的板形翘曲变形规律，为金属层合板减薄轧制 等压力加工过程的板形翘曲控制提供理论依据. 1 层合板板形翘曲的解析模型 建立如图 1 所示坐标系，图 1（a）为双层结构 层合板，图 1（ b）为三层结构层合板. 其中 x、 y、 z 轴分别与金属层合板的长度、宽度和厚度方向重 合，图中 h1 为中性层与层合板下表面距离，h2 为中 性层与层合板复合界面距离. 取定层合板的结构及尺寸，长度为 L，宽度为 B，总厚度为 H，其中基层材料的厚度为 hs、覆层材 料的厚度为 hc，覆层与基层的厚度比 KH=hc /hs，对 于双层结构，H=hc+hs；对于三层结构，H=hc1+hs+hc2， · 410 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期
王春海等：金属层合板板形翘曲变形行为 411 Cladding (a) he Interface layer B/ L Neutral layer Substrate Cladding (b) h Interface layer B/2 Substrate Neutral layer h Interface layer Cladding 图1金属层合板结构模型.(a)双层结构的层合板：(b)三层结构的层合板 Fig.I Structural model of metal laminate:(a)double-layer structure laminate;(b)three-layer laminate 且he=he1+he2,he=he2.同时，覆层与基层的杨氏弹 1.1双层结构的层合板 性模量为E。和Es,泊松比为y和s,线膨胀系数为 假设双层结构金属层合板塑性应变（ε正应 a。和as,切变模量为G。和Gs,(G=E[2(1+v)),覆层 变、y切应变)在各层沿厚度方向线性且连续分 与基层的切变模量比K。=GJG,（三层结构 布，其它方向应变均为零，基层沿厚度方向的应变 K=GJGJG.).假设金属层合板的基层与覆层的材 差为e,覆层沿厚度方向的应变差为，如式(1)和 料性能各向同性 (2)所示 Es 0,d=M+加m2 (-h≤z≤h2) Ec Ech2 Esh2 0,3=H-h-2H-m-+h1+ (h2≤z≤H-h1) (1) 9=9=y0=y9=y2=0 其中： Bu 8w Ex= Ox 8=e6y,h2)-e260y-h1) (2) ee=e20y,H-h1)-e0,h2) a 8w Ey= (4) 金属层合板厚度方向不均匀延伸导致轧后板 y 2 形翘曲缺陷属于弹性力学范畴，基层和覆层金属 ou dv 82w 材料力学性能的差异将会对翘曲缺陷产生重要 Yay= + =-2z xoy 影响.因此，基于薄板线弹性直法线假设 再次，针对金属层合板不同金属层力学性能 (Kirchhoff假设)，当金属层合板产生C翘时，假设 厚度：方向中性面的位移与长度x无关；当金属 的差异，推导应力应变关系如式(5)所示，式中， 层合板产生L翘时，假设厚度：方向中性面位移 o为正应力，t为剪应力 w与宽度y无关，推导翘曲变形位移与应变关系， Ex= 如式(3)所示.故应变如式(4)所示. E(x-v)+.) 1 uK,y,刀=-2a 1 8=Eoy-o到 i=c,s)(5) v(x,y,Z)=- Ow (3) dy fy) C翘 Yxy=Gi w(x.y,2= (x) L翘 将式(1)和式(4)代入式(5)，可得：
νc νs 且 hc=hc1+hc2，hc1=hc2. 同时，覆层与基层的杨氏弹 性模量为 Ec 和 Es，泊松比为 和 ，线膨胀系数为 ɑc 和ɑs，切变模量为 Gc 和 Gs，(G=E/[2(1+ν)])，覆层 与 基 层 的 切 变 模 量 比 KG=Gc /Gs， （ 三 层 结 构 KG=Gc /Gs /Gc）. 假设金属层合板的基层与覆层的材 料性能各向同性. 1.1 双层结构的层合板 假设双层结构金属层合板塑性应变（ ε 正应 变 、γ 切应变）在各层沿厚度方向线性且连续分 布，其它方向应变均为零，基层沿厚度方向的应变 差为 εs，覆层沿厚度方向的应变差为 εc，如式（1）和 （2）所示. ε 0 x (y,z) = εs h1 +h2 z (−h1 ⩽ z ⩽ h2) ε 0 x (y,z) = εc H −h1 −h2 z− εch2 H −h1 −h2 + εsh2 h1 +h2 (h2 ⩽ z ⩽ H −h1) ε 0 y = ε 0 z = γ 0 xy = γ 0 yz = γ 0 xz = 0 （1） 其中： εs = ε 0 x (y,h2)−ε 0 x (y,−h1) εc = ε 0 x (y,H −h1)−ε 0 x (y,h2) （2） 金属层合板厚度方向不均匀延伸导致轧后板 形翘曲缺陷属于弹性力学范畴，基层和覆层金属 材料力学性能的差异将会对翘曲缺陷产生重要 影 响 . 因 此 ， 基 于 薄 板 线 弹 性 直 法 线 假 设 （Kirchhoff 假设），当金属层合板产生 C 翘时，假设 厚度 z 方向中性面的位移 w 与长度 x 无关；当金属 层合板产生 L 翘时，假设厚度 z 方向中性面位移 w 与宽度 y 无关，推导翘曲变形位移与应变关系， 如式（3）所示. 故应变如式（4）所示. u(x, y,z) = −z ∂w ∂x v (x, y,z) = −z ∂w ∂y w(x, y,z) = { f3 (y) C翘 f3 (x) L翘 （3） εx = ∂u ∂x = −z ∂ 2w ∂x 2 εy = ∂v ∂y = −z ∂ 2w ∂y 2 γxy = ∂u ∂y + ∂v ∂x = −2z ∂ 2w ∂x∂y （4） 再次，针对金属层合板不同金属层力学性能 的差异，推导应力应变关系如式（5）所示，式中， σ 为正应力，τ 为剪应力. εx = 1 Ei ( σx −νiσy ) +ε 0 x (y,z) εy = 1 Ei ( σy −νiσx ) γxy = τxy Gi (i = c,s) （5） 将式（1）和式（4）代入式（5），可得： Interface layer Neutral layer x y z o B/2 L/2 H h2 h1 Cladding Substrate hs (a) hc Interface layer Neutral layer x y z o B/2 L/2 H h2 h1 Cladding Interface layer hc1 Substrate hs hc2 (b) Cladding 图 1 金属层合板结构模型. （a）双层结构的层合板；（b）三层结构的层合板 Fig.1 Structural model of metal laminate: (a) double-layer structure laminate; (b) three-layer laminate 王春海等： 金属层合板板形翘曲变形行为 · 411 ·
