Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU Chapter12球坐标系下的分离变量法 Legendre多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace算术的表示 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数(例如, Legendre函数、连带 Legendre函数和球谐函数等)。 函数空间概念(复习) D:基矢:{}(=123):正交:·=5:表示:=+x十x 这是3 D Euclid space,直观、简单、符合常识。 (3+1)D:是加t,还是加,如何去加?时空观的变革:相对运动,不但有 了相对时空位置,还有了 scaling(标尺)、不变性和时空弯曲等概念 nD:基矢是{q(x)(=123…m),带权p(x)的正交归一性如下 ∫p(x)(x)9,(x)dx=6,→∞D: ilbert space.基矢亦是函数,并且 straight scaling→> curve scaling.j: quantum numbers.抽象、复杂、冲破常识 对于任意函数f(x只要其定义域与{q(x)的相同,总有f(x)=∑c%n(x) 其中jdxp(x)gi()(x)=∑cp(x)9(x)9,(x)dr= cmis a representation.! 当f(x)已知时,cn是上式;当f(x)是q(x)的线性组合时,c是其系数 1.nD向量空间:有nD向量的集合. 1)表述:n个独立的单位矢量可,2…排成基向量,选{2}为正交归一基 矢,即可=,则=∑x和x=x(在上的坐标值一表示)。 2)内积:xj=(xy=∑x 3)模方:(,)=∑=∑=同 4)基矢的完备性:nD空间有1D矢量系{a}(=12…n),若不能在此空间Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 12 球坐标系下的分离变量法 Legendre 多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace 算术的表示； 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如， Legendre 函数、连带 Legendre 函数和球谐函数等）。 函数空间概念(复习) 3D：基矢： ej ( j =1,2,3) ；正交： i j ij e e =  ；表示： 1 1 2 2 3 3 x x e x e x e = + + , 这是 3D Euclid space，直观、简单、符合常识。 (3+1)D：是加 t ，还是加 4 ite ， 如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有 了相对时空位置，还有了 scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。 n D：基矢是  j ( ) x  ( j n =  1,2,3, , )，带权  ( x) 的正交归一性如下： ( ) ( ) ( ) * d i j ij     x x x x =   D：Hilbert space. 基矢亦是函数，并且 straight scaling → curve scaling.j：quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识！ 对于任意函数 f x( ), 只要其定义域与  j ( ) x  的相同，总有 ( ) ( ) 1 , n n n f x c x   = =  其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 m n m n m n x x x f x c x x x x c       =   d d = =  is a representation! 当 f x( ) 已知时， n c 是上式；当 f x( ) 是 ( ) n  x 的线性组合时， n c 是其系数。 1．n D 向量空间: 有 n D 向量的集合. 1) 表述： n 个独立的单位矢量 1 2, , , , n e e e  排成基向量，选 ej 为正交归一基 矢，即 i j ij e e =  ，则 1 n j j j x x e = = 和 j j x x e =  （在 j e 上的坐标值—表示）。 2) 内积： ( ) * 1 , . n j j j x y x y x y =  = = 3) 模方： ( ) 2 2 * 1 1 , . n n j j j j j x x x x x x = = = = =   4) 基矢的完备性： n D 空间有 1D 矢量系 ej ( j n =  1,2, , ) ，若不能在此空间