例7设A为m阶实对称矩阵，且正定， B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩 阵的充分必要条件是R(B)=n. 证必要性设B'AB为正定阵，则对于任意维 实向量x≠0，有 xT(BTAB)x>0. 即 (Bx)A(Bx)>0, 又因为A是正定，于是 Bx≠0 因此 Bx=0只有零解，从而 R(B)=n. 充分性. 因为(BAB)T=BA(B)I=BAB 故BAB为实对称定阵 T ( ) . A B B AB R B  = 例7 设 为 阶实对称矩阵，且正定， 为 实矩阵，试证： 为正定矩 阵的充分必要条件是 m m n n T T T T . ( ) 0, ( ) 0, , ( ) . B AB x x B AB x Bx A Bx A Bx Bx R B     = = 证 必要性设 为正定阵，则对于任意 维 实向量 ，有 即 （ ） 又因为 是正定，于是 因此 只有零解，从而 0 0 0 n n T T T T T T T 充分性 因为 . B AB B A B B AB ( ) ( ) = = T 故 为实对称定阵 B AB