412 工程科学学报，第43卷，第3期 Ux- -Esz [82w82w Es -a2+%+ h1+h2 -Esz [o2w 2w VsEs dy= -2+a+h1+ (-h≤z<h2) (6) 8w Tay=GaYy=-22G Bxdy 推导建立双层结构金属层合板翘曲过程，弯 矩M、M和扭矩M、M与应力之间的关系如下： -Ec w w dy2 +乙H-h1-h2 Ech2 Esh2 H-h-h2 h+h2 -Ee「Pw, 2w VeEc 1-g+%a+H--加 y= (h≤z≤H-h) (7) VeEch2 VeEsh2 H-h-h2'hi+h2 Txy=GeYxy =-2zGc 82w xdy M=所odk+-zoxd 假定层合板产生C翘时中间位置的挠度和弯 M,=,0,d应+-z知，d (8) 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边 My=Mr=岛rd+月-zTnd w(0)=0, w0=0. M(±B/2)=0（11) dy 将式(3)、(8)代入如下平衡方程： 联立式(3)、(8)、(11)求解得双层结构金属层 M+22Mm+24-0 (9) 合板C翘厚度方向的位移如下： 8x 8xdy dy2 M=0 得： 2N 8w V= MX (12) 04 =0,C翘 (10) o"w a4=0,L翘 式中： v=-0华低+-写0-P-+ n产H-r--H-hnP-喝 DH-h- (13) M=D,候+)+D.H-AP- Ei D=1 同样，L翘时边界条件如下： 4=0 2N V= w(0)=0, aw(0=0, Mx(±L/2)=0(14) M (15) 0x 联立式(3)、(8)、(14)求解得双层结构金属层 合板L翘厚度方向的位移如下： 式中：
σx = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂x 2 +νs ∂ 2w ∂y 2 + εs h1 +h2 ] σy = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂y 2 +νs ∂ 2w ∂x 2 + νsεs h1 +h2 ] (−h1 ⩽ z < h2) τxy = Gsγxy = −2zGs ∂ 2w ∂x∂y （6） 推导建立双层结构金属层合板翘曲过程，弯 矩 Mx、My 和扭矩 Mxy、Myx 与应力之间的关系如下： σx = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂x 2 +νcz ∂ 2w ∂y 2 +z εc H −h1 −h2 − εch2 H −h1 −h2 + εsh2 h1 +h2 ] σy = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂y 2 +νcz ∂ 2w ∂x 2 +z νcεc H −h1 −h2 − (h2 ⩽ z ⩽ H −h1) νcεch2 H −h1 −h2 + νcεsh2 h1 +h2 ] τxy = Gcγxy = −2zGc ∂ 2w ∂x∂y （7） Mx = r h2 −h1 zσxdz+ r H−h1 h2 zσxdz My = r h2 −h1 zσydz+ r H−h1 h2 zσydz Mxy = Myx = r h2 −h1 zτxydz+ r H−h1 h2 zτxydz （8） 将式（3）、（8）代入如下平衡方程： ∂ 2Mx ∂x 2 +2 ∂ 2Mxy ∂x∂y + ∂ 2My ∂y 2 = 0 （9） 得： ∂ 4w ∂y 4 = 0, C翘 ∂ 4w ∂x 4 = 0, L翘 （10） 假定层合板产生 C 翘时中间位置的挠度和弯 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边. w(0) = 0, ∂w(0) ∂y = 0, My (±B/2) = 0 （11） 联立式（3）、（8）、（11）求解得双层结构金属层 合板 C 翘厚度方向的位移如下： u = 0 v = 2N M yz w = − N M y 2 （12） 式中： N = − 1 3 Ds νsεs h1 +h2 ( h 3 1 +h 3 2 ) − 1 3 Dc νcεc H −h1 −h2 [ (H −h1) 3 −h 3 2 ] + 1 2 Dc νcεch2 H −h1 −h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dc νcεsh2 h1 +h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] M = 2 3 [ Ds ( h 3 1 +h 3 2 ) + Dc [ (H −h1) 3 −h 3 2 ]] Di = Ei 1−ν 2 i （13） 同样，L 翘时边界条件如下： w(0) = 0, ∂w(0) ∂x = 0, Mx (±L/2) = 0 （14） 联立式（3）、（8）、（14）求解得双层结构金属层 合板 L 翘厚度方向的位移如下： u = 0 v = 2N M xz w = − N M x 2 （15） 式中： · 412 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期
