习题14.3 Green公式、 Gauss公式和 Stokes公式 1.利用 Green公式计算下列积分 (1)j(x+y)d-(x2+y),其中L是以41,B(32),C(25)为顶 点的三角形的边界,逆时针方向 2)∫x2x2y,其中L是圆周x2+y2=a2,逆时针方向 (3) x cos x+ 2xysin x-y e)k+( x.x-2ye2k,其中L是星形 线x3+y3=a3(a>0),逆时针方向; (4)∫e- cos y)dx-U-siny小,其中L是曲线y=sinx上从(0 到(,0)的一段; (5)j(2-y-(+sn2y,其中L是圆周x2+y2=2x的上半部 分,方向从点00)到点(2,0); (6)∫psin-x+y]+(2cosy-a,其中ab是正常数,L为 从点A(2a0)沿曲线y=√2ax-x2到点O0,0)的一段 (7)「,其中L是以点(0为中心,R为半径的圆周 4x2 (R>1),逆时针方向 (8)「(x-D)在+(x+),其中L为单位圆周x2+y2=1,逆时 针方向 9)「 elSin y-ycos y )dx+(x cos y+ysin y)dy ,其中L是包围原点 的简单光滑闭曲线,逆时针方向。 解(1)∫(x+y) y2)=(-x-2yh dx b.(2x+ y) (2x+y) (2)xydr-x'ydy =[J(2xy-2xy )drdy=- sin@ cos e de ordr =0 (3)(r'ycos x+2xy sinx-y2e kx+(x2sinx-2 ye ly习 题 14.3 Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公式 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶 点的三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中L 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [ ] ( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ，其中L 是曲线 y = sin x上从( , 到 0 0) ( , π 0)的一段； （5） ，其中 是圆周 的上半部 分，方向从点 到点 ； ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为 从点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中 L 是以点 (1,0) 为中心， R 为半径的圆周 （R > 1），逆时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ， 其中 为单位圆周 ，逆时 针方向； L 1 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + + L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中 是包围原点 的简单光滑闭曲线，逆时针方向。 L 解（1）∫ + − + L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 ∫∫ = − − D ( 4x 2y)dxdy 3 140 2 (2 ) 2 (2 ) 11 3 ( 1) 2 1 3 2 4 3 ( 1) 2 1 2 1 = − + − + = − ∫ ∫ ∫ ∫ − + − + x x x x dx x y dy dx x y dy 。 （2）∫ − L xy dx x ydy 2 2 2 3 0 0 ( 2 2 ) 4 sin cos 0 a D xy xy dxdy d r dr π = − − = − θ θ θ = ∫∫ ∫ ∫ 。 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 1