王春海等：金属层合板板形翘曲变形行为 413 N=-产+----+ Ech2 2DeH-m-h2 u-P--0后I-hnP-峒 (16) M=D候+园+aI-P- 1- 从式(12)和式(15)中可以看出，无论是产生 其中： C翘还是L翘，双层结构的金属层合板的翘曲位 8e=e90y,-h2)-g0y,-H/2) 移均为二次曲线. Es=e90y,h2)-e20y,-2) (18) 1.2三层结构的层合板 sc=s(y,H/2)-s(y,h2) 假设三层结构金属层合板塑性应变在各层沿 同样，基于薄板线弹性直法线假设 厚度方向线性且连续分布，其它方向应变均为零， (Kirchhoff假设)，当金属层合板产生C翘时，假设 基层沿厚度方向的应变差如式(17)和(18)所示. 厚度：方向中性面的位移w与长度x无关；当金属 90,z)= Ec 层合板产生L翘时，假设厚度：方向中性面位移 e20y,z)= Es (-h2≤z<h2) w与宽度y无关，推导翘曲变形位移与应变关系， 如式(3)所示，应变如式(4)所示.同时考虑到金属 6,n而2+号 Ech2 伽：e) 层合板不同金属层力学性能的差异，推导应力应 =9-y州=y9=y2=0 变关系如式(5)所示.将式(17)和式(4)代入式 (17) (5).可得： 82w 0x= 1-a+e2+7 + /2-h2 sch2 Es H/2-2-2 -Ece「2w -w 0y= 1-2a2+ea+H2-n2+ (-H/2≤z<-h2) (19) VeEch2 VeEs H2-h22] Bw T=GeY=-2GeBady -Esz [o2w 82w Es 0x= 1-a脉+%+应 0y= -Esz [o2w &2w vsEs 1-2+%a+2m (-h2≤z<h2) (20) 82w Tsy=GsYsy=-2G.axdy -Ec [w 82w 0x= 1-a丽+e+a2-2 sch2 Es H/2-h2 -Ec [&w 82w VeEc Oy= 1-v 0y++ (21) 2-g2- (h2≤z≤H2) VeEch2 H2-h2 2 02w Txy GeYxy=-22Gc 0xoy
N = − 1 3 Ds εs h1 +h2 ( h 3 1 +h 3 2 ) − 1 3 Dc εc H −h1 −h2 [ (H −h1) 3 −h 3 2 ] + 1 2 Dc εch2 H −h1 −h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dc εsh2 h1 +h2 [ (H −h1) 2 −h 2 2 ] M = 2 3 [ Ds ( h 3 1 +h 3 2 ) + Dc [ (H −h1) 3 −h 3 2 ]] Di = Ei 1−ν 2 i （16） 从式（12）和式（15）中可以看出，无论是产生 C 翘还是 L 翘，双层结构的金属层合板的翘曲位 移均为二次曲线. 1.2 三层结构的层合板 假设三层结构金属层合板塑性应变在各层沿 厚度方向线性且连续分布，其它方向应变均为零， 基层沿厚度方向的应变差如式（17）和（18）所示. ε 0 x (y,z) = εc H/2−h2 z+ εch2 H/2−h2 − εs 2 ( − H 2 ⩽ z < −h2 ) ε 0 x (y,z) = εs 2h2 z (−h2 ⩽ z < h2) ε 0 x (y,z) = εc H/2−h2 z− εch2 H/2−h2 + εs 2 ( h2 ⩽ z ⩽ H 2 ) ε 0 y = ε 0 z = γ 0 xy = γ 0 yz = γ 0 xz = 0 （17） 其中： εc = ε 0 x (y,−h2)−ε 0 x (y,−H/2) εs = ε 0 x (y,h2)−ε 0 x (y,−h2) εc = ε 0 x (y,H/2)−ε 0 x (y,h2) （18） 同 样 ， 基 于 薄 板 线 弹 性 直 法 线 假 设 （Kirchhoff 假设），当金属层合板产生 C 翘时，假设 厚度 z 方向中性面的位移 w 与长度 x 无关；当金属 层合板产生 L 翘时，假设厚度 z 方向中性面位移 w 与宽度 y 无关，推导翘曲变形位移与应变关系， 如式（3）所示，应变如式（4）所示. 同时考虑到金属 层合板不同金属层力学性能的差异，推导应力应 变关系如式（ 5）所示. 将式（ 17）和式（ 4）代入式 （5），可得： σx = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂x 2 +νcz ∂ 2w ∂y 2 + εc H/2−h2 z+ εch2 H/2−h2 − εs 2 ] σy = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂y 2 +νcz ∂ 2w ∂x 2 + νcεc H/2−h2 z+ νcεch2 H/2−h2 − νcεs 2 ] τxy = Gcγxy = −2zGc ∂ 2w ∂x∂y (−H/2 ⩽ z < −h2) （19） σx = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂x 2 +νs ∂ 2w ∂y 2 + εs 2h2 ] σy = −Esz 1−ν 2 s [ ∂ 2w ∂y 2 +νs ∂ 2w ∂x 2 + νsεs 2h2 ] (−h2 ⩽ z < h2) τxy = Gsγxy = −2zGs ∂ 2w ∂x∂y （20） σx = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂x 2 +νcz ∂ 2w ∂y 2 + εc H/2−h2 z− εch2 H/2−h2 + εs 2 ] σy = −Ec 1−ν 2 c [ z ∂ 2w ∂y 2 +νcz ∂ 2w ∂x 2 + νcεc H/2−h2 z− νcεch2 H/2−h2 + νcεs 2 ] τxy = Gcγxy = −2zGc ∂ 2w ∂x∂y (h2 ⩽ z ⩽ H/2) （21） 王春海等： 金属层合板板形翘曲变形行为 · 413 ·
414 工程科学学报，第43卷，第3期 推导建立三层结构金属层合板翘曲过程，弯 从式(24)和式(27)中可以看出，无论是产生 矩和扭矩与应力之间的关系如下： C翘还是L翘，三层结构金属层合板的翘曲位移 M:=ddod 同样为二次曲线 M,=20,+,o,d+P,d 2层合板板形翘曲的有限元模型 Moy-My=d 2.1建模过程 (22) 本文针对总厚度H为5mm,长度L为3000mm, 假定层合板产生C翘时中间位置的挠度和弯 宽度B为1500mm,不锈钢与碳钢厚度比为1/4的 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边 不锈钢/碳钢层合板，铜与碳钢厚度比为1/4的铜/ w(0)=0, O=0,M,(±B/2)=0 (23) 碳钢层合板进行建模计算.后续无特殊说明均采 y 用该尺寸进行分析 联立式(3)、(22)、(23)求解得三层结构金属 考虑到板形翘曲缺陷的产生与金属层合板厚 层合板C翘厚度方向的位移如下： 度方向的应力分布不均匀密切相关.因此，本文对 u=0 翘曲变形进行仿真分析的过程中选取三维实体单 2N V= 元，不同种类的金属层间采用绑定进行设置.金属 (24) 层合板基层和覆层材料的力学性能如表1所示 w=- 表1金属层合板力学性能 式中： Table 1 Mechanical properties of metal laminates N=-写Dws居-产因2-+ Metal laminates Material E/GPa G/GPa Copper/carbon steel T2/Q23510821041/810.32/0.3 na2P--DaP-周 Stainless steel/carbon steel 304/Q235202/21078/810.3/0.3 M=D.2P-+D, 选取金属层合板下表面（双层结构层合板的 Ei D=1- 基层表面，三层结构层合板的覆层表面)中心点为 (25) 坐标原点，考虑到结构的对称性，在=0处施加宽 度方向的约束，在x=0处施加长度方向的约束，同 同样，L翘时边界条件如下： 时在坐标原点处施加厚度方向的约束.当在线轧 w(0)=0, awO=0,M(±L/2=0 (26) 制或连续处理时，金属层合板呈带状并在工艺张 联立式(3)、(22)、(26)求解得金属层合板L 力拖动下前进，因此，当选取部分层合板进行研究 翘厚度方向的位移如下： 时，假设层合板沿纵向是无限长的，其横截面上各 u=0 节点沿长度方向的位移量相同，故将两个横截面 2N 沿长度方向的位移加以耦合，当金属层合板离线 V= (27) 后，根据用户需要可能被裁切成块状，对于已经横 W=- 切成板的金属层合板，只需施加对称约束 为了分析金属层合板在厚度方向上不均匀分 式中： 布的塑性延伸对其板形翘曲的影响，本文通过对 -0s---+ 金属层合板施加不同的温度应力场来给定层合板 内部应力，对于铜碳钢层合板而言，选取碳钢层 .p..ut 长度方向的线膨胀系数为a=1×10,铜层长度方 向的线膨胀系数为a=1.94×105.对于不锈钢/碳钢 M-DH2P-局+D,园 层合板而言，选取碳钢层长度方向的线膨胀系数 为a,=1×10,不锈钢层长度方向的线膨胀系数为 a。=l.04×10.无论铜/碳钢层合板还是不锈钢/碳钢 (28) 层合板，基层和覆层材料宽度和厚度方向的线膨
推导建立三层结构金属层合板翘曲过程，弯 矩和扭矩与应力之间的关系如下： Mx = r −h2 −H/2 zσxdz+ r h2 −h2 zσxdz+ r H/2 h2 zσxdz My = r −h2 −H/2 zσydz+ r h2 −h2 zσydz+ r H/2 h2 zσydz Mxy = Myx = r −h2 −H/2 zτxydz+ r h2 −h2 zτxydz+ r H/2 h2 zτxydz （22） 假定层合板产生 C 翘时中间位置的挠度和弯 曲曲率为零，且金属层合板两端为自由边. w(0) = 0, ∂w(0) ∂y = 0 , My (±B/2) = 0 （23） 联立式（3）、（22）、（23）求解得三层结构金属 层合板 C 翘厚度方向的位移如下： u = 0 v = 2N M yz w = − N M y 2 （24） 式中： N = − 1 3 Dsνsεsh 2 2 − 2 3 Dc νcεc H/2−h2 [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dc νcεch2 H/2−h2 [ (H/2) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dcνcεs [ (H/2) 2 −h 2 2 ] M = 4 3 [ Dc [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dsh 3 2 ] Di = Ei 1−ν 2 i （25） 同样，L 翘时边界条件如下： w(0) = 0, ∂w(0) ∂x = 0 , Mx (±L/2) = 0 （26） 联立式（3）、（22）、（26）求解得金属层合板 L 翘厚度方向的位移如下： u = 0 v = 2N M xz w = − N M x 2 （27） 式中： N = − 1 3 Dsεsh 2 2 − 2 3 Dc εc H/2−h2 [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dc εch2 H/2−h2 [ (H/2) 2 −h 2 2 ] − 1 2 Dcεs [ (H/2) 2 −h 2 2 ] M = 4 3 [ Dc [ (H/2) 3 −h 3 2 ] + Dsh 3 2 ] Di = Ei 1−µ 2 i （28） 从式（24）和式（27）中可以看出，无论是产生 C 翘还是 L 翘，三层结构金属层合板的翘曲位移 同样为二次曲线. 2 层合板板形翘曲的有限元模型 2.1 建模过程 本文针对总厚度 H 为 5 mm，长度 L 为 3000 mm， 宽度 B 为 1500 mm，不锈钢与碳钢厚度比为 1/4 的 不锈钢/碳钢层合板，铜与碳钢厚度比为 1/4 的铜/ 碳钢层合板进行建模计算. 后续无特殊说明均采 用该尺寸进行分析. 考虑到板形翘曲缺陷的产生与金属层合板厚 度方向的应力分布不均匀密切相关. 因此，本文对 翘曲变形进行仿真分析的过程中选取三维实体单 元，不同种类的金属层间采用绑定进行设置. 金属 层合板基层和覆层材料的力学性能如表 1 所示. 表 1 金属层合板力学性能 Table 1 Mechanical properties of metal laminates Metal laminates Material E / GPa G/GPa ν Copper / carbon steel T2/ Q235 108/210 41/81 0.32/0.3 Stainless steel/carbon steel 304/ Q235 202/210 78/81 0.3/0.3 选取金属层合板下表面（双层结构层合板的 基层表面，三层结构层合板的覆层表面）中心点为 坐标原点，考虑到结构的对称性，在 y=0 处施加宽 度方向的约束，在 x=0 处施加长度方向的约束，同 时在坐标原点处施加厚度方向的约束. 当在线轧 制或连续处理时，金属层合板呈带状并在工艺张 力拖动下前进，因此，当选取部分层合板进行研究 时，假设层合板沿纵向是无限长的，其横截面上各 节点沿长度方向的位移量相同，故将两个横截面 沿长度方向的位移加以耦合. 当金属层合板离线 后，根据用户需要可能被裁切成块状，对于已经横 切成板的金属层合板，只需施加对称约束. 为了分析金属层合板在厚度方向上不均匀分 布的塑性延伸对其板形翘曲的影响，本文通过对 金属层合板施加不同的温度应力场来给定层合板 内部应力. 对于铜/碳钢层合板而言，选取碳钢层 长度方向的线膨胀系数为ɑs=1×10−5，铜层长度方 向的线膨胀系数为ɑc=1.94×10−5 . 对于不锈钢/碳钢 层合板而言，选取碳钢层长度方向的线膨胀系数 为ɑs=1×10−5，不锈钢层长度方向的线膨胀系数为 ɑc=1.04×10−5 . 无论铜/碳钢层合板还是不锈钢/碳钢 层合板，基层和覆层材料宽度和厚度方向的线膨 · 414 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期
王春海等：金属层合板板形翘曲变形行为 415 胀系数均设置为0.同时金属层合板上下表面延伸 体单元C3D8R,减缩积分，沙漏控制，整个模型共 差为△IU=100×105,且塑性延伸在基层和覆层均 划分260000个网格单元.建立的有限元模型如图2 沿厚度方向线性分布.本文采用八结点线性六面 所示. (a) (b) 图2金属层合板翘曲有限元模型.()工业在线有张力带状层合板翘曲模型：(b)离线裁切后块状层合板翘曲模型 Fig.2 Finite element model for warping of metal laminates:(a)industrial online warpage model of tensioned ribbon laminate;(b)warping model of block laminate after offline cutting 2.2有限元计算与解析计算结果对比 伸差为50×105和100×103时，计算得到金属层合 (1)金属层合板C翘 板C翘变形规律如表2所示，发现随着上下表面延伸 上下表面延伸差是诱导金属层合板产生翘曲缺 差的增大，C翘翘曲高度逐渐增大.且解析计算与有 陷的根源，延伸差越大，在厚度方向上产生的转动力 限元计算最大相对误差为5.31%.图3(a)为工业在线 矩越大，翘曲高度也越大.取金属层合板上下表面延 有张力时带状金属层合板发生C翘时的翘曲模态 表2解析计算与有限元计算C翘翘曲高度结果对比 Table 2 Comparison between analytical calculation and finite element calculation of C warpage height Metal laminate Laminate structure Extension difference Finite element results/Analytical calculation 10s Relative error/% mm results /mm Double layer 50/100 7.41/14.82 7.23/14.46 2.432.43 Copper/carbon steel Three layers 50/100 5.20/10.41 5.28/10.55 1.52/1.33 Stainless steel/carbon Double layer 50/100 8.40/16.80 8.36/16.72 0.48/0.48 steel laminate Three layers 50/100 7.77/15.53 8.20/16.40 5.24/5.31 Height/mm Height/mm 40 Stainless/carbon steel bimetal plate Stainless/carbon steel bimetal plate 200 (a) Double layer 400r (b) Double layer 4=100x10- =100×10-s 300 150 10 200 10 100 100 0 3000 0 2000 1000 300 1000 50 L/mm 1000 0 2000 0 B/mm L/mm 1000 B/mm 0 -1000 -1000 0 图3金属层合板翘曲模态.()C翘翘曲模态：(b)L翘翘曲模态 Fig.3 Warping mode of metal laminate:(a)C warping mode;(b)L warping mode (2)金属层合板L翘 3层合板的板形翘曲行为及规律 取金属层合板上下表面延伸差为50×10-5和 金属层合板上下表面的延伸差以及纵向延伸 100×105时，计算得到金属层合板L翘变形规律如 沿厚度方向的分布形式是导致板形翘曲行为的根 表3所示，发现随着上下表面延伸差的增大，L翘 源.基层和覆层材料力学性能（弹性模量、泊松比 翘曲高度逐渐增大.且解析计算与有限元计算最 等)的差异，使得在相同上下表面延伸差的条件 大相对误差为3.91%.图3(b)为离线裁切后块状 下，不同材料、厚度以及厚度比的金属层合板沿厚 金属层合板发生L翘的翘曲模态 度方向的延伸分布存在差异，进而导致翘曲高度
胀系数均设置为 0. 同时金属层合板上下表面延伸 差为 ΔIU=100×10−5，且塑性延伸在基层和覆层均 沿厚度方向线性分布. 本文采用八结点线性六面 体单元 C3D8R，减缩积分，沙漏控制，整个模型共 划分 260000 个网格单元. 建立的有限元模型如图 2 所示. x z y (a) (b) x z y 图 2 金属层合板翘曲有限元模型. （a）工业在线有张力带状层合板翘曲模型；（b）离线裁切后块状层合板翘曲模型 Fig.2 Finite element model for warping of metal laminates: (a) industrial online warpage model of tensioned ribbon laminate; (b) warping model of block laminate after offline cutting 2.2 有限元计算与解析计算结果对比 （1）金属层合板 C 翘. 上下表面延伸差是诱导金属层合板产生翘曲缺 陷的根源，延伸差越大，在厚度方向上产生的转动力 矩越大，翘曲高度也越大. 取金属层合板上下表面延 伸差为 50×10−5 和 100×10−5 时，计算得到金属层合 板 C 翘变形规律如表 2 所示，发现随着上下表面延伸 差的增大，C 翘翘曲高度逐渐增大. 且解析计算与有 限元计算最大相对误差为 5.31%. 图 3（a）为工业在线 有张力时带状金属层合板发生 C 翘时的翘曲模态. 表 2 解析计算与有限元计算 C 翘翘曲高度结果对比 Table 2 Comparison between analytical calculation and finite element calculation of C warpage height Metal laminate Laminate structure Extension difference / 10−5 Finite element results / mm Analytical calculation results / mm Relative error / % Copper / carbon steel Double layer 50/100 7.41/14.82 7.23/14.46 2.43/2.43 Three layers 50/100 5.20/10.41 5.28/10.55 1.52/1.33 Stainless steel / carbon steel laminate Double layer 50/100 8.40/16.80 8.36/16.72 0.48/0.48 Three layers 50/100 7.77/15.53 8.20/16.40 5.24/5.31 40 30 20 10 0 3000 2000 1000 0 1000 −1000 L/mm 0 L/mm C warpage height/mm Stainless/carbon steel bimetal plate Double layer Δ=100×10−5 (a) (b) 3000 2000 1000 0 −1000 1000 0 100 200 300 400 0 B/mm B/mm L warpage height/mm Stainless/carbon steel bimetal plate Double layer Δ=100×10−5 14 10 6 2 Height/mm 200 150 100 50 Height/mm 图 3 金属层合板翘曲模态. （a）C 翘翘曲模态；（b）L 翘翘曲模态 Fig.3 Warping mode of metal laminate: (a) C warping mode; (b) L warping mode （2）金属层合板 L 翘. 取金属层合板上下表面延伸差为 50×10−5 和 100×10−5 时，计算得到金属层合板 L 翘变形规律如 表 3 所示，发现随着上下表面延伸差的增大，L 翘 翘曲高度逐渐增大. 且解析计算与有限元计算最 大相对误差为 3.91 %. 图 3（b）为离线裁切后块状 金属层合板发生 L 翘的翘曲模态. 3 层合板的板形翘曲行为及规律 金属层合板上下表面的延伸差以及纵向延伸 沿厚度方向的分布形式是导致板形翘曲行为的根 源. 基层和覆层材料力学性能（弹性模量、泊松比 等）的差异，使得在相同上下表面延伸差的条件 下，不同材料、厚度以及厚度比的金属层合板沿厚 度方向的延伸分布存在差异，进而导致翘曲高度 王春海等： 金属层合板板形翘曲变形行为 · 415 ·
416 工程科学学报，第43卷，第3期 表3解析计算与有限元计算L翘翘曲高度结果对比 Table 3 Comparison between analytical calculation and finite element calculation of L warpage height Metal laminate Extension difference Finite element results/ Analytical calculation Laminate structure Relative error/% 10广5 mm results/mm Double layer 50/100 93.73/186.65 94.34/188.68 0.65/1.08 Copper/carbon steel Three layers 50/100 66.57/132.92 68.37136.75 2.63/2.80 Stainless steel carbon Double layer 50/100 111.77/222.35 111.44/222.87 0.30/0.23 steel laminate Three layers 50/100 105.45/210.17 109.36/218.72 3.58/3.91 的不同.因此，本文基于上述推导建立的解析模 增加，金属层合板翘曲高度越大 型，并结合有限元数值求解结果，定量研究金属层 在相同延伸差和相同总厚度下铜碳钢层合板 合板的厚向分层特征对于其板形翘曲变形行为的 翘曲高度小于不锈钢/碳钢层合板.即相同条件 影响及其规律，并与均质板进行比较 下，当覆层材料与基层材料切变模量接近时，翘曲 3.1延伸差（初应变）的影响 高度相对较大.同时可以发现，对于同种材料构成 针对不锈钢碳钢层合板以及铜碳钢层合板 的金属层合板，三层对称结构层合板的翘曲高度 (双层结构和三层结构)，取其上下表面延伸差分 小于双层非对称结构 别为0、50×105、100×10-5、150×1035、200×105、250× 3.2总厚度H的影响 10、300×10时，计算翘曲变形行为.结果如图4 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜碳钢层合 (双层结构和三层结构)，取其总厚度分别为1、2、 板，当发生C翘或L翘时，其翘曲高度均和上下表 4、5、6、8和10mm时，计算翘曲变形行为.结果 面延伸差呈线性关系，并随着上下表面延伸差的 如图5所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳 50 (a) 700(b) -K=78/81 600 ■-K=78/81 40 。K。41/81 K=41/81 ◆-Kc=78/81/78 500 +-K=78/81/78 30 K=41/81/41 400 -K=41/8141 300 200 U 10 100 0 50 100150200 250 300 0 50 100150200250300 4/10s 4W105 图4延伸差对不同翘曲模态变形的影响.(a)C翘：(b)L翘 Fig.4 Effect of extension difference on the warpage height of C warping (a)and L warping(b) 90 1200 (b) 量-K=78/81 75 4-K=78/81 ◆-K=41/81 1000 ◆K=41/81 wwAyiaq ▲-K=78/81/78 K=78/81/78 60 -K=41/81/41 800 K=41/81/41 45 600 30 400 15 200 P 10 0 4 10 H/mm H/mm 图5厚度对不同翘曲模态变形的影响.(a)C翘：(b)L翘 Fig.5 Effect of thickness on warpage height of C warping (a)and L warping (b)
的不同. 因此，本文基于上述推导建立的解析模 型，并结合有限元数值求解结果，定量研究金属层 合板的厚向分层特征对于其板形翘曲变形行为的 影响及其规律，并与均质板进行比较. 3.1 延伸差（初应变）的影响 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 （双层结构和三层结构），取其上下表面延伸差分 别为 0、50×10−5、100×10−5、150×10−5、200×10−5、250× 10−5、300×10−5 时，计算翘曲变形行为. 结果如图 4 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳钢层合 板，当发生 C 翘或 L 翘时，其翘曲高度均和上下表 面延伸差呈线性关系，并随着上下表面延伸差的 增加，金属层合板翘曲高度越大. 在相同延伸差和相同总厚度下铜/碳钢层合板 翘曲高度小于不锈钢/碳钢层合板. 即相同条件 下，当覆层材料与基层材料切变模量接近时，翘曲 高度相对较大. 同时可以发现，对于同种材料构成 的金属层合板，三层对称结构层合板的翘曲高度 小于双层非对称结构. 3.2 总厚度 H 的影响 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 （双层结构和三层结构），取其总厚度分别为 1、2、 4、5、6、8 和 10 mm 时，计算翘曲变形行为. 结果 如图 5 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳 表 3 解析计算与有限元计算 L 翘翘曲高度结果对比 Table 3 Comparison between analytical calculation and finite element calculation of L warpage height Metal laminate Laminate structure Extension difference / 10−5 Finite element results / mm Analytical calculation results / mm Relative error / % Copper / carbon steel Double layer 50/100 93.73/186.65 94.34/188.68 0.65/1.08 Three layers 50/100 66.57/132.92 68.37/136.75 2.63/2.80 Stainless steel / carbon steel laminate Double layer 50/100 111.77/222.35 111.44/222.87 0.30/0.23 Three layers 50/100 105.45/210.17 109.36/218.72 3.58/3.91 (a) (b) Δ/10−5 C warpage height/mm 0 250 300 0 50 100 150 200 Δ/10−5 0 50 100 150 200 250 300 10 20 30 40 50 L warpage height/mm 0 100 200 300 400 500 700 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 600 图 4 延伸差对不同翘曲模态变形的影响. （a）C 翘；（b）L 翘 Fig.4 Effect of extension difference on the warpage height of C warping (a) and L warping (b) (a) (b) H/mm C warpage height/mm 0 10 0 2 4 6 8 H/mm 0 6 8 2 4 10 15 45 30 60 75 90 L warpage height/mm 0 200 400 600 800 1200 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 1000 图 5 厚度对不同翘曲模态变形的影响. （a）C 翘；（b）L 翘 Fig.5 Effect of thickness on warpage height of C warping (a) and L warping (b) · 416 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期
王春海等：金属层合板板形翘曲变形行为 417. 钢层合板，当发生C翘或L翘时，随着总厚度的增 为，并与均质板进行对比.结果如图6所示，无论 加，金属层合板翘曲高度减小. 是不锈钢/碳钢层合板还是铜碳钢层合板，当发生 3.3厚度比K的影响以及与均质板对比 C翘或L翘时，随着厚度比的增加，金属层合板翘 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 曲高度增大.但是在相同延伸差和相同总厚度下， (双层结构和三层结构)，取其覆层与基层厚度比 无论是双层结构还是三层结构的金属层合板翘曲 分别为1/9、2/8、3/7、4/6、5/5时，计算翘曲变形行 高度均小于均质板 240 18 (a)- (b) 220 ◆-G=81GPa ◆-G=81GPa 12 -G=78 GPa 4-G=78 GPa G=41 GPa -K=78/81 G=41 GPa -K=78/81 U140 10 ◆K。=41/81 ·K=41/81 ▲-K=78/81/78 ▲-K=78/81/78 TK=41/81/41 120 T-K=41/81/41 1/9 2/8 37 4/6 5/5 19 2/8 37 4/6 5/5 KH 图6厚度比对不同翘曲模态变形的影响.(a)C翘：(b)L翘 Fig.6 Effect of the thickness ratio on warpage height of C warping(a)and L warping(b) 同时由于不锈钢与碳钢切变模量十分接近， 工业在线有张力时带状金属层合板发生C翘翘曲 导致不锈钢/碳钢层合板厚度比变化时，翘曲高度 模态和离线裁切后块状金属层合板发生L翘翘曲 变化并不显著，而由于碳钢切变模量远大于铜的 模态时，复合界面两侧等效应力差值的分布情况. 切变模量，使得铜碳钢层合板厚度比变化时，翘曲 结果如图7所示，无论是不锈钢/碳钢层合板 高度变化十分明显.所以，当覆层与基层材料切变 还是铜碳钢层合板，当发生C翘或L翘时，对于 模量相差较大时，厚度比会显著影响翘曲高度. 同种材料构成的金属层合板，三层对称结构层合 3.4层合板翘曲后界面处的应力分布 板复合界面两侧等效应力差值△σ均大于双层非 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜碳钢层合板 对称结构.同时对于同种结构的金属层合板，覆层 (双层结构和三层结构)，取其上下表面延伸差为 与基层材料切变模量越接近时，复合界面两侧等 100×10,利用建立的有限元数值模拟模型，计算 效应力差值越大 △o/MPa △o/MPa 150ra 100rb) K=78/81/78 =41/81/41 90 K.=78/81/78 K41/81/4 50 K=78781 50 K=78/81 60 40 308 50 =41/81 3000 2000 40 30 1000 2000 K=41/81 1000 L/mm 1000 30 L/mm 1000 0 0 -1000 B/mm 0 -1000 20 B/mm 10 图7金属层合板不同翘曲后界面处应力分布情况.(a)C翘：(b)L翘 Fig.7 Stress distribution at the interface of metal laminate after C warping (a)and L warping(b) 4层合板冷却过程中板形翘曲行为及规律 征对于其退火过程层合板热变形以及导致板形翘曲 基于上述建立的有限元数值模拟模型，开展初始 变形现象的影响及其规律，并与均质板进行比较 平直层合板在去应力退火过程中因热变形导致的板 4.1层合板与均质板退火过程热变形行为对比 形翘曲行为及规律的研究，揭示层合板的厚向分层特 针对双层和三层结构的不锈钢/碳钢层合板，取
钢层合板，当发生 C 翘或 L 翘时，随着总厚度的增 加，金属层合板翘曲高度减小. 3.3 厚度比 KH 的影响以及与均质板对比 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 （双层结构和三层结构），取其覆层与基层厚度比 分别为 1/9、2/8、3/7、4/6、5/5 时，计算翘曲变形行 为，并与均质板进行对比. 结果如图 6 所示，无论 是不锈钢/碳钢层合板还是铜/碳钢层合板，当发生 C 翘或 L 翘时，随着厚度比的增加，金属层合板翘 曲高度增大. 但是在相同延伸差和相同总厚度下， 无论是双层结构还是三层结构的金属层合板翘曲 高度均小于均质板. (a) KH C warpage height/mm 1/9 4/6 5/5 8 2/8 3/7 10 12 14 16 18 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 G=81 GPa G=78 GPa G=41 GPa (b) KH C warpage height/mm 1/9 4/6 5/5 120 2/8 3/7 140 160 180 240 220 200 KG=78/81 KG=41/81 KG=78/81/78 KG=41/81/41 G=81 GPa G=78 GPa G=41 GPa 图 6 厚度比对不同翘曲模态变形的影响. （a）C 翘；（b）L 翘 Fig.6 Effect of the thickness ratio on warpage height of C warping (a) and L warping (b) 同时由于不锈钢与碳钢切变模量十分接近， 导致不锈钢/碳钢层合板厚度比变化时，翘曲高度 变化并不显著，而由于碳钢切变模量远大于铜的 切变模量，使得铜/碳钢层合板厚度比变化时，翘曲 高度变化十分明显. 所以，当覆层与基层材料切变 模量相差较大时，厚度比会显著影响翘曲高度. 3.4 层合板翘曲后界面处的应力分布 针对不锈钢/碳钢层合板以及铜/碳钢层合板 （双层结构和三层结构），取其上下表面延伸差为 100×10−5，利用建立的有限元数值模拟模型，计算 工业在线有张力时带状金属层合板发生 C 翘翘曲 模态和离线裁切后块状金属层合板发生 L 翘翘曲 模态时，复合界面两侧等效应力差值的分布情况. 结果如图 7 所示，无论是不锈钢/碳钢层合板 还是铜/碳钢层合板，当发生 C 翘或 L 翘时，对于 同种材料构成的金属层合板，三层对称结构层合 板复合界面两侧等效应力差值 Δσ 均大于双层非 对称结构. 同时对于同种结构的金属层合板，覆层 与基层材料切变模量越接近时，复合界面两侧等 效应力差值越大. 0 50 100 150 3000 2000 1000 0 −1000 1000 0 −1000 1000 0 KG=78/81/78 KG=78/81 KG=41/81/41 KG=41/81 (a) 90 80 70 60 50 40 30 20 Δσ/MPa Δσ/MPa Δσ/MPa Δσ/MPa 0 1000 2000 3000 0 50 100 L/mm B/mm L/mm B/mm KG=78/81/78 KG=41/81/41 KG=78/81 KG=41/81 (b) 70 60 50 40 30 20 10 图 7 金属层合板不同翘曲后界面处应力分布情况. （a）C 翘；（b）L 翘 Fig.7 Stress distribution at the interface of metal laminate after C warping (a) and L warping (b) 4 层合板冷却过程中板形翘曲行为及规律 基于上述建立的有限元数值模拟模型，开展初始 平直层合板在去应力退火过程中因热变形导致的板 形翘曲行为及规律的研究，揭示层合板的厚向分层特 征对于其退火过程层合板热变形以及导致板形翘曲 变形现象的影响及其规律，并与均质板进行比较. 4.1 层合板与均质板退火过程热变形行为对比 针对双层和三层结构的不锈钢/碳钢层合板，取 王春海等： 金属层合板板形翘曲变形行为 · 417 